Intuisjonisme I Matematikkens Filosofi

Innholdsfortegnelse:

Intuisjonisme I Matematikkens Filosofi
Intuisjonisme I Matematikkens Filosofi

Video: Intuisjonisme I Matematikkens Filosofi

Video: Intuisjonisme I Matematikkens Filosofi
Video: Filosofihistorie 2024, Mars
Anonim

Inngangsnavigasjon

  • Inngangsinnhold
  • Bibliografi
  • Akademiske verktøy
  • Venner PDF forhåndsvisning
  • Forfatter og sitatinfo
  • Tilbake til toppen

Intuisjonisme i matematikkens filosofi

Først publisert torsdag 4. september 2008; substansiell revisjon tirsdag 11. juni 2019

Intuksjonisme er en filosofi om matematikk som ble introdusert av den nederlandske matematikeren LEJ Brouwer (1881–1966). Intuisjonisme er basert på ideen om at matematikk er en skapelse av sinnet. Sannheten i en matematisk uttalelse kan bare tenkes gjennom en mental konstruksjon som viser at den er sann, og kommunikasjonen mellom matematikere fungerer bare som et middel til å skape den samme mentale prosessen i forskjellige sinn.

Dette synet på matematikk har vidtrekkende implikasjoner for den daglige praktiseringen av matematikk, og en av konsekvensene av dette er at prinsippet om den ekskluderte midten, ((A / vee / neg A)), ikke lenger er gyldig. Det er faktisk proposisjoner, som Riemann-hypotesen, som det foreløpig ikke eksisterer bevis på påstanden eller om dens negasjon. Siden det å kjenne til negasjon av en uttalelse i intuisjonisme betyr at man kan bevise at utsagnet ikke er sant, innebærer dette at både (A) og (neg A) ikke holder intuisjonistisk, i hvert fall ikke i dette øyeblikket. Avhengigheten av intuisjonisme av tid er essensiell: uttalelser kan bli beviselige i løpet av tiden og kan derfor bli intuisjonistisk gyldige mens de ikke har vært det før.

Foruten avvisning av prinsippet om den ekskluderte midten, avviker intuisjonisme sterkt fra klassisk matematikk i forestillingen om kontinuumet, som i den tidligere innstillingen har den egenskapen at alle totale funksjoner på den er kontinuerlige. I motsetning til flere andre teorier om konstruktiv matematikk, er intuisjonisme ikke en begrensning av klassisk resonnement; det motsier klassisk matematikk på en grunnleggende måte.

Brouwer viet en stor del av livet sitt til utvikling av matematikk på dette nye grunnlaget. Selv om intuisjonisme aldri har erstattet klassisk matematikk som standard syn på matematikk, har den alltid vakt stor oppmerksomhet og er fortsatt mye studert i dag.

I dette innlegget konsentrerer vi oss om aspektene ved intuisjonisme som skiller den fra andre grener av konstruktiv matematikk, og den delen som den deler med andre former for konstruktivisme, som grunnleggende teorier og modeller, blir bare diskutert kort.

  • 1. Brouwer
  • 2. Intuisjonisme

    • 2.1 De to handlingene om intuisjonisme
    • 2.2 Det skapende emnet
  • 3. Matematikk

    • 3.1 BHK-tolkningen
    • 3.2 Intuisjonistisk logikk
    • 3.3 De naturlige tallene
    • 3.4 Kontinuumet
    • 3.5 Kontinuitetsaksiomer
    • 3.6 Barretningen
    • 3.7 Valgaksiomer
    • 3.8 Beskrivende settteori, topologi og topos teori
  • 4. Konstruktivisme
  • 5. Meta-matematikk

    • 5.1 Aritmetikk
    • 5.2 Analyse
    • 5.3 Lovløse sekvenser
    • 5.4 Formalisering av det skapende emnet
    • 5.5 Fundamenter og modeller
    • 5.6 Omvendt matematikk
  • 6. Filosofi

    • 6.1 Fenomenologi
    • 6.2 Wittgenstein
    • 6.3 Dummett
    • 6.4 Finisme
  • Bibliografi
  • Akademiske verktøy
  • Andre internettressurser
  • Relaterte oppføringer

1. Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer ble født i Overschie, Nederland. Han studerte matematikk og fysikk ved University of Amsterdam, hvor han fikk sin doktorgrad i 1907. I 1909 ble han lektor ved det samme universitetet, hvor han ble utnevnt til full professor i 1912, en stilling han hadde til sin pensjonisttilværelse i 1951. Brouwer var en strålende matematiker som gjorde banebrytende arbeid innen topologi og ble berømt allerede i ung alder. Hele livet var han et uavhengig sinn som forfulgte de tingene han trodde på med ivrig handlekraft, noe som førte ham i konflikt med mange en kollega, særlig med David Hilbert. Han hadde også beundrere, og i huset "hytta" i Blaricum ønsket han mange kjente matematikere fra sin tid velkommen. Mot slutten av livet ble han mer isolert, men hans tro på sannheten i hans filosofi vaklet aldri. Han døde i en bilulykke i en alder av 85 år i Blaricum, syv år etter døden til kona Lize Brouwer.

I en alder av 24 skrev Brouwer boken Life, Art and Mysticism (Brouwer 1905), hvis solipsistiske innhold fortoner hans filosofi om matematikk. I hans avhandling er grunnlaget for intuisjonismen formulert for første gang, selv om det ennå ikke er under det navnet og ikke i deres endelige form. De første årene etter avhandlingen ble det meste av Brouwer sitt vitenskapelige liv viet til topologi, et område hvor han fremdeles er kjent for sin teori om dimensjon og sitt faste punktsteorem. Dette arbeidet er en del av klassisk matematikk; i følge Brouwer senere synspunkt, holder ikke hans faste punktsteorem, selv om en analog rollebesetning når det gjelder tilnærminger kan bevises å være i samsvar med hans prinsipper.

Fra 1913 dedikerte Brouwer seg stadig mer til utviklingen av ideene formulert i avhandlingen til en full filosofi av matematikk. Han foredlet ikke bare filosofien om intuisjonisme, men omarbeidet også matematikk, spesielt teorien om kontinuum og teorien om sett, i henhold til disse prinsippene. På den tiden var Brouwer en kjent matematiker som holdt innflytelsesrike foredrag om intuisjonisme på den tidens vitenskapelige mekka, Cambridge, Wien og Göttingen blant dem. Hans filosofi ble ansett som vanskelig av mange, men behandlet som et seriøst alternativ til klassisk resonnement av noen av de mest berømte matematikerne i hans tid, selv når de hadde et annet syn på saken. Kurt Gödel, som var platonist hele livet, var en av dem. På et tidspunkt skrev Hermann Weyl “Så skjedde jeg også med meg selv eie Versuch Preis und schließe mich Brouwer an” (Weyl 1921, 56). Og selv om han sjelden praktiserte intuisjonistisk matematikk senere i livet, sluttet Weyl aldri å beundre Brouwer og hans intuisjonistiske filosofi om matematikk.

Livet til Brouwer var fylt med konflikter, den mest berømte var konflikten med David Hilbert, som til slutt førte til Brouwer's bortvisning fra styret for Mathematische Annalen. Denne konflikten var en del av Grundlagenstreit som rystet det matematiske samfunnet på begynnelsen av 1900-tallet og som dukket opp som et resultat av utseendet til paradokser og svært ikke-konstruktive bevis i matematikk. Filosofer og matematikere ble tvunget til å erkjenne mangelen på et epistemologisk og ontologisk grunnlag for matematikk. Brouwer's intuisjonisme er en filosofi om matematikk som tar sikte på å gi et slikt grunnlag.

2. Intuisjonisme

2.1 De to handlingene om intuisjonisme

I følge Brouwer er matematikk en språkløs skapelse av sinnet. Tid er den eneste a priori forestillingen, i kantiansk forstand. Brouwer skiller to handlinger av intuisjonisme:

Den første handlingen av intuisjonisme er:

Å skille matematikk helt fra det matematiske språket og derav fra fenomenene i språket som er beskrevet av teoretisk logikk, og erkjenner at intuisjonistisk matematikk er en vesentlig språkløs aktivitet av sinnet som har sitt opphav i oppfatningen av en tidsflytting. Denne oppfatningen av en bevegelse av tid kan beskrives som det å falle fra et livsmoment til to forskjellige ting, hvorav den ene vender for den andre, men beholdes av minnet. Hvis den således fødte toaliteten avhendes av all kvalitet, går den over i den tomme formen av det felles underlaget til alle toiteter. Og det er dette vanlige underlaget, denne tomme formen, som er matematikkens grunnleggende intuisjon. (Brouwer 1981, 4–5)

Som det vil bli diskutert i avsnittet om matematikk, gir den første handlingen om intuisjonisme de naturlige tallene, men innebærer en alvorlig begrensning av tillatte resonnementprinsipper, særlig avvisning av prinsippet om den ekskluderte midten. På grunn av avvisning av dette prinsippet og forsvinningen av det logiske grunnlaget for kontinuumet, kan man, med ord fra Brouwer, "frykte at intuisjonistisk matematikk nødvendigvis må være dårlig og anemisk, og særlig ikke ville ha noe sted for analyse" (Brouwer 1952, 142). Den andre handlingen fastslår imidlertid eksistensen av kontinuumet, et kontinuum som har egenskaper som ikke deles av det klassiske motstykket. Gjenoppretting av kontinuumet hviler på forestillingen om valgsekvens som er fastsatt i andre lov, dvs. på eksistensen av uendelige sekvenser generert av fritt valg,som derfor ikke er faste på forhånd.

Den andre handlingen av intuisjonisme er:

Innrømmer to måter å skape nye matematiske enheter på: for det første i form av mer eller mindre fritt å gå ut i uendelige sekvenser av matematiske enheter som tidligere er anskaffet…; for det andre i form av matematiske arter, dvs. egenskaper som antas for matematiske enheter som er anskaffet tidligere, og tilfredsstiller betingelsen om at hvis de holder for en viss matematisk enhet, holder de også for alle matematiske enheter som har blitt definert til å være “like” med den…. (Brouwer 1981, 8)

De to handlingene om intuisjonisme danner grunnlaget for Brouwer sin filosofi; fra disse to handlingene alene skaper Brouwer verden av intuisjonistisk matematikk, som det vil bli forklart nedenfor. Allerede ut fra disse grunnleggende prinsippene kan det konkluderes med at intuisjonisme skiller seg fra Platonisme og formalisme, fordi det heller ikke forutsetter en matematisk virkelighet utenfor oss, og heller ikke at matematikk er et skuespill med symboler i henhold til visse faste regler. Etter Brouweres syn brukes språk til å utveksle matematiske ideer, men eksistensen av sistnevnte er uavhengig av de førstnevnte. Skillet mellom intuisjonisme og andre konstruktive syn på matematikk i henhold til hvilke matematiske objekter og argumenter skal kunne beregnes, ligger i friheten som den andre handlingen tillater i konstruksjonen av uendelige sekvenser. Faktisk,Som det vil bli forklart nedenfor, motsier de matematiske implikasjonene av den andre handlingen av intuisjonisme klassisk matematikk, og holder derfor ikke i de fleste konstruktive teorier, siden disse generelt er en del av klassisk matematikk.

Dermed skiller Brouwer sin intuisjonisme seg fra andre matematikkfilosofier; den er basert på bevissthet om tid og overbevisning om at matematikk er en skapelse av det frie sinnet, og det er derfor verken platonisme eller formalisme. Det er en form for konstruktivisme, men bare i større forstand, siden mange konstruktivister ikke aksepterer alle prinsippene som Brouwer mente var sanne.

2.2 Det skapende emnet

De to handlingene om intuisjonisme utelukker i seg selv ikke en psykologisk tolkning av matematikk. Selv om Brouwer bare sporadisk tok opp dette punktet, fremgår det av hans forfattere at han vurderte intuisjonisme som uavhengig av psykologi. Brouwer's introduksjon av Creating Subject (Brouwer 1948) som et idealisert sinn der matematikk foregår allerede abstraherer bort fra inessentielle aspekter ved menneskelig resonnement, som begrensninger i rom og tid og muligheten for feil argumenter. Dermed slutter intersubjektivitetsproblemet, som ber om en forklaring på det faktum at mennesker er i stand til å kommunisere, å eksistere, ettersom det bare eksisterer ett skapende emne. I litteraturen brukes også navnet Creative Subject for Creating Subject, men her brukes Brouwer's terminologi. I (Niekus 2010),det hevdes at Brouwer's Creating Subject ikke involverer en idealisert matematiker. For en fenomenologisk analyse av Creating Subject som et transcendental subjekt i betydningen Husserl, se (van Atten 2007).

Brouwer brukte argumenter som involverer Creating Subject for å konstruere moteksempler på visse intuisjonistisk uakseptable utsagn. Der de svake moteksemplene, som skal diskuteres nedenfor, bare viser at visse utsagn for øyeblikket ikke kan aksepteres intuisjonistisk, viser ideen om det idealiserte sinnet at visse klassiske prinsipper er usanne. Et eksempel er gitt i avsnitt 5.4 om formalisering av forestillingen om det skapende emnet. Der blir det også forklart at følgende prinsipp, kjent som Kripkes skjema, kan argumenteres for når det gjelder Skapeemnet:

(tag {({ bf KS})} eksisterer / alpha (A / leftrightarrow / exist n \, / alpha (n) = 1).)

I KS varierer (A) over formler og (alpha) over valgsekvenser, som er sekvenser med naturlige tall produsert av Creating Subject, som velger elementene sine én for en. Valgssekvenser og Kripkes skjema diskuteres nærmere i kapittel 3.4.

I de fleste matematikkfilosofier, for eksempel i platonismen, er matematiske utsagn utallige. I intuisjonisme har sannhet og falskhet et tidsmessig aspekt; et etablert faktum vil forbli slik, men en påstand som blir bevist på et bestemt tidspunkt, mangler en sannhetsverdi før det punktet. I nevnte formalisering av forestillingen om å skape subjekt, som ikke ble formulert av Brouwer, men først senere av andre, er det tidsmessige aspektet av intuisjonisme tilsynelatende til stede.

Viktig ettersom argumentene som bruker forestillingen om å skape fag kan være for den videre forståelsen av intuisjonisme som matematikkfilosofi, har dens rolle i utviklingen av feltet vært mindre innflytelsesrik enn for de to handlingene om intuisjonisme, som direkte fører til matematiske sannheter Brouwer og de som kom etter ham var villige til å akseptere.

3. Matematikk

Selv om Brouweres utvikling av intuisjonisme spilte en viktig rolle i grunnleggende debatt blant matematikere på begynnelsen av 1900-tallet, ble de vidtrekkende implikasjonene av hans filosofi for matematikk først tydelig etter mange års forskning. De to mest karakteristiske egenskapene til intuisjonisme er de logiske prinsippene for resonnement som den tillater i bevis og den fulle forestillingen om det intuisjonistiske kontinuum. Bare hva sistnevnte angår, blir intuisjonisme uforlignelig med klassisk matematikk. I denne oppføringen er fokuset på de prinsippene for intuisjonisme som skiller den fra andre matematiske fagområder, og derfor vil dens andre konstruktive aspekter bli behandlet mindre detaljert.

3.1 BHK-tolkningen

I intuisjonisme betyr det å ha et bevis på det å vite at en påstand A er sann. I 1934 introduserte Arend Heyting, som hadde vært student av Brouwer, en form for det som senere ble kjent som Brouwer-Heyting-Kolmogorov-tolkningen, som fanger betydningen av de logiske symbolene i intuisjonismen, og også i konstruktivismen generelt. Den definerer på en uformell måte hva et intuisjonistisk bevis skal bestå av ved å indikere hvordan tilkoblingsmaterialene og kvantifisererne skal tolkes.

  • (bot) kan ikke påvises.
  • Et bevis på (A / kile B) består av et bevis på (A) og et bevis på (B).
  • Et bevis på (A / vee B) består av et bevis på (A) eller et bevis på (B).
  • Et bevis på (A / høyre mark B) er en konstruksjon som forvandler ethvert bevis på (A) til et bevis på (B).
  • Et bevis på (eksisterer x A (x)) gis ved å presentere et element (d) i domenet og et bevis på (A (d)).
  • Et bevis på (forall x A (x)) er en konstruksjon som forvandler hvert bevis på at (d) hører til domenet til et bevis på (A (d)).

Negasjonen (neg A) av en formel (A) er bevist når det har blitt vist at det ikke kan eksistere et bevis på (A), som betyr å tilveiebringe en konstruksjon som stammer falsum fra et mulig bevis på \(EN). Dermed tilsvarer (neg A) (A / høyre / bot). BHK-tolkningen er ikke en formell definisjon fordi forestillingen om konstruksjon ikke er definert og derfor er åpen for forskjellige tolkninger. Ikke desto mindre er man allerede på dette uformelle nivå tvunget til å avvise et av de logiske prinsippene som alltid er til stede i klassisk logikk: prinsippet om den ekskluderte midten ((A / vee / neg A)). I følge BHK-tolkningen er dette utsagnet intuisjonistisk hvis det skapende emnet kjenner et bevis på (A) eller et bevis på at (A) ikke kan bevises. I tilfelle at verken for (A) eller for dens negasjon er et bevis,uttalelsen ((A / vee / neg A)) holder ikke. Eksistensen av åpne problemer, som Goldbach-antagelsen eller Riemann-hypotesen, illustrerer dette faktum. Men når det er funnet et bevis på (A) eller et bevis på dets negasjon, endres situasjonen, og for dette (A) er prinsippet ((A / vee / neg A)) sant fra det øyeblikk.

3.2 Intuisjonistisk logikk

Brouwer avviste prinsippet om den ekskluderte midten på bakgrunn av sin filosofi, men Arend Heyting var den første som formulerte en omfattende logikk av prinsipper akseptable fra et intuisjonistisk synspunkt. Intuisjonistisk logikk, som også er logikken i de fleste andre former for konstruktivisme, blir ofte referert til som "klassisk logikk uten prinsippet om den ekskluderte midten". Det er betegnet av IQC, som står for Intuitionistic Quantifier Logic, men andre navn forekommer også i litteraturen. En mulig aksiomatisering i Hilbert-stil består av prinsippene

(A / kile B / høyre høyre A) (A / kile B / høyre pil B) (A / høyre mark A / vee B) (B / høyre høyre A / vee B)
(A / høyre pil (B / høyre pil A)) (alt x A (x) høyre høyre A (t)) (A (t) høyre mark / eksisterer x A (x)) (bot / høyre høyre A)
((A / høyre pil (B / høyre pil C)) høyre pil ((A / høyre pil B) høyre høyre (A / høyre pil C)))
(A / høyre pil (B / høyre pil A / kil B))
((A / høyre pil C) høyre pil ((B / høyre pil C) høyre pil (A / vee B / høyre pil C)))
(forall x (B / høyre pil A (x)) høyre pil (B / høyre pil / for alt x A (x))) (alt x (A (x) høyre pil B) høyre pil (eksisterer x A (x) høyre pil B))

med de vanlige sideforholdene for de to siste aksiomene, og regelen Modus Ponens,

(tekst {fra (A) og ((A / høyre høyre B)) utlede (B)},)

som den eneste inferensregelen. Intuisjonistisk logikk har vært gjenstand for etterforskning helt siden Heyting formulerte den. Allerede på proposisjonsnivå har den mange egenskaper som skiller den fra klassisk logikk, for eksempel Disjunction Property:

(tag {({ bf DP})} { bf IQC} vdash A / vee B / text {impliserer} { bf IQC} vdash A / text {eller} { bf IQC} vdash B.)

Dette prinsippet brytes tydelig i klassisk logikk, fordi klassisk logikk beviser ((A / vee / neg A)) også for formler som er uavhengige av logikken, dvs. som både (A) og (neg A)) er ikke en tautologi. Inkluderingen av prinsippet Ex Falso Sequitur Quodlibet, ((rett / A)), i intuisjonistisk logikk er et diskusjonspunkt for de som studerer Brouwer sine bemerkninger om emnet; i van Atten 2008 argumenteres det for at prinsippet ikke er gyldig i intuisjonisme og at de logiske prinsippene som er gyldige i henhold til Brouwer's synspunkter, er de av relevanslogikk. Se van Dalen 2004 for mer om Brouwer og Ex Falso Sequitur Quodlibet.

Selv om all logikk som brukes i intuisjonistisk resonnement frem til i dag er inneholdt i IQC, er det i prinsippet tenkelig at det på et tidspunkt vil bli funnet et prinsipp akseptabelt fra det intuisjonistiske synspunkt som ikke dekkes av denne logikken. For de fleste former for konstruktivisme er det allment aksepterte synet at dette aldri vil være tilfelle, og at IQC anses å være logikken i konstruktivismen. For intuisjonisme er situasjonen mindre klar, fordi det ikke kan utelukkes at vår intuisjonistiske forståelse på et tidspunkt kan føre oss til nye logiske prinsipper som vi ikke har forstått før.

En av grunnene til den utbredte bruken av intuisjonistisk logikk er at den er veloppdragen både fra bevisteoretikken som modellteoretisk synspunkt. Det finnes mange bevissystemer for det, for eksempel Gentzen calculi og naturlige deduksjonssystemer, så vel som forskjellige former for semantikk, som Kripke-modeller, Beth-modeller, Heyting-algebraer, topologisk semantikk og kategoriske modeller. Flere av disse semantikkene er imidlertid bare klassiske virkemidler for å studere intuisjonistisk logikk, for det kan vises at et intuisjonistisk fullstendighetsbevis med hensyn til dem ikke kan eksistere (Kreisel 1962). Det er imidlertid vist at det finnes alternative, men litt mindre naturlige modeller med hensyn til fullstendighet som holder konstruktivt (Veldman 1976). Den konstruktive karakteren av intuisjonistisk logikk blir spesielt tydelig i Curry-Howard-isomorfismen som etablerer en samsvar mellom derivasjoner i logikken og begrepene i ganske enkelt skrevet (lambda) - beregning, det vil si mellom bevis og beregninger. Korrespondansen bevarer strukturen ved at reduksjon av vilkår tilsvarer normalisering av bevisene.

3.3 De naturlige tallene

Eksistensen av de naturlige tallene gis ved den første handlingen av intuisjonisme, det vil si ved oppfatningen av tidens bevegelse og det å falle fra hverandre av et livsøyeblikk i to forskjellige ting: hva var, 1, og hva som er sammen med det som var, 2 og derfra til 3, 4, … I motsetning til klassisk matematikk, anses all uendelig i intuisjonisme å være potensiell uendelig. Spesielt er dette tilfelle for uendelig med de naturlige tallene. Derfor må utsagn som kvantifiseres over dette settet behandles med forsiktighet. På den annen side er induksjonsprinsippet fullt akseptabelt fra et intuisjonistisk synspunkt.

På grunn av det naturlige tallets endelighet i motsetning til for eksempel et reelt tall, er mange aritmetiske utsagn av endelig karakter som er sanne i klassisk matematikk, også i intuisjonisme. For eksempel, i intuisjonisme har hvert naturlig tall en hovedfaktorisering; det finnes beregningsbare tallbare sett som ikke kan beregnes; ((A / vee / neg A)) gjelder for alle kvantiseringsfrie utsagn (A). For mer komplekse utsagn, som van der Waerdens teorem eller Kruskals teorem, er intuisjonistisk gyldighet ikke så grei. Faktisk er de intuisjonistiske bevisene til begge utsagnene sammensatte og avviker fra de klassiske bevisene (Coquand 1995, Veldman 2004).

I sammenheng med de naturlige tallene har intuisjonisme og klassisk matematikk mye til felles. Det er først når andre uendelige sett som de reelle tallene blir vurdert at intuisjonismen begynner å skille seg mer dramatisk fra klassisk matematikk, og fra de fleste andre former for konstruktivisme også.

3.4 Kontinuumet

I intuisjonisme er kontinuumet både en forlengelse og en begrensning av dets klassiske motstykke. I sin fulle form er begge forestillinger uforlignelige siden de intuisjonistiske reelle tallene har egenskaper som de klassiske reelle tallene ikke har. Et kjent eksempel, som skal diskuteres nedenfor, er teoremet om at i intuisjonismen er enhver totalfunksjon på kontinuumet kontinuerlig. At det intuisjonistiske kontinuumet ikke tilfredsstiller visse klassiske egenskaper, kan lett sees gjennom svake moteksempler. At den også inneholder egenskaper som de klassiske realene ikke har, stammer fra eksistensen, i intuisjonisme, av valgsekvenser.

Svake moteksempler

De svake moteksemplene, introdusert av Brouwer i 1908, er de første eksemplene som Brouwer brukte for å vise at overgangen fra en klassisk til en intuisjonistisk forestilling om matematikk ikke er uten konsekvens for de matematiske sannhetene som kan etableres i henhold til disse filosofiene. De viser at visse klassiske utsagn for tiden er uakseptable fra et intuisjonistisk synspunkt. Som et eksempel, vurder sekvensen av reelle tall gitt ved følgende definisjon:

[r_n = / begynne {saker} 2 ^ {- n} tekst {if} forall m / leq n A (m) / 2 ^ {- m} tekst {if} neg A (m) kile m / leq n / kile / for alle k / lt m A (k). / slutt {saker})

Her (A (n)) er en avgjørbar egenskap som (forall n A (n)) ikke er kjent for å være sann eller usann. Avgjørbarhet betyr at for tiden for et gitt (n) finnes det (kan konstrueres) et bevis på (A (n)) eller (neg A (n)). På dette tidspunktet kunne vi for eksempel la (A (n)) uttrykke at (n), hvis større enn 2, er summen av tre primater; (forall n A (n)) uttrykker da den (originale) Goldbach-antagelsen at hvert tall som er større enn 2 er summen av tre primater. Sekvensen (langle r_n / rangle) definerer et reelt tall (r) som utsagnet (r = 0) tilsvarer utsagnet (forall n A (n)). Det følger at uttalelsen ((r = 0 / vee r / neq 0)) ikke holder, og at trikotomiloven (forall x (x / lt y / vee x = y / vee x / gt y)) stemmer ikke på det intuisjonistiske kontinuumet.

Legg merke til den subtile forskjellen mellom “(A) er ikke intuisjonistisk sann” og “(A) er intuisjonistisk tilbakevisende”: i det første tilfellet vet vi at (A) ikke kan ha et intuisjonistisk bevis, uttrykker den andre uttalelsen at vi har et bevis på ¬ A, dvs. en konstruksjon som stammer falsum fra eventuelle bevis på (A). For trikotomiloven har vi nettopp vist at det ikke er intuisjonistisk sant. Nedenfor vil det vises at selv den andre sterkere formen som sier at loven er tilbakevist, holder intuisjonistisk. Dette stemmer imidlertid ikke for alle utsagn som det eksisterer svake moteksempler på. For eksempel er Goldbach-antagelsen et svakt moteksempel på prinsippet om den ekskluderte midten, siden (forall n A (n)) som ovenfor foreløpig ikke er kjent for å være sant eller usant,og dermed kan vi ikke hevde (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n)) intuisjonistisk, i hvert fall ikke i dette øyeblikket. Men tilbakevisningen av denne uttalelsen, (neg (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n))), stemmer ikke i intuisjonismen, da man kan vise at for enhver uttalelse (B) en motsetning kan avledes fra antagelsen at (neg B) og (neg / neg B) holder (og dermed også fra (B) og (neg B)). Med andre ord, (neg / neg (B / vee / neg B)) er intuisjonistisk sant, og selv om det eksisterer svake moteksempler på prinsippet om den ekskluderte midten, er dens negasjon falsk i intuisjonisme, det vil si det er intuisjonistisk anseelig.som man kan vise at for enhver uttalelse (B) kan en motsetning komme fra antagelsen som (neg B) og (neg / neg B) holder (og dermed også fra (B) og (neg B)). Med andre ord, (neg / neg (B / vee / neg B)) er intuisjonistisk sant, og selv om det eksisterer svake moteksempler på prinsippet om den ekskluderte midten, er dens negasjon falsk i intuisjonisme, det vil si det er intuisjonistisk anseelig.som man kan vise at for enhver uttalelse (B) kan en motsetning komme fra antagelsen som (neg B) og (neg / neg B) holder (og dermed også fra (B) og (neg B)). Med andre ord, (neg / neg (B / vee / neg B)) er intuisjonistisk sant, og selv om det eksisterer svake moteksempler på prinsippet om den ekskluderte midten, er dens negasjon falsk i intuisjonisme, det vil si det er intuisjonistisk anseelig.

Eksistensen av reelle tall (r) som intuisjonisten ikke kan bestemme om de er positive eller ikke, viser at visse klassisk totale funksjoner slutter å være slik i en intuisjonistisk setting, for eksempel den stykkevis konstante funksjonen

[f (r) = / begynne {saker} 0 / tekst {hvis} r / geq 0 \\ 1 / tekst {hvis} r / lt 0. / end {cases})

Det finnes svake moteksempler på mange klassisk gyldige utsagn. Konstruksjonen av disse svake moteksemplene følger ofte samme mønster som eksemplet ovenfor. For eksempel kjører argumentet som viser at mellomverdien teorem ikke er intuisjonistisk gyldig som følger. La (r) være et reelt tall i [−1,1] som ((r / leq 0 / vee 0 / lt r)) ikke er bestemt, som i eksemplet over. Definer den jevn kontinuerlige funksjonen (f) på ([0,3]) med

[f (x) = / text {min} (x-1,0) + / text {max} (0, x-2) + r.)

Klart at (f (0) = -1 + r) og (f (3) = 1 + r), hvorfra (f) tar verdien 0 på et tidspunkt (x) i [0, 3]. Hvis slikt (x) kan bestemmes, enten (1 / leq x) eller (x / leq 2). Siden (f) tilsvarer (r) på ([1,2]), i det første tilfellet (r / leq 0) og i det andre tilfellet (0 / leq r), i motstrid uklarheten til utsagnet ((r / leq 0 / vee 0 / leq r)).

Disse eksemplene ser ut til å indikere at man i skiftet fra klassisk til intuisjonistisk matematikk mister flere grunnleggende teoremer om analyse. Dette er imidlertid ikke slik, siden intuisjonisme i mange tilfeller gjenvinner slike teoremer i form av en analog der eksistensielle utsagn erstattes av uttalelser om eksistensen av tilnærmelser innen vilkårlig presisjon, som i denne klassisk ekvivalente formen av mellomverdisteoremet som er konstruktivt gyldig:

Teorem. For hver kontinuerlig virkelig verdsatt funksjon (f) på et intervall ([a, b]) med (a / lt b), for hver (c) mellom (f (a)) og (f (b)), gjelder følgende:

(forall n / eksisterer x / i [a, b], | f (x) -c | / lt 2 ^ {- n}.)

Svake moteksempler er et middel for å vise at visse matematiske utsagn ikke har intuisjonistisk, men at de ennå ikke avslører rikdommen i det intuisjonistiske kontinuumet. Først etter at Brouwer innførte valgsekvenser, fikk intuisjonismen sin spesielle smak og ble makeløs med klassisk matematikk.

Valgssekvenser

Valgssekvenser ble introdusert av Brouwer for å fange intuisjonen til kontinuumet. Siden for intuisjonisten all uendelig er potensiell, kan uendelige objekter bare gripes via en prosess som genererer dem trinnvis. Hva som skal tillates som en legitim konstruksjon bestemmer derfor hvilke uendelige objekter som skal aksepteres. For eksempel er det i de fleste andre former for konstruktivisme bare beregbare regler for å generere slike objekter tillatt, mens infiniteter i Platonisme anses som fullførte totaliteter hvis eksistens er akseptert, selv i tilfeller der ingen genereringsregler er kjent.

Brouwer sin andre handling av intuisjonisme gir opphav til valgsekvenser, som gir visse uendelige sett egenskaper som er uakseptable fra et klassisk synspunkt. En valgsekvens er en uendelig rekkefølge med tall (eller endelige objekter) som er opprettet av fri vilje. Sekvensen kan bestemmes av en lov eller algoritme, for eksempel sekvensen som bare består av nuller, eller av primtalene i økende rekkefølge, i hvilket tilfelle vi snakker om en lovlig sekvens, eller den kan ikke være underlagt noen lov, i hvilken sak det kalles lovløs. Lovløse sekvenser kan for eksempel opprettes ved gjentatte kast av en mynt, eller ved å be Opprettelsesemnet om å velge de påfølgende tallene i sekvensen en etter en, slik at den kan velge et hvilket som helst nummer til sin smak. Dermed er en lovløs sekvens stadig uferdig,og den eneste tilgjengelige informasjonen om det på et hvilket som helst tidspunkt er det første segmentet av sekvensen som er opprettet så langt. Det er klart, av naturens lovløshet kan vi aldri bestemme om dens verdier vil sammenfalle med en sekvens som er lovlig. Den frie viljen er også i stand til å lage sekvenser som starter som lovlig, men som loven på et bestemt tidspunkt kan løftes og prosessen med fritt valg tar over for å generere de påfølgende tallene, eller omvendt.men på hvilket tidspunkt loven kan løftes og prosessen med fritt valg tar over for å generere de påfølgende tallene, eller omvendt.men på hvilket tidspunkt loven kan løftes og prosessen med fritt valg tar over for å generere de påfølgende tallene, eller omvendt.

I følge Brouwer er hvert reelt tall representert av en valgsekvens, og valgsekvensene gjorde at han kunne fange det intuisjonistiske kontinuumet via de kontroversielle kontinuitetsaksiomene. Brouwer snakket først om valgsekvenser i sin åpningsadresse (Brouwer 1912), men på den tiden behandlet han ennå ikke dem som en grunnleggende del av matematikken. Etter hvert ble de viktigere og fra 1918 begynte Brouwer å bruke dem på en måte som ble forklart i neste avsnitt.

3.5 Kontinuitetsaksiomer

Aksepten av forestillingen om valgsekvens har vidtrekkende implikasjoner. Det rettferdiggjør, for intuisjonisten, bruken av kontinuitetsaksiomene, hvorfra klassisk ugyldige utsagn kan utledes. Den svakeste av disse aksiomene er den svake kontinuitetsaksiomen:

(tag {({ bf WC / mbox {-} N})} forall / alpha / exist n A (alpha, n) rightarrow / forall / alpha / exist m / exist n / forall / beta / i / a (overlinje {m}) A (P, N).)

Her (n) og (m) spenner over naturlige tall, (alpha) og (beta) over valgssekvenser, og (beta / in / alpha (overline {m})) betyr at de første (m) elementene til (alpha) og (beta) er like. Selv om det til nå aldri har blitt gitt en fullstendig tilfredsstillende begrunnelse av de fleste kontinuitetsaksiomer for vilkårlige valgsekvenser, ikke engang av Brouwer, når de er begrenset til klassen av lovløse sekvenser, argumenter som støtter gyldigheten av den svake kontinuitetsaksiomkjøringen som følger. Når kunne en uttalelse av skjemaet (forall / alpha / exist n A (alpha, n)) opprettes av intuisjonisten? Selve karakteren av forestillingen om lovløs sekvens, må valget av tallet (n) som (A (alpha, n)) skal gjøres etter bare et begrenset innledende segment av (alpha) er kjent. For vi vet ikke hvordan (alpha) vil gå frem i tid,og vi må derfor basere valget av (n) på det første segmentet av (alpha) som er kjent på det tidspunktet hvor vi ønsker å fikse (n). Dette innebærer at for hver lovløs sekvens (beta) med samme begynnelsesegment som (alpha), også (A (beta, n)) holder.

Det er vist at det svake kontinuitetsaksiomet er konsistent, og brukes ofte i en form som kan rettferdiggjøres, nemlig i tilfelle predikatet (A) bare refererer til verdiene til (alpha), og ikke til de høyere orden egenskaper som den muligens besitter. Detaljene i argumentet vil bli utelatt her, men det inneholder de samme ingrediensene som begrunnelsen for prinsippet for lovløse sekvenser, og finnes i van Atten og van Dalen 2002.

Svak kontinuitet uttømmer ikke intuisjonistenes intuisjon om kontinuumet, for gitt den svake kontinuitetsaksiomen, virker det rimelig å anta at valget av tallet (m) slik at (forall / beta / in / alpha (overline {m}) A (beta, n)), kan gjøres eksplisitt. Altså (forall / alpha / exist n A (alpha, n)) impliserer eksistensen av en kontinuerlig funksjonell (Phi) som for hver (alpha) produserer (m) som fikser lengden på (alpha) på grunnlag av hvilken (n) er valgt. Mer formelt, la (mathcal {CF}) være klassen av kontinuerlige funksjoner (Phi) som tildeler naturlige tall til uendelige sekvenser, dvs. som tilfredsstiller

(forall / alpha / eksisterer m / forall / beta / i / alpha (overline {m}) Phi (alpha) = / Phi (beta).)

Kontinuitetens fulle aksiom, som er en forlengelse av det svake kontinuitetsaksiomet, kan da uttrykkes som:

(tag {({ bf C / mbox {-} N})} forall / alpha / exist n A (alpha, n) rightarrow / exist / Phi / in / mathcal {CF}, / forall / alpha A (alpha, / Phi (alpha)).)

Gjennom kontinuitetsaksiomet kan visse svake moteksempler omdannes til ekte tilbakevisninger av klassisk aksepterte prinsipper. For eksempel innebærer det at den kvantifiserte versjonen av prinsippet om den ekskluderte midten er falsk:

(neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0).)

Her (alpha (n)) betegner (n) - det elementet i (alpha). For å se at denne negasjonene inneholder, antar og argumenterer i motsetning, at (neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0)) holder. Dette innebærer det

(forall / alpha / eksisterer k ((forall n / alpha (n) = 0 / kil k = 0) vee (neg / forall n / alpha (n) = 0 / kil k = 1)).)

Ved den svake kontinuitetsaksiomen, for (alpha) som kun består av nuller, finnes det et tall (m) som fikser valget av (k), som betyr at for alle (beta / in / alpha) (overline {m})), (k = 0). Men eksistensen av sekvenser der de første (m) elementene er 0 og som inneholder 1 viser at dette ikke kan være det.

Dette eksemplet som viser at prinsippet om den ekskluderte midten ikke bare ikke holder, men faktisk er falsk i intuisjonisme, fører til tilbakevisning av mange grunnleggende egenskaper ved kontinuumet. Tenk for eksempel på det virkelige tallet (r_ / alpha) som er grensen for sekvensen som består av tallene (r_n) som gitt i avsnittet om svake moteksempler, der (A (m)) i definisjonen anses som utsagnet (alpha (m) = 0). Da tilsier tilbakevisningen over at (neg / forall / alpha (r_ / alpha = 0 / vee r_ / alpha / neq 0)), og den tilbakeviser dermed trikotomiloven:

(forall x (x / lt y / vee x = y / vee y / lt x).)

Følgende teorem er et annet eksempel på måten kontinuitetsaksiomet motbeviser visse klassiske prinsipper.

Teorem ({ bf (C / mbox {-} N)}) Hver totale reelle funksjon er kontinuerlig.

Faktisk, et klassisk moteksempel på dette teoremet, den ingensteds kontinuerlige funksjonen [f (x) = / begynne {saker} 0 / tekst {hvis (x) er et rasjonelt tall} / 1 / tekst {hvis (x) er et irrasjonelt tall} end {cases}) er ikke en legitim funksjon fra det intuisjonistiske synspunktet siden egenskapen til å være rasjonell ikke kan avgjøres på de reelle tallene. Teoremet ovenfor tilsier at kontinuumet ikke er nedbrytbart, og i van Dalen 1997 blir det vist at dette til og med gjelder for settet med irrasjonelle tall.

De to eksemplene ovenfor er karakteristiske for måten kontinuitetsaksiomene blir brukt i intuisjonistisk matematikk. De er de eneste aksiomene i intuisjonismen som motsier klassisk resonnement, og representerer derved den mest fargerike så vel som den mest kontroversielle delen av Brouwer's filosofi.

Nabolagets funksjoner

Det er en praktisk fremstilling av kontinuerlige funksjoner som har blitt brukt mye i litteraturen, men ikke av Brouwer selv. Kontinuerlige funksjoner som tildeler tall til uendelige sekvenser, kan bli representert av nabolagsfunksjoner, der en nabolagsfunksjon (f) er en funksjon på de naturlige tallene som tilfredsstiller de følgende to egenskapene ((cdot) betegner sammenløp og (f (alpha (overline {n}))) angir verdien til (f) på koden til den endelige sekvensen (alpha (overline {n}))).

(alpha / eksisterer nf (alpha (overline {n})) gt 0 / \ / \ / alt n / forall m (f (n) gt 0 / høyre m f (n / cdot m) = f (n)).)

Intuitivt, hvis (f) representerer (Phi), da (f (alpha (overline {n})) = 0) betyr at (alpha (overline {n})) er ikke lenge nok til å beregne (Phi (alpha)), og (f (alpha (overline {n})) = m + 1) betyr at (alpha (overline {n})) er lang nok til å beregne (Phi (alpha)) og at verdien til (Phi (alpha)) er (m). Hvis (mathcal {K}) angir klassen av nabolagsfunksjoner, kan kontinuitetsaksiomet ({ bf C / mbox {-} N}) omformuleres som (forall / alpha / exist n (alpha, n) rightarrow / exist f / in / mathcal {K}, / forall m (f (m) gt 0 / rightarrow / forall / beta / in m A (beta, f (m-1)))),)

der (beta / i m) betyr at koden for det opprinnelige segmentet til (beta) er (m).

3.6 Barretningen

Brouwer introduserte valgsekvenser og kontinuitetsaksiomer for å fange det intuisjonistiske kontinuumet, men disse prinsippene alene er ikke tilstrekkelig for å gjenopprette den delen av tradisjonell analyse som Brouwer vurderte som intuisjonistisk lyd, slik som teoremet at enhver kontinuerlig reell funksjon på et lukket intervall er jevn kontinuerlig. Av denne grunn beviste Brouwer det såkalte bar-setningen. Det er en klassisk gyldig uttalelse, men beviset Brouwer ga er av mange ansett for å ikke være noe bevis i det hele tatt, siden det bruker en antagelse om formen for bevis som det ikke fremlegges strenge argumenter for. Dette er grunnen til at stolpeteoremet også blir referert til som barprinsippet.

Den mest kjente konsekvensen av barretningen er viftesetningen, som er nok til å bevise det nevnte teoremet om ensartet kontinuitet, og som vil bli behandlet først. Både viften og barretoremet lar intuisjonisten bruke induksjon langs visse velbegrunnede sett med objekter som kalles oppslag. En spredning er den intuisjonistiske analogen til et sett, og fanger ideen om uendelige objekter som stadig vokser og aldri blir ferdige. En spredning er i hovedsak et tellende forgreiningstre merket med naturlige antall eller andre begrensede gjenstander og inneholder bare uendelige stier.

En vifte er en endelig forgreningsspredning, og vifteprinsippet uttrykker en form for kompakthet som er klassisk ekvivalent med Königs lemma, hvis klassiske bevis er uakseptabelt fra det intuisjonistiske synspunkt. Prinsippet sier at for hver vifte (T) der hver gren på et tidspunkt tilfredsstiller en eiendom (A), er det en enhetlig grense på dybden som denne egenskapen oppfylles. En slik eiendom kalles en bar for (T).

(tag {({ bf FAN})} forall / alpha / in T / eksisterer n A (alpha (overline {n})) høyre-pil / eksisterer m / forall / alpha / i T / eksisterer n / leq m A (alpha (overline {n})).)

Her (alpha / in T) betyr at (alpha) er en gren av (T). Prinsippet FAN er tilstrekkelig for å bevise det teorem som er nevnt over:

Teorem (FAN) Hver kontinuerlig reell funksjon på et lukket intervall er jevn kontinuerlig.

Brouwer sin begrunnelse for fanteoremet er hans barprinsipp for den universelle spredningen:

(tag {({ bf BI})} start {align} & (forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n})) vee / neg A (alpha (overline {n})) stor) kil / forall / alpha / eksisterer n A (alpha (overline {n})) / kil & / quad / forall / alpha / forall n / stor (A (alpha (overline {n})) høyre pil B (alpha (overline {n})) big) / kil & / quad / forall / alpha / forall n / big (forall mB (alpha (overline {n}) cdot m) høyre pil B (alpha (overline {n})) stor)] høyre pil B (varepsilon). / end {align})

Her (varepsilon) står for den tomme sekvensen, (cdot) for sammenkjøring, BI for Bar Induction, og underskriptet D refererer til avgjørbarheten til predikatet (A). Barprinsippet gir intuisjonisme et induksjonsprinsipp for trær; det uttrykker et velbegrunnelsesprinsipp for oppslag med hensyn til avgjørbare egenskaper. Utvidelser av dette prinsippet hvor avgjørbarhetskravet svekkes, kan trekkes ut fra Brouwer sitt arbeid, men vil bli utelatt her. Kontinuitet og søyleprinsippet blir noen ganger fanget opp i ett aksiom kalt stolpekontinuitetsaksiomet.

Det er en nær forbindelse mellom stolpeprinsippet og nabolagsfunksjonene som er nevnt i avsnittet om kontinuitetsaksiomer. La (mathcal {IK}) være den induktivt definerte klassen av nabolagsfunksjoner, bestående av alle konstante ikke-null-sekvenser (lambda m.n + 1), og slik at hvis (f (0) = 0) og (lambda mf (x / cdot m) i / matematikk {IK}) for alle (x), deretter (f / i / matematikk {IK}). Setningen (mathcal {K} = / mathcal {IK}), dvs. den uttalelse at nabolaget funksjoner kan genereres induktivt, er ekvivalent med BI D.

Brouwer sitt bevis på barretningen er bemerkelsesverdig ved at den bruker velordnede egenskaper til hypotetiske bevis. Det er basert på antagelsen om at ethvert bevis på at en egenskap A på sekvenser er en stolpe kan dekomponeres til et kanonisk bevis som er velordnet. Selv om det er klassisk gyldig, viser Brouwer sitt bevis på prinsippet at grunnen til å akseptere det som et gyldig prinsipp i intuisjonisme skiller seg fundamentalt fra argumentet som støtter dets akseptbarhet i klassisk matematikk.

3.7 Valgaksiomer

Valgets aksiom i sin fulle form er uakseptabelt fra et konstruktivt synspunkt, i det minste i nærvær av visse andre sentrale aksiomer i settteorien, for eksempel ekstensjonalitet (Diaconescu 1975). For la (A) være et utsagn som ikke er kjent for å være sant eller usant. Da kan ikke medlemskap i de følgende to settene avvises.

(begynne {align} X & = {x / in {0,1 } midten x = 0 / vee (x = 1 / kilen A) } / Y & = {y / in {0,1 } mid y = 1 / vee (y = 0 / kil A) } end {align})

Eksistensen av en valgfunksjon (f: {X, Y } høyre mark {0,1 }) å velge et element fra (X) og (Y) ville innebære ((A / vee / neg A)). For hvis (f (X) neq f (Y)), følger det at (X / neq Y), og dermed (neg A), mens (f (X) = f (Y))) impliserer (A). Derfor kan en valgfunksjon for ({X, Y }) ikke eksistere.

Det er imidlertid visse begrensninger i aksiomet som er akseptable for intuisjonistene, for eksempel aksiomet til tellbart valg, også akseptert som et legitimt prinsipp av semi-intuisjonistene som skal diskuteres nedenfor:

(tag {({ bf AC / mbox {-} N})} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / eksisterer n \, mRn / høyre mark / eksisterer / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} forall m \, mR / alpha (m) big).)

Denne ordningen kan være berettiget som følger. Et bevis på forutsetningen skal gi en metode som gitt (m) gir et tall (n) slik at (mRn). Dermed kan funksjonen (alpha) på de naturlige tallene (mathbb {N}) konstrueres trinnvis: først velges et element (m_0) slik at (0Rm_0), som vil være verdien til (alpha (0)). Da velges et element (m_1) slik at (1Rm_1), som vil være verdien til (alpha (1)), og så videre.

Flere andre aksiommer kan rettferdiggjøres på lignende måte. Bare en til vil bli nevnt her, aksiomet til avhengig valg:

(tag {({ bf DC / mbox {-} N})} start {align} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / eksisterer n \, mRn / høyre mark & / forall k / eksisterer / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} big (alpha (0) = k / \ kil & / forall i / geq 0 \, / alpha (i) R / alpha (i + 1) big) big). / End {justere})

Også i klassisk matematikk behandles valgaksiomene med omhu, og det blir ofte eksplisitt nevnt hvor mye valg som er nødvendig i et bevis. Siden aksiomet til avhengig valg stemmer overens med et viktig aksiom i klassisk settteori (aksiomet til bestemmelse) mens det fulle aksiomet ikke er valgt, blir spesiell oppmerksomhet rettet mot dette aksiomet, og generelt prøver man å redusere valgmengden i et bevis, hvis valg i det hele tatt er til stede, for avhengig valg.

3.8 Beskrivende settteori, topologi og topos teori

Brouwer var ikke alene i tvilene rundt visse klassiske resonnement. Dette er spesielt synlig i beskrivende settteori, som dukket opp som en reaksjon på de svært ikke-konstruktive forestillinger som forekommer i kantorisk settteori. Grunnfedrene til feltet, inkludert Émile Borel og Henri Lebesgue som to av hovedfigurene, ble kalt semi-intuisjonister, og deres konstruktive behandling av kontinuumet førte til definisjonen av Borel-hierarkiet. Fra deres synspunkt er en forestilling som settet med alle sett med reelle tall meningsløs, og må derfor erstattes av et hierarki av undersett som har en klar beskrivelse.

I Veldman 1999 formuleres en intuisjonistisk ekvivalent av forestillingen om Borelsett, og det vises at klassisk likeverdige definisjoner av Borelsettene gir opphav til en rekke intuisjonistiske distinkte klasser, en situasjon som ofte forekommer i intuisjonismen. For det intuisjonistiske Borel setter en analog til Borel Hierarki Teorem er intuisjonistisk gyldig. Beviset for dette faktum gjør vesentlig bruk av kontinuitetsaksiomene omtalt ovenfor og viser dermed hvordan klassisk matematikk kan lede søket etter intuisjonistiske analoger som imidlertid må bevises på en helt annen måte, noen ganger ved å bruke prinsipper som er uakseptable fra et klassisk synspunkt. utsikt.

En annen tilnærming til studiet av undergrupper av kontinuumet, eller av et topologisk rom generelt, har dukket opp gjennom utviklingen av formell eller abstrakt topologi (Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987). I denne konstruktive topologien blir rollen som åpne sett og punkter snudd; i klassisk topologi er et åpent sett definert som et visst sett med punkter, i det konstruktive tilfellet er åpne sett den grunnleggende oppfatningen og poeng er definert i form av dem. Derfor blir denne tilnærmingen noen ganger referert til som punktfri topologi.

Intuisjonistisk funksjonsanalyse er utviklet vidt og bredt av Brouwer etter Brouwer, men siden de fleste tilnærminger ikke er strengt intuisjonistiske, men også konstruktive i større forstand, vil denne forskningen ikke bli behandlet videre her.

4. Konstruktivisme

Intuisjonisme deler en kjernedel med de fleste andre former for konstruktivisme. Konstruktivisme generelt er opptatt av konstruktive matematiske objekter og resonnement. Fra konstruktive bevis kan man, i det minste i prinsippet, trekke ut algoritmer som beregner elementene og simulerer konstruksjonene hvis eksistens er etablert i beviset. De fleste former for konstruktivisme er kompatible med klassisk matematikk, ettersom de generelt er basert på en strengere tolkning av kvantifisererne og tilkoblingene og konstruksjonene som er tillatt, mens det ikke tas noen ytterligere forutsetninger. Logikken akseptert av nesten alle konstruktive samfunn er den samme, nemlig intuisjonistisk logikk.

Mange eksistensielle teoremer i klassisk matematikk har en konstruktiv analog der den eksistensielle utsagn erstattes av en uttalelse om tilnærminger. Vi så et eksempel på dette, mellomverdisetningen, i seksjonen om svake moteksempler ovenfor. Store deler av matematikken kan gjenvinnes konstruktivt på en lignende måte. Årsaken til ikke å behandle dem videre her er at fokuset i denne oppføringen er på de aspektene ved intuisjonisme som skiller den fra andre konstruktive grener av matematikk. For en grundig behandling av konstruktivisme blir leseren henvist til den tilsvarende oppføringen i dette leksikonet.

5. Meta-matematikk

Selv om Brouwer utviklet matematikken sin på en presis og grunnleggende måte, ble formalisering i den forstand slik vi kjenner den i dag, bare utført senere av andre. I følge Brouwer sitt syn på at matematikk utfolder seg internt, er formalisering, selv om den ikke er uakseptabel, unødvendig. Andre etter ham mente noe annet, og formaliseringen av intuisjonistisk matematikk og studiet av dens metematematiske egenskaper, særlig aritmetikk og analyse, har tiltrukket seg mange forskere. Formaliseringen av den intuisjonistiske logikken som alle formaliseringer bygger på, er allerede behandlet ovenfor.

5.1 Aritmetikk

Heyting Arithmetic HA som formulert av Arend Heyting er en formalisering av den intuisjonistiske teorien om de naturlige tallene (Heyting 1956). Den har de samme ikke-logiske aksiomene som Peano Arithmetic PA, men den er basert på intuisjonistisk logikk. Dermed er det en begrensning av klassisk aritmetikk, og det er den aksepterte teorien om de naturlige tallene i nesten alle områder av konstruktiv matematikk. Heyting Arithmetic har mange egenskaper som gjenspeiler dens konstruktive karakter, for eksempel den disjunksjonsegenskapen som også holder for intuisjonistisk logikk. En annen egenskap til HA som PA ikke deler er den numeriske eksistensegenskapen: ((overline {n}) er tallet som tilsvarer naturlig tall (n))

(tag {({ bf NEP})} { bf HA} vdash / exist x A (x) Rightarrow / exist n / in { mathbb N}, { bf HA} vdash A (overlinje {n}).)

At denne egenskapen ikke har PA, følger av at PA beviser (eksisterer x (A (x) vee / forall y / neg A (y))). Tenk for eksempel på at (A (x)) er formelen (T (e, e, x)), der (T) er det avgjørbare Kleene-predikatet som uttrykker at (x) er koden for en avsluttende beregning av programmet med kode (e) på input (e). Hvis det for hvert (e) ville eksistere et tall (n) slik at ({ bf PA} vdash T (e, e, n) vee / forall y / neg T (e, e, y)), ved å sjekke om (T (e, e, n)) vil det bli bestemt om et program (e) avsluttes på input (e). Dette er imidlertid generelt ikke avgjørbart.

Markovs regel er et prinsipp som holder både klassisk og intuisjonistisk, men bare for HA er beviset på dette faktum ikke-trivielt:

(tag {({ bf MR})} { bf HA} vdash / forall x (A (x) vee / neg A (x)) kil / neg / neg / eksisterer x A (x) Rightarrow { bf HA} vdash / eksisterer x A (x).)

Siden HA beviser loven for den ekskluderte midten for hvert primitivt rekursivt predikat, følger det at for slik (A) er derivabiliteten til (neg / neg / eksisterer x A (x)) i HA impliserer derivabiliteten til (eksisterer x A (x)) også. Av dette følger at PA er (Pi ^ 0_2) - konservativ overfor HA. Det vil si for primitiv rekursiv (A): [{ bf PA} vdash / forall x / eksisterer y A (x, y) Høyre høyre { bf HA} vdash / forall x / eksisterer y A (x, y).) Dermed sammenfaller klassen av beviselig rekursive funksjoner av HA med klassen av beviselig rekursive funksjoner hos PA, en egenskap som på bakgrunn av ideene som ligger til grunn for konstruktivisme og intuisjonisme, kanskje ikke kommer som en overraskelse.

5.2 Analyse

Formaliseringen av intuisjonistisk matematikk dekker mer enn aritmetikk. Store deler av analysen er blitt aksiomatisert fra et konstruktivt synspunkt (Kleene 1965, Troelstra 1973). Konstruktiviteten til disse systemene kan bestemmes ved bruk av funksjonelle, typeteoretiske eller realiserbarhetsfortolkninger, de fleste av dem basert på eller utvidelser av Gödels Dialectica-tolkning (Gödel 1958, Kreisel 1959), Kleene realiserbarhet (Kleene 1965), eller typeteorier (Martin- Löf 1984). I disse tolkningene blir funksjonalitetene som ligger til grunn for konstruktive utsagn, som for eksempel funksjonen som tilordner en (y) til alle (x) i (forall x / eksisterer y A (x, y)), eksplisitte på forskjellige måter.

I (Scott 1968 og 1970) presenteres en topologisk modell for den andreordens intuisjonistiske teori om analyse der realene tolkes som kontinuerlige funksjoner fra Baire-rom til de klassiske realene. I denne modellen har Kripkes skjema så vel som visse kontinuitetsaksiomer. I (Moschovakis 1973) er denne metoden tilpasset for å konstruere en modell for teorier om intuisjonistisk analyse når det gjelder valgsekvenser. Også i denne modellen har Kripkes skjema og visse kontinuitetsaksiomer. I (Van Dalen 1978) brukes Beth-modeller for å tilveiebringe en modell av aritmetiske og valgsekvenser som tilfredsstiller valgskjemaer, forekomster av svak kontinuitet og Kripkes skjema. I denne modellen er domenene ved hver node de naturlige tallene, slik at man ikke trenger å bruke ikke-standardiserte modeller, som for Kripke-modeller. Dessuten aksiomene CS1–3 av det skapende emnet kan tolkes i det, og viser dermed denne teorien å være konsistent.

5.3 Lovløse sekvenser

Det finnes aksiomatiseringer av de lovløse sekvensene, og de inneholder alle utvidelser av kontinuitetsaksiomene (Kreisel 1968, Troelstra 1977). Spesielt i form av Axiom of Open Data som sier at for (A (alpha)) som ikke inneholder andre ikke-uliklige parametere foruten (alpha):

[A (alpha) rightarrow / exist n / forall / beta / in / alpha (overline {n}) A (beta).)

I (Troelstra 1977) utvikles (og begrunnes) en teori om lovløse sekvenser i sammenheng med intuisjonistisk analyse. Foruten aksiomer for elementær analyse inneholder den, for lovløse sekvenser, styrkete former for aksiomene til åpne data, kontinuitet, avgjørbarhet og tetthet (tetthet sier at hver endelig sekvens er det første segmentet av en lovløs sekvens). Det som er spesielt interessant er at i disse teoriene kan kvantifiserere over lovløse sekvenser elimineres, et resultat som også kan sees på som en modell av lovlige sekvenser for slike teorier. Andre klassiske modeller av teorien om lovløse sekvenser har blitt konstruert i kategoriteori i form av sjalmodeller (van der Hoeven og Moerdijk 1984). I (Moschovakis 1986) introduseres en teori for valgsekvenser i forhold til et bestemt sett med lovlige elementer,sammen med en klassisk modell der de lovløse sekvensene viser seg å være nøyaktig de generiske.

5.4 Formalisering av det skapende emnet

The Creating Subject, introdusert i kapittel 2.2, kan generere valgsekvenser, som er noen av de viktigste og kompliserte matematiske enhetene i Brouwer's Intuitionism. Flere filosofer og matematikere har forsøkt å utvikle teorien om det skapende emne videre matematisk så vel som filosofisk.

I formaliseringen av forestillingen om det skapende emne blir det tidsmessige aspektet formalisert ved å bruke notasjonen (Box_n A), som betegner at det skapende emnet har et bevis på A på et tidspunkt n (i noen andre formuleringer: opplever sannheten om (A) på tidspunktet (n)). Georg Kreisel (1967) introduserte følgende tre aksiomer for Creating Subject, som samlet er betegnet av CS:

(begynne {align} tag {({ bf CS1})} & / Box_n A / vee / neg / Box_n A \& / mbox {(på tidspunktet (n), det kan avgjøres om opprettelsesemnet} & / mbox {har et bevis på A)} / \ tag {({ bf CS2})} & / Box_m A / høyre mark / Box_ {m + n} A \& / mbox {(Opprettingsemnet glemmer aldri hva det har bevist)} / \ tag {({ bf CS3})} & (eksisterer n / Boks_n A / høyre mark A) kile (A / høyre mark / neg / neg / eksisterer n / Box_n A) & / mbox {(Opprettelsesemnet beviser bare hva som er sant og ikke} & / mbox {true statement kan være umulig å bevise for} & / mbox {Opprette Emne)} / \ end {align})

I versjonen av Anne Troelstra (1969) styrkes det siste aksiomet til

(begynne {align} tag {({ bf CS3} ^ +)} & / eksisterer n / Boks_n A / leftrightarrow A \& / mbox {(Opprettingsemnet beviser bare hva som er sant og hva} & / mbox {er sant vil bli bevist av det opprettende emnet på noen} & / mbox {point)} end {align})

Det første aksiomet CS1 er ukontroversielt: når som helst kan det fastslås om det skapende emnet har et bevis på en gitt uttalelse eller ikke. Det andre aksiomet CS2 bruker tydelig det faktum at det skapende emnet er en idealisering siden det uttrykker at bevis alltid vil bli husket. Det siste aksiomet CS3er den mest omstridte delen av formaliseringen av det skapende emne, eller enda bedre, det andre konjunktet ((A / høyrevei / neg / neg / eksisterer n / Boks_n A)) er, som fikk navnet Axiom of Christian Charity av Kreisel. Göran Sundholm (2014) hevder for eksempel at Axiom of Christian Charity ikke er akseptabelt fra et konstruktivt synspunkt. Og Gdeles ufullstendighetsteorem innebærer til og med at prinsippet er usant når (Box_n A) ville bli tolket som beviselig i et tilstrekkelig sterkt bevissystem, som imidlertid absolutt ikke er den tolkningen som Brouwer hadde i tankene.

Gitt en uttalelse (A) som ikke inneholder noen henvisning til tid, dvs. ingen forekomst av (Box_n), kan man definere en valgsekvens i henhold til følgende regel (Brouwer 1953):

(alpha (n) = / left { begin {array} {ll} 0 & / mbox {if (neg / Box_n A)} / 1 & / mbox {if (Box_n A). } end {array} høyre.)

Fra dette følger prinsippet kjent som Kripkes Schema KS, introdusert i seksjon 2.2, et prinsipp som i motsetning til aksiomene i teorien om det skapende emnet, ikke inneholder noen eksplisitt henvisning til tid: (exist / alpha (A / leftrightarrow / exist n / alpha (n) = 1)).

Ved hjelp av Kripkes skjema kan de svake moteksempelargumentene uttrykkes formelt uten noen henvisning til det skapende emnet. Følgende eksempel er hentet fra (van Atten 2018). La A være en uttalelse som det for øyeblikket ikke er kjent (neg A / vee / neg / neg A). Ved å bruke KS oppnår man valgsekvenser (alpha_1) og (alpha_2) slik at

(neg A / leftrightarrow / exist n / alpha_1 (n) = 1 / \ / \ / neg / neg A / leftrightarrow / exist n / alpha_2 (n) = 1.)

Assosier med disse to sekvensene de reelle tallene (r_0) og (r_1), hvor for (i = 0,1):

[r_i (n) = / begynne {saker} 0 & / tekst {hvis (alpha_i (n) neq 1)} (-1) ^ i2 ^ {- m} & / start {align} & / tekst {hvis for noen (m / leq n), (alpha_i (m) = 1) og} & / text {for no (k / lt m), (alpha_i (k) = 1.)} end {align} end {cases})

Så for (r = r_0 + r_1) er uttalelse (neg A / vee / neg / neg A) underforstått av ((r / gt 0 / vee r / lt 0)), som viser at ((r / gt 0 / vee r / lt 0)) kan ikke bevises.

I (van Dalen 1978) er en modell konstruert av aksiomene for det skapende emnet i sammenheng med aritmetiske og valgsekvenser, og viser seg dermed å være i samsvar med intuisjonistiske aritmetikk og visse analysedeler. I (van Dalen 1982) er CS bevist å være konservativ i forhold til Heyting Arithmetic. Matematiske konsekvenser av Kripkes skjema finnes i (van Dalen 1997), der det vises at KS og kontinuitetsaksiomene avviser Markovs prinsipp, mens KS sammen med Markovs prinsipp innebærer prinsippet om den ekskluderte midten.

Kripke har vist at KS impliserer eksistensen av ikke-rekursive funksjoner, et resultat ikke publisert av ham men av Kreisel (1970). Det er klart at dette innebærer at teorien CS også innebærer eksistensen av en ikke-rekursiv funksjon. Et mulig argument for CS kjører som følger. Anta at (X) er et ikke-kompatibelt, men beregningsbart tallbart sett og definer funksjonen (f) som følger:

[f (m, n) = / begynne {saker} 0 & / tekst {hvis ikke (Box_m (n / not / in X))} / 1 & / text {if (Box_m (n / ikke / i X)).} slutt {saker})

Så følger det at (n / ikke / i X) hvis og bare hvis (f (m, n) = 1) for noe naturlig tall (m), noe som innebærer at (f) ikke kan være Computable. For i så fall vil komplementet til (X) kunne beregnes uttalt, noe som innebærer beregbarheten til (X). Siden (f) er en funksjon fra det intuisjonistiske synspunkt, slår dette fast at i Intuisjonisme ikke alle funksjoner er beregningsdyktige.

5.5 Stiftelser

Formaliseringer som er ment å tjene som et grunnlag for konstruktiv matematikk, er enten av sett-teoretisk art (Aczel 1978, Myhill 1975) eller type-teoretisk (Martin-Löf 1984). De tidligere teoriene er tilpasninger av Zermelo-Fraenkel-settteorien til en konstruktiv setting, mens i typeteori blir konstruksjonene implisitte i konstruktive utsagn eksplisitte i systemet. Settteori kan sees på som et ekstensivt grunnlag av matematikk, mens typeteori generelt er en intensjonell teori.

De siste årene har det dukket opp mange modeller av deler av slike grunnleggende teorier for intuisjonistisk matematikk, noen av dem har blitt nevnt ovenfor. Spesielt i topos teori (van Oosten 2008) er det mange modeller som fanger opp visse kjennetegn ved intuisjonisme. Det er for eksempel topoi der alle totale virkelige funksjoner er kontinuerlige. Funksjonelle tolkninger som realiserbarhet så vel som tolkninger i typeteori kan også sees på som modeller for intuisjonistisk matematikk og de fleste andre konstruktive teorier.

5.6 Omvendt matematikk

I omvendt matematikk prøver man å etablere for matematiske teoremer hvilke aksiomer som er nødvendige for å bevise dem. I intuisjonistisk omvendt matematikk har man et lignende mål, men da med hensyn til intuisjonistiske teoremer: å arbeide over en svak intuisjonistisk teori, sammenlignes aksiomer og teoremer med hverandre. De typiske aksiomene man ønsker teorier å sammenligne med er fan-prinsippet og bar-prinsippet, Kripkes skjema og kontinuitetsaksiomene.

I (Veldman 2011) studeres ekvivalenter av fanprinsippet over en grunnleggende teori kalt Basic Intuitionistic Mathematics. Det vises at vifteprinsippet tilsvarer utsagnet om at enhetsintervallet [0,1] har Heine-Borel-egenskapen, og av dette er mange andre ekvivalenter avledet. I (Veldman 2009) vises vifteprinsippet også til å være ekvivalent med Brouwer's Approximate Fixed-Point Theorem. I (Lubarsky et al. 2012) brukes omvendt matematikk på en form for Kripkes skjema, som er vist å være ekvivalent med visse topologiske utsagn.

Det er mange flere av slike eksempler fra intuisjonistisk omvendt matematikk. Spesielt i det større feltet av konstruktiv omvendt matematikk er det mange resultater av denne art som også er relevante fra det intuisjonistiske synspunkt.

6. Filosofi

Brouwer bygde sin intuisjonisme fra grunnen av og kommenterte ikke mye om forholdet mellom intuisjonisme og andre eksisterende filosofier, men andre etter ham gjorde. Noen av disse sammenhengene blir diskutert i dette avsnittet, spesielt måten intuisjonistiske prinsipper kan rettferdiggjøres med i forhold til andre filosofier.

6.1 Fenomenologi

Forbindelsen mellom intuisjonisme og fenomenologi, filosofien utviklet av Edmund Husserl, har blitt undersøkt av flere forfattere i løpet av Brouwer sin levetid så vel som flere tiår senere. Hermann Weyl var blant de første som diskuterte forholdet mellom Brouwer sine ideer og det fenomenologiske synet på matematikk. I likhet med Brouwer, snakker Weyl i sin bok Das Kontinuum (kapittel 2) om det intuitive kontinuum, men Weyls forestilling er basert på fenomenologien til (bevisstheten om) tid. Weyl føler senere at Brouwer sin utvikling av reell analyse er mer tro mot ideen om det intuitive kontinuum enn hans eget (Weyl 1921) og derfor plasserer seg på Brouwer sin side, i det minste angående dette aspektet (van Atten 2002).

Van Atten (2003 og 2007) bruker fenomenologi for å rettferdiggjøre valgsekvenser som matematiske objekter. Forfatteren (2002) er kritisk til Brouwers begrunnelse av valgsekvenser, som er motivet for å se etter en filosofisk begrunnelse andre steder. Valgssekvenser forekommer i verkene til Becker (1927) og Weyl, men de skiller seg fra Brouwer's forestilling, og Husserl diskuterte aldri valgsekvenser offentlig. Van Atten forklarer hvordan homogeniteten til kontinuumet står for dens uuttømmelige og ikke-atomære, to sentrale egenskaper for det intuitive kontinuumet ifølge Brouwer. Ved å bruke det faktum at disse to essensielle egenskapene er til stede i definisjonen av valgsekvenser, kommer man til en fenomenologisk begrunnelse av dem.

6.2 Wittgenstein

10. mars 1928 foreleste Brouwer i Wien om sine intuisjonistiske grunnlag for matematikk. Ludwig Wittgenstein deltok på det foredraget, overtalt av Herbert Feigl, som i etterkant skrev om timene han tilbrakte med Wittgenstein og andre etter foredraget: en stor begivenhet fant sted. Plutselig og veldig voldsomt begynte Wittgenstein å snakke filosofi - i stor lengde. Kanskje var dette vendepunktet, for helt siden den tiden, 1929, da han flyttet til Cambridge University, var Wittgenstein filosof igjen, og begynte å utøve en enorm innflytelse.

Andre bestrider at Brouwer sitt foredrag påvirket Wittgensteins tenkning (Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003). Hvor langt, om i det hele tatt, Wittgenstein var påvirket av Brouwer sine ideer, er ikke helt klart, men det er absolutt interessante avtaler og uenigheter mellom deres synspunkter. Marion (2003) argumenterer for at Wittgensteins oppfatning av matematikk som beskrevet i Tractatus er svært nær den til Brouwer, og at Wittgenstein er enig i avslaget til Law of Excluded Middle (manuskriptet fra 1929, s. 155–156 i Wittgenstein 1994), men er uenig med Brouwer sine argumenter mot det. Marion (2003) hevder at Wittgensteins holdning er mer radikal enn Brouwer i at den førstnevnte mener mangelen på gyldighet av loven om ekskludert middel i matematikk er et kjennetegn ved alle matematiske proposisjoner (i motsetning til empiriske proposisjoner) og ikke bare en særegenheten til det uendelige matematikken, som det er for Brouwer.

Veldman (kommende) diskuterer flere punkter på (dis) avtale mellom Brouwer og Wittgenstein, for eksempel faren for logikk, som ifølge begge kan føre til konstruksjoner uten matematisk innhold. En av uenighetene som ble reist i papiret, dreier seg om Wittgensteins syn på at matematikk er et vanlig foretak, som står i sterk kontrast til Brouwer's Creating Subject og hans syn på at matematikk er en språkløs aktivitet.

6.3 Dummett

Den britiske filosofen Michael Dummett (1975) utviklet et filosofisk grunnlag for intuisjonisme, særlig for intuisjonistisk logikk. Dummett uttaler eksplisitt at hans teori ikke er en eksegese av Brouwer sitt arbeid, men en mulig filosofisk teori for (med hans ord) å avvise klassisk resonnement i matematikk til fordel for intuisjonistisk resonnement.

Dummetts tilnærming starter med ideen om at valget for en logikk fremfor en annen nødvendigvis må ligge i betydningen man legger til logiske utsagn. I teorien om mening som Dummett bruker, som er basert på Wittgensteins ideer om språk og spesielt på hans ide om at mening er bruk, bestemmes betydningen av en setning av måten setningen brukes på. Betydningen av et matematisk utsagn manifesterer seg i bruken som er gjort av det, og forståelsen av det er kunnskapen om kapasiteten til å bruke utsagnet. Dette synspunktet støttes av måten vi tilegner oss matematisk kunnskap. Når vi lærer en matematisk forestilling, lærer vi hvordan vi bruker den: hvordan vi kan beregne den, bevise den eller utlede den fra den. Og den eneste måten å slå fast at vi har forstått betydningen av en matematisk uttalelse, ligger i vår dyktighet i å gjøre riktig bruk av utsagnet.

Gitt dette synet på mening, er den sentrale oppfatningen i teorien om mening for matematikk ikke, som i platonismen, sannhet, men beviset; forståelsen av en matematisk setning består i evnen til å gjenkjenne et bevis på det når man blir presentert for en. Dette fører, som Dummett argumenterer for, til introdusering av intuisjonistisk logikk som logikken i matematisk resonnement.

Interessant er, som Dummett (1975) bemerker seg selv, at hans meningsteori er langt fra hverandre fra Brouwer sine ideer om matematikk som en i hovedsak språkløs aktivitet. Slik at det er minst to ganske forskjellige tankereder som fører til adopsjon av intuisjonistisk logikk over klassisk logikk, den som er utviklet av Brouwer og den som ble hevdet av Dummett. Dummetts arbeid om intuisjonisme har blitt kommentert av forskjellige filosofer som Dag Prawitz (1977), Parsons (1986) og Richard Tieszen (1994 og 2000).

6.4 Finisme

Ulike former for Finitisme er basert på et lignende syn som den uttrykkes av Dummett, men der konstruksjonene som er tillatt å bevise matematiske utsagn, ikke bare er i prinsippet, men også i praksis. Avhengig av den nøyaktige implementeringen av den sistnevnte forestillingen kommer man til forskjellige former for Finitisme, for eksempel Ultra-Intuitionism utviklet av Alexander Yessenin-Volpin (1970) og Strict Finitism utviklet av Crispin Wright (1982).

Bibliografi

  • Aczel, P., 1978, 'Type-teoretisk tolkning av konstruktiv settteori', i A. Macintyre, L. Pacholski, J. Paris (red.), Logic Colloquium '77, spesialutgave av Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 96: 55–66.
  • van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont: Wadsworth / Thomson Learning.
  • –––, 2007, møter Brouwer Husserl: On the phenomenology of choice sequences, Dordrecht: Springer.
  • –––, 2008, 'Om den hypotetiske dommen i den intuisjonistiske logikkens historie', i C. Glymour og W. Wang og D. Westerståhl (red.), Proceedings of the International Congress 2007 in Beijing (Logic, Methodology and Philosophy of Science: Volume XIII), London: King's College Publications, 122–136.
  • van Atten, M. og D. van Dalen, 2002, 'Argumenter for kontinuitetsprinsippet,' Bulletin of Symbolic Logic, 8 (3): 329–374.
  • Beth, EW, 1956, 'Semantisk konstruksjon av intuisjonistisk logikk,' Mededeelingen der Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Letterkunde (Nieuwe Serie), 19 (11): 357–388.
  • Brouwer, LEJ, 1975, Samlede verk I, A. Heyting (red.), Amsterdam: Nord-Holland.
  • –––, 1976, Samlet verk II, H. Freudenthal (red.), Amsterdam: Nord-Holland.
  • –––, 1905, Leven, kunst en mystiek, Delft: Waltman.
  • –––, 1907, Over de grondslagen der wiskunde, Ph. D. Avhandling, University of Amsterdam, Institutt for fysikk og matematikk.
  • –––, 1912, 'Intuïtionisme en formalisme', åpningsadresse ved University of Amsterdam, 1912. Også i Wiskundig tijdschrift, 9, 1913.
  • –––, 1925, 'Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I,' Mathematische Annalen, 93: 244–257.
  • –––, 1925, 'Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik II,' Mathematische Annalen, 95: 453–472.
  • –––, 1948, 'Essentially negative egenskaper', Indagationes Mathematicae, 10: 322–323.
  • –––, 1952, 'Historisk bakgrunn, prinsipper og metoder for intuisjonisme,' South African Journal of Science, 49 (oktober-november): 139–146.
  • –––, 1953, 'Poeng og rom,' Canadian Journal of Mathematics, 6: 1–17.
  • –––, 1981, foreleser Brouwer's Cambridge om intuisjonisme, D. van Dalen (red.), Cambridge: Cambridge University Press, Cambridge.
  • –––, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (red.), Mannhein: Wissenschaftsverlag.
  • Brouwer, LEJ og CS Adama van Scheltema, 1984, Droeve snaar, vriend van mij - Brieven, D. van Dalen (red.), Amsterdam: Uitgeverij de Arbeiderspers.
  • Coquand, T., 1995, 'Et konstruktivt topologisk bevis på van der Waerdens teorem,' Journal of Pure and Applied Algebra, 105: 251–259.
  • van Dalen, D., 1978, 'En tolkning av intuisjonistisk analyse', Annals of Mathematical Logic, 13: 1–43.
  • ––– 1997, 'Hvor koblet er det intuisjonistiske kontinuum?', Journal of Symbolic Logic, 62 (4): 1147–1150.
  • –––, 1999/2005, Mystic, geometer and intuitionist, Volumes I (1999) and II (2005), Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 2001, LEJ Brouwer (en biografie), Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker.
  • –––, 2004, 'Kolmogorov og Brouwer om konstruktiv implikasjon og Ex Falso-regelen' Russian Math Surveys, 59: 247–257.
  • van Dalen, D. (red.), 2001, LEJ Brouwer en de grondslagen van de wiskunde, Utrecht: Epsilon Uitgaven.
  • Diaconescu, R., 1975, 'Axiom of choice and complementation,' i Proceedings of the American Mathematical Society, 51: 176–178.
  • Dummett, M., 1975, 'The Philosophical Base of Intuitionistic Logic', i HE Rose og JC Shepherdson (red.), Proceedings of the Logic Colloquium '73, spesialutgave av Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 80: 5 -40.
  • Fourman, M., og R. Grayson, 1982, 'Formelle rom,' i AS Troelstra og D. van Dalen (red.), The LEJ Brouwer Centenary Symposium, Amsterdam: Nord-Holland.
  • Gentzen, G., 1934, 'Untersuchungen über das logische Schließen I, II,' Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431.
  • Gödel, K., 1958, 'Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes,' Dialectia, 12: 280–287.
  • Hacker, PMS, 1986, Insight & Illusion. Temaer i filosofien til Wittgenstein, revidert utgave, Clarendon Press, Oxford.
  • Heyting, A., 1930, 'Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik,' Sitzungsberichte der Preussischen Akademie von Wissenschaften. Fysikalsk-matematisk klasse, 42–56.
  • –––, 1956, Intuisjonisme, en introduksjon, Amsterdam: Nord-Holland.
  • van der Hoeven, G., og I. Moerdijk, 1984, 'Sheaf models for choice sequences,' Annals of Pure and Applied Logic, 27: 63–107.
  • Kleene, SC og RE Vesley, 1965, Grunnene for intuisjonistisk matematikk, Amsterdam: Nord-Holland.
  • Kreisel, G., 1959, 'Tolkning av analyse ved hjelp av konstruktive funksjoner av endelig type,' i A. Heyting (red.), Constructivity in Mathematics, Amsterdam: Nord-Holland.
  • –––, 1962, 'På svak fullstendighet av den intuisjonistiske predikatlogikken,' Journal of Symbolic Logic, 27: 139–158.
  • –––, 1968, 'Lovløse sekvenser med naturlige tall,' Compositio Mathematica, 20: 222–248.
  • Kripke, SA, 1965, 'Semantisk analyse av intuisjonistisk logikk', i J. Crossley og M. Dummett (red.), Formelle systemer og rekursive funksjoner, Amsterdam: Nord-Holland.
  • Lubarsky, R., F. Richman og P. Schuster 2012, 'Kripke-skjemaet i metrisk topologi', Mathematical Logic Quarterly, 58 (6): 498–501.
  • Maietti, ME og G. Sambin, 2007, 'Mot et minimalistisk grunnlag for konstruktiv matematikk,' i L. Crosilla og P. Schuster (red.), Fra sett og typer til topologi og analyse: mot et minimalistisk fundament for konstruktiv matematikk, Oxford: Oxford University Press.
  • Marion, M., 2003, 'Wittgenstein og Brouwer', Synthese 137: 103–127.
  • Martin-Löf, P., 1970, Notater om konstruktiv matematikk, Stockholm: Almqvist & Wiskell.
  • –––, 1984, Intuksjonistisk typeteori, Napoli: Bibliopolis.
  • Moschovakis, JR, 1973, 'En topologisk tolkning av andreordens intuisjonistiske aritmetikk,' Compositio Mathematica, 26 (3): 261-275.
  • –––, 1986, 'Relativ lovløshet i intuisjonistisk analyse,' Journal of Symbolic Logic, 52 (1): 68–87.
  • Myhill, J., 1975, 'Constructive set theory,' Journal of Symbolic Logic, 40: 347–382.
  • Niekus, J., 2010, 'Brouwer's ufullstendige objekter' History and Philosophy of Logic, 31: 31–46.
  • van Oosten, J., 2008, Realizability: En introduksjon til dens kategoriske side, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics: Volume 152), Amsterdam: Elsevier.
  • Prawitz, D., 1977, 'Betydning og bevis: På konflikten mellom klassisk og intuisjonistisk logikk,' Theoria, 43 (1): 2–40.
  • Parsons, C., 1986, 'Intuition in Constructive Mathematics,' in Language, Mind and Logic, J. Butter (red.), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sambin, G., 1987, 'Intuitionistic formal space', in Mathematical Logic and its Applications, D. Skordev (red.), New York: Plenum.
  • Scott, D., 1968, 'Utvide den topologiske tolkningen til intuisjonistisk analyse,' Compositio Mathematica, 20: 194–210.
  • –––, 1970, 'Utvide den topologiske tolkningen til intuisjonistisk analyse II', i Intuksjonisme og bevisteori, J. Myhill, A. Kino, og R. Vesley (red.), Amsterdam: Nord-Holland.
  • Sundholm, BG, 'Constructive Recursive Functions, Church's Thesis and Brouwer's Theory of the Creating Subject: Afteroughts on a Paris Joint Session', i Jacque Dubucs & Michel Bordeau (red.), Constructivity and Computability in Historical and Philosophical Perspective (Logic, Epistemology, and the Unity of Science: Volume 34), Dordrecht: Springer: 1–35.
  • Tarski, A., 1938, 'Der Aussagenkalkül und die Topologie,' Fundamenta Mathematicae, 31: 103–134.
  • Tieszen, R., 1994, 'Hva er det filosofiske grunnlaget for intuisjonistisk matematikk?', I D. Prawitz, B. Skyrms og D. Westerstahl (red.), Logic, Methodology and Philosophy of Science, IX: 579–594.
  • –––, 2000, 'Intuisjonisme, meningsteori og erkjennelse', Logikkens historie og filosofi, 21: 179–194.
  • Troelstra, AS, 1973, Metamatematiske undersøkelser av intuisjonistisk aritmetikk og analyse, (Lecture Notes in Mathematics: Volume 344), Berlin: Springer.
  • –––, 1977, Choice-sekvenser (Oxford Logic Guides), Oxford: Clarendon Press.
  • Troelstra, AS, og D. van Dalen, 1988, Constructivism I og II, Amsterdam: Nord-Holland.
  • Veldman, W., 1976, 'En intuisjonistisk fullstendighetsteorem for intuisjonistisk predikatlogikk,' Journal of Symbolic Logic, 41 (1): 159–166.
  • –––, 1999, 'Borel-hierarkiet og det projektive hierarkiet i intuisjonistisk matematikk,' Rapport nummer 0103, Matematisk institutt, Universitetet i Nijmegen. [tilgjengelig online]
  • –––, 2004, 'Et intuisjonistisk bevis på Kruskals teorem,' Archive for Mathematical Logic, 43 (2): 215–264.
  • –––, 2009, 'Brouwer's Approximate Fast-Point Theorem is equivalent to Brouwer's Fan Theorem,' i S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg, V. Stoltenberg-Hansen (red.), Logikk, intuisjonisme og formalisme (Synthese Library: bind 341), Dordrecht: Springer, 277–299.
  • –––, 2014, 'Brouwer's Fan Theorem as a axiom and as contrast to Kleene's Alternative,' i Archive for Mathematical Logic, 53 (5–6): 621–693.
  • –––, kommende, 'Intuisjonisme er hele bosh, helt. Med mindre det er en inspirasjon, 'i G. Alberts, L. Bergmans og F. Muller, (red.), Significs and the Vienna Circle: Intersections, Dordrecht: Springer. [forhåndsutskrift tilgjengelig online]
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik,' Mathematische Zeitschrift, 10: 39–70.
  • Wittgenstein, L., 1994, Wiener Ausgabe, Band 1, Philosophische Bemerkungen, Wien, New York: Springer Verlag.
  • Wright, C., 1982, 'Strict Finitism', Synthese 51 (2): 203–282.
  • Yessenin-Volpin, AS, 1970, 'Den ultraintuksjonistiske kritikken og det antitraditionelle programmet for matematikkfundamenter', i A. Kino, J. Myhill og R. Vesley (red.), Intuitionism and Proof Theory, Amsterdam: North -Holland forlag, 3–45.

Akademiske verktøy

september mann ikon
september mann ikon
Hvordan sitere denne oppføringen.
september mann ikon
september mann ikon
Forhåndsvis PDF-versjonen av denne oppføringen hos Friends of the SEP Society.
inpho-ikonet
inpho-ikonet
Slå opp dette emnet på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi for denne oppføringen på PhilPapers, med lenker til databasen.

Andre internettressurser

Anbefalt: