Epistemisk Logikk

Innholdsfortegnelse:

Epistemisk Logikk
Epistemisk Logikk

Video: Epistemisk Logikk

Video: Epistemisk Logikk
Video: What is Epistemic Logic? 2024, Mars
Anonim

Inngangsnavigasjon

  • Inngangsinnhold
  • Bibliografi
  • Akademiske verktøy
  • Venner PDF forhåndsvisning
  • Forfatter og sitatinfo
  • Tilbake til toppen

Epistemisk logikk

Først publisert fredag 7. juni 2019

Epistemisk logikk er et underfelt i epistemologi opptatt av logiske tilnærminger til kunnskap, tro og relaterte forestillinger. Selv om enhver logikk med en epistemisk tolkning kan kalles en epistemisk logikk, er den mest utbredte typen epistemisk logikk som er i bruk i dag modallogikk. Kunnskap og tro er representert via modaloperatørene K og B, ofte med et abonnement som indikerer agenten som innehar holdningen. Formler (K_ {a} varphi) og (B_ {a} varphi) blir deretter lest "agent a veit at phi" og "agent a mener at phi", henholdsvis. Epistemisk logikk tillater formell utforskning av implikasjonene av epistemiske prinsipper. For eksempel sier formelen (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) at det som er kjent er sant, mens (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi) uttaler at det som er kjent, er kjent for å være kjent. Semantikken i epistemisk logikk er typisk gitt i form av mulige verdener via Kripke-modeller slik at formelen (K_ {a} varphi) blir lest for å hevde at (varphi) er sant i alle verdens agenter a anser som epistemisk mulig i forhold til dagens informasjon. De sentrale problemene som har angått epistemiske logikere inkluderer for eksempel å bestemme hvilke epistemiske prinsipper som er best egnet for å karakterisere kunnskap og tro, de logiske forholdene mellom forskjellige forestillinger om kunnskap og tro og de epistemiske trekkene i grupper av agenter. Utover riktig filosofi blomstrer epistemisk logikk innen teoretisk informatikk, økonomi og beslektede felt.

  • 1. Introduksjon
  • 2. Modal tilnærming til kunnskap

    • 2.1 Det formelle språket i epistemisk logikk
    • 2.2 Holdninger med høyere orden
    • 2.3 Partisjonsprinsippet og modal semantikk
    • 2.4 Kripke-modeller og kunnskapenes tolkbarhet
    • 2.5 Epistemologiske prinsipper i epistemisk logikk
    • 2.6 Prinsipper for kunnskap og tro
  • 3. Kunnskap i grupper

    • 3.1 Språk og modeller med flere agenter
    • 3.2 Begrep om gruppekunnskap
  • 4. Logisk allvitenskap
  • Bibliografi
  • Akademiske verktøy
  • Andre internettressurser
  • Relaterte oppføringer

1. Introduksjon

Aristoteliske tekster satte grunnlaget for diskusjoner om kunnskapen og troens logikk, særlig De Sophisiticis Elenchis samt Prior og Posterior Analytics. Mens Aristoteles tok for seg de fire aletiske modusene for mulighet, nødvendighet, umulighet og beredskap, bidro Buridan, Pseudo Scotus, Ockham og Ralph Strode til å utvide Aristoteles innsikt til epistemiske temaer og problemer (Boh 1993; Knuuttila 1993). I løpet av denne perioden kompletterte Pseudo-Scot og William av Ockham Aristoteles studie av mentale handlinger om kognisjon og vilje (se Boh 1993: 130). Ivan Bohs studier av historien til det fjortende og femtende århundre undersøkelser av epistemisk logikk gir en utmerket dekning av emnet, spesielt hans Epistemic Logic in the Later Middle Ages (1993).

I følge Boh formulerte den engelske filosofen Ralph Strode et fullt generelt system med proposjonelle epistemiske regler i hans innflytelsesrike 1387 bok Konsekvenser (Boh 1993: 135). Strodes presentasjon bygde på de tidligere logiske avhandlingene om Ockham og Burley. Problemer med epistemisk logikk ble også diskutert mellom 1330- og 1360-årene av de såkalte Oxford Calculators, mest fremtredende av William Heytesbury og Richard Kilvington. Ved det femtende århundre engasjerte Paul av Venezia og andre italienske filosofer seg også i sofistikert refleksjon rundt forholdet mellom kunnskap, sannhet og ontologi.

Diskusjoner om epistemisk logikk i middelalderen deler et lignende sett med grunnleggende antakelser med samtidsdiskusjoner. Det viktigste er at middelalderske filosofer utforsket sammenhengen mellom kunnskap og sannhet: Hvis jeg vet p, er p sant. Videre begynner mange middelalderske diskusjoner med en antagelse som ligner GE Moores observasjon av at et epistemisk middel ikke kan koherent hevde “p, men jeg tror ikke (vet) p”. Setninger av dette skjemaet blir vanligvis referert til som Moore-setninger.

Moderne behandlinger av logikken om kunnskap og tro vokste ut av arbeidet til filosofer og logikere som skrev fra 1948 til og med 1950-tallet. Rudolf Carnap, Jerzy Łoś, Arthur Prior, Nicholas Rescher, GH von Wright og andre erkjente at diskursen vår om kunnskap og tro innrømmer en aksiomatisk-deduktiv behandling. Blant de mange viktige artiklene som dukket opp på 1950-tallet, er von Wrights sømmearbeid (1951) anerkjent for å ha startet den formelle studien av epistemisk logikk slik vi kjenner den i dag. Von Wrights innsikt ble utvidet av Jaakko Hintikka i sin bok Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions (1962). Hintikka ga en måte å tolke epistemiske begreper i form av mulig verdenssemantikk, og som sådan har den fungert som grunnleggende tekst for studiet av epistemisk logikk siden den gang.

På 1980- og 1990-tallet fokuserte epistemiske logikere på de logiske egenskapene til systemer som inneholder grupper av kunnskaper og senere fremdeles på de epistemiske trekkene i såkalte “multimodale” sammenhenger. Siden 1990-tallet har arbeidet i dynamisk epistemisk logikk utvidet den tradisjonelle epistemiske logikken ved å modellere den dynamiske prosessen med kunnskapsinnhenting og trosrevisjon. I løpet av de siste to tiårene har epistemisk logikk kommet til å omfatte et bredt sett av formelle tilnærminger til den tverrfaglige studien av kunnskap og tro.

Interessen for epistemisk logikk strekker seg langt utover filosofer. De siste tiårene har det vært mye tverrfaglig oppmerksomhet rundt epistemisk logikk med økonomer og informatikere som aktivt utvikler feltet sammen med logikere og filosofer. I 1995 signaliserte to viktige bøker det fruktbare samspillet mellom informatikk og epistemisk logikk: Fagin, Halpern, Moses og Vardi (1995) og Meyer og van der Hoek (1995). Arbeid fra dataforskere har blitt stadig mer sentralt i epistemisk logikk i de mellomliggende årene.

Blant filosofer er det økt oppmerksomhet rundt samspillet mellom disse formelle tilnærmingene og tradisjonelle epistemologiske problemer (Se for eksempel van Benthem 2006; Hendricks & Symons 2006; Stalnaker 2006; Holliday 2018).

Flere innledende tekster om epistemisk logikk eksisterer, for eksempel van Benthem (2011); Ditmarsch, Hoek, og Kooi (2007); Ditmarsch et al. (2015); Gochet og Gribomont (2006); og Meyer (2001) med Lenzen (1980) som gir en oversikt over tidlig utvikling.

2. Modal tilnærming til kunnskap

Inntil relativt nylig fokuserte epistemisk logikk nesten utelukkende på proposisjonell kunnskap. I tilfeller av proposisjonell kunnskap, bærer en agent eller en gruppe agenter den proposisjonelle holdningen til å kjenne til noen proposisjoner. Når man for eksempel sier: “Zoe vet at det er en høne i hagen”, hevder man at Zoe er agenten som bærer den proposisjonelle holdningen og kjenner til proposisjonen uttrykt i den engelske setningen “det er en høne i hagen”. Se for deg at Zoe ikke vet om det er en høne i hagen. For eksempel kan det være slik at hun ikke har tilgang til informasjon om hvorvidt det er en høne i hagen. I dette tilfellet betyr hennes mangel på informasjon at hun vil betrakte to scenarier som mulig, ett der det er en høne i hagen og et der det ikke er.

Kanskje har hun en eller annen praktisk beslutning som involverer ikke bare høner, men også tilstedeværelsen av skremmende hunder i hagen. Hun ønsker kanskje å mate hønene, men vil bare gjøre det hvis det ikke er noen hund på hagen. Hvis hun var uvitende om hvorvidt det er en hund i hagen, vokser antallet scenarier hun må vurdere i overleggene til fire. Det er klart at man må vurdere epistemiske alternativer når man ikke har fullstendig informasjon om situasjoner som er relevante for ens beslutninger. Som vi skal se nedenfor, har mulig verdenssemantikk gitt en nyttig ramme for å forstå måten agenter kan resonnere om epistemiske alternativer.

Mens epistemiske logikere tradisjonelt hadde fokusert på å vite det, finner man en rekke andre bruksområder for kunnskap på naturlig språk. Som Wang (2015) påpeker, vises uttrykkene som vet hvordan, å vite hva, vite hvorfor er veldig vanlige, nesten like ofte (noen ganger oftere) på muntlig og skriftlig språk som å vite det. Nylig har ikke-standard epistemisk logikk av slike uttrykk blitt utviklet, selv om vi vet hvem konstruksjoner som er til stede i Hintikkas Knowledge and Belief (1962; se også Boër & Lycan 1986; Rendsvig 2012). Utover proposisjonell kunnskap, antyder epistemisk logikk også måter å systematisere logikken til spørsmål og svar (Brendan vet hvorfor hunden bjeffet). Det gir også innsikt i forholdene mellom flere identifikasjonsmåter (Zoe vet at denne mannen er presidenten). Her kan agenten sies å kjenne et faktum som angår flere identifikasjonsmåter i den grad hun identifiserer presidenten, som hun kanskje kjenner fra historier i avisen, med mannen hun ser stående foran henne, som hun identifiserer som et objekt i sitt visuelle felt (Hintikka & Symons 2003). Epistemisk logikk kan også gi innsikt i spørsmål om prosessuell "kunnskap" (Brendan vet hvordan man endrer en sikring). For eksempel kan det å forstå hvordan man skal (varphi) være ekvivalent med påstanden om at det finnes en slik måte at en agent vet at det er en måte å sikre at (varphi) (se Wang 2015, 2018). Arbeid med begrunnelse av kunnskap er også blitt utført ved kombinasjoner av begrunnelseslogikk med epistemisk logikk (se f.eks. Artemov & Nogina 2005; Renne 2008). Det arbeides kontinuerlig med disse og andre temaer, og nye utviklinger vises jevnlig.

2.1 Det formelle språket i epistemisk logikk

Nyere arbeid i epistemisk logikk er avhengig av en modal kunnskapsoppfatning. For å være klar over modalitetens rolle i epistemisk logikk, er det nyttig å introdusere de grunnleggende elementene i den moderne formalismen. For enkelhets skyld begynner vi med saken om kunnskap og tro for en enkelt agent, og utsetter behandlingen av flere agenter til seksjon 3, Et prototypisk epistemisk logikkspråk blir gitt ved først å fikse et sett proposisjonsvariabler (p_ {1}), (p_ {2}),…. I applikasjoner med epistemisk logikk får proposisjonsvariabler spesifikke tolkninger: For eksempel kan (p_ {1}) bli tatt for å representere proposisjonen "det er en høne i hagen" og (p_ {2}) the proposisjonen "det er en hund i hagen", etc. Forslagsvariablene representerer proposisjoner som ikke er representert i en finere detalj i det formelle språket. Som sådan blir de derfor ofte referert til som atomproposisjoner eller bare atomer. La Atom betegne settet med atombestemmelser.

Bortsett fra de atomiske proposisjonene, supplerer epistemisk logikk språket i proposisjonell logikk med en modal operator, (K_ {a}), for kunnskap og (B_ {a}), for tro.

(K_ {a} varphi) lyder “Agent a vet at (varphi)”

og tilsvarende

(B_ {a} varphi) lyder “Agent a mener at (varphi)”.

I mange nyere publikasjoner om epistemisk logikk, blir hele settet med formler på språket gitt ved hjelp av en såkalt Backus-Naur-form. Dette er ganske enkelt en notasjonsteknikk avledet fra informatikk som gir en rekursiv definisjon av formlene som anses grammatisk "riktig", dvs. settet med velformede formler:

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / mid B_ {a} varphi, / text {for} p / in / textit {Atom}.)

Dette sier at (varphi) er p, hvis p er et atom. (neg / varphi) er en velformet formel hvis (varphi) allerede er en velformet formel. Symbolet '(neg)' er en negasjon og '(kile)' en sammenheng: (neg / varphi) leser 'ikke (varphi)' mens ((varphi / kil / psi)) leser '(varphi) og (psi)'. Vi vil kalle dette grunnleggende språket som inkluderer både en K nowledge og en B elief operator, (mathcal {L} _ {KB}). Som i proposisjonell logikk, er ytterligere tilkoblinger definert fra (neg) og (kile): Typisk notasjon er '(vee)' for 'eller', '(rightarrow)' for ' hvis …, så … 'og' (leftrightarrow) 'for' … hvis, og bare hvis, … '. Vanligvis brukes også (top) ('top') og (bot) ('bottom') for å betegne henholdsvis den konstant sanne proposisjonen og den konstant falske proposisjonen.

Som vi skal se nedenfor, blir (K_ {a} varphi) lest som angående at (varphi) holder i alle verdens tilgjengelige for a. I denne forstand kan K betraktes som å oppføre seg på samme måte som "boksen" -operatøren, (square), ofte brukt for å betegne nødvendighet. Ved evaluering av (K_ {a} varphi) ved en mulig verden w, evalueres man i realiteten en universell kvantifisering over alle verdens tilgjengelige fra w. Den universelle kvantifisereren (forall) i førsteordens logikk har den eksistensielle kvantifisereren (eksisterer) som sin dobbelte: Dette betyr at kvantifisererne er innbyrdes definible ved å ta enten (forall) som primitive og definere (eksisterer x / varphi) som en forkortelse for (neg / forall x / neg / varphi) eller ved å ta (exist) som primitiv og definere (forall x / varphi) som (neg / eksisterer x / neg / varphi). Når det gjelder (K_ {a}),kan det sees at formelen (neg K_ {a} neg / varphi) gjør en eksistensiell kvantifisering: Den sier at det eksisterer en tilgjengelig verden som tilfredsstiller (varphi). I litteraturen blir ofte en dobbeltoperatør for (K_ {a}) introdusert. Den typiske notasjonen for (neg K_ {a} neg) inkluderer (langle K_ {a} rangle) og (widehat {K} _ {a}). Denne notasjonen etterligner diamantformen (suget), som er standard dualoperator til boksen (square), som igjen er standardnotasjon for den universelt kvantifiserende modale operatøren (se oppføringen på modal logikk). Den typiske notasjonen for (neg K_ {a} neg) inkluderer (langle K_ {a} rangle) og (widehat {K} _ {a}). Denne notasjonen etterligner diamantformen (suget), som er standard dualoperator til boksen (square), som igjen er standardnotasjon for den universelt kvantifiserende modale operatøren (se oppføringen på modal logikk). Den typiske notasjonen for (neg K_ {a} neg) inkluderer (langle K_ {a} rangle) og (widehat {K} _ {a}). Denne notasjonen etterligner diamantformen (suget), som er standard dualoperator til boksen (square), som igjen er standardnotasjon for den universelt kvantifiserende modale operatøren (se oppføringen på modal logikk).

Mer ekspressive språk i epistemisk logikk innebærer tillegg av operatører for forskjellige forestillinger om gruppekunnskap (se avsnitt 3). Som vi for eksempel diskuterer nedenfor, er den vanlige kunnskapsoperatøren og såkalte dynamiske operatører viktige tillegg til språket i epistemisk logikk. Dynamiske operatører kan for eksempel indikere den sannferdige offentlige kunngjøringen av (varphi): ((varphi!]). En formel ((varphi!] Psi) leses "hvis (varphi) sannelig blir kunngjort for alle, så er det etter kunngjøringen (psi) tilfelle". Spørsmålet om hva slags uttrykksmakt som legges til med tillegg av operatører er et forskningsemne som aktivt blir undersøkt i dynamisk epistemisk logikk. Så for eksempel å legge til ((varphi!]) I seg selv til (mathcal {L} _ {KB}) ikke tilfører ekspressiv kraft,men på et språk som også inkluderer felles kunnskap, gjør det det.

2.2 Holdninger med høyere orden

Legg merke til at for eksempel (K_ {a} K_ {a} p) er en formel på språket vi introduserte ovenfor. Den sier at agent a vet at agent a vet at p er tilfelle. Formler med nestede epistemiske operatører av denne typen uttrykker en holdning av høyere orden: en holdning angående holdningen til en eller annen agent.

Holdninger med høyere orden er et tilbakevendende tema i epistemisk logikk. De nevnte Moore-setningene, f.eks. (B_ {a} (p / kil B_ {a} neg p)) uttrykker en holdning med høyere orden. Så mange av de epistemiske prinsippene som er omtalt i litteraturen og nedenfor. Tenk på følgende fremtredende epistemiske prinsipp som involverer kunnskap fra høyere orden: (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi). Er det rimelig å kreve at kunnskap tilfredsstiller denne ordningen, dvs. at hvis noen kjenner (varphi), så vet de at de vet (varphi)? Til dels kan vi nøle med før vi aksepterer dette prinsippet i kraft av holdningen med høyere orden. Dette er et spørsmål om pågående diskusjon i epistemisk logikk og epistemologi.

2.3 Partisjonsprinsippet og modal semantikk

Semantikken i det formelle språket som er introdusert ovenfor blir generelt presentert i form av såkalte mulige verdener. I epistemisk logikk tolkes mulige verdener som epistemiske alternativer. Hintikka var den første som eksplisitt formulerte en slik tilnærming (1962). Dette er et annet sentralt trekk ved hans tilnærming til epistemologi som fortsetter å informere om utviklingen i dag. Det kan oppgis, forenklet, [1] som følger:

Partisjonsprinsipp: Enhver proposisjonell holdning partisjonerer settet med mulige verdener i de som er i samsvar med holdningen de som ikke er.

Partisjonsprinsippet kan brukes til å gi en semantikk for kunnskapsoperatøren. uformelt, (K_ {a} varphi) er sant i verden w hvis, og bare hvis, (varphi) er sant i hver verden (w ') kompatibel med hva en vet på w.

Her vet agent a at (varphi) bare i tilfelle agenten har informasjon som utelukker enhver mulighet for feil utelukker hvert tilfelle der (neg / varphi).

2.4 Kripke-modeller og kunnskapenes tolkbarhet

Siden 1960-tallet har Kripke-modeller, definert nedenfor, fungert som grunnlaget for den mest brukte semantikken for alle varianter av modal logikk. Bruken av Kripke-modeller i representasjonen av epistemiske begreper innebærer å ta en filosofisk holdning med hensyn til disse begrepene. En utbredt tolkning, spesielt innen teoretisk økonomi og teoretisk informatikk, forstår kunnskap når det gjelder informasjonsmessig skillebarhet mellom mulige verdener. Det vi her vil referere til som utydelig tolkning, går i det minste tilbake til Lehmann (1984).

Ettersom den utskilelige tolkningen gjelder kunnskap, men ikke tro, vil vi jobbe med et språk uten trooperatører. La derfor språket (mathcal {L} _ {K}) gis av Backus-Naur-skjemaet

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / text {for} p / in / textit {Atom}.)

Som vi skal se, innebærer tolkbarhetstolkningen svært strenge krav for at noe skal kunne kvalifisere som kunnskap. Vi introduserer den her for pedagogiske formål, og setter de formelle detaljene i tolkningen på plass for å introdusere og forklare relativt mindre ekstreme stillinger deretter.

Vurder på nytt saken om Zoe, hønen og hunden. Eksemplet innebærer to proposisjoner, som vi vil identifisere med de formelle atomene:

p les som "det er en høne i hagen".

og

q les som “det er en hund i hagen”.

Det er verdt å understreke at med hensyn til formaliseringen av dette scenariet er disse to de eneste forslagene av interesse. Vi begrenser oppmerksomheten til (textit {Atom} = {p, q }). I tidlige presentasjoner av epistemisk logikk og i mye av standard epistemisk logikk for tiden, er alle atomer av interesse inkludert fra begynnelsen. Det er klart dette er et idealisert scenario. Det er viktig å legge merke til hva denne tilnærmingen utelater. Hensyn som ikke fanges opp på denne måten inkluderer utseendet til nye atomer; ideen om at andre atomproposisjoner kan bli introdusert i en fremtidig tilstand via en eller annen læringsprosess, eller spørsmålet om en agents bevissthet om proposisjoner;scenariet der en agent kan være midlertidig uvitende om noe atom på grunn av en eller annen psykologisk eller annen faktor (se avsnitt 4 for referanser til såkalt bevissthetslogikk). Foreløpig er hovedpoenget at standard epistemisk logikk begynner med antakelsen om at settet Atom tømmer rommet for proposisjoner for agenten.

Med to atomer er det fire forskjellige måter en verden konsekvent kan være. Vi kan skildre hver ved en boks:

Basic Four Worlds: fire bokser på rad med litt mellomrom. Den første merkede w1 og inneholder paret: p, q. Den andre merket w2 med paret: p ikke q. Den tredje, w3, med paret: ikke p, q. Den fjerde, w4, med paret: ikke p, ikke q. Nesten alle etterfølgende bilder inneholder det samme med noen små modifikasjoner
Basic Four Worlds: fire bokser på rad med litt mellomrom. Den første merkede w1 og inneholder paret: p, q. Den andre merket w2 med paret: p ikke q. Den tredje, w3, med paret: ikke p, q. Den fjerde, w4, med paret: ikke p, ikke q. Nesten alle etterfølgende bilder inneholder det samme med noen små modifikasjoner

De fire boksene kan formelt være representert med et sett (W = {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} }), vanligvis kalt et sett med mulige verdener. Hver verden er videre merket med atomene som er sanne i den verden. De er merket av en funksjon V, verdsettelsen. Verdivurderingen spesifiserer hvilke atomer som er sanne for hver verden på følgende måte: Gitt et atom p er (V (p)) delmengden av verdener der p er sant. [2] At (w_ {1}) er merket med p og q betyr altså at (w_ {1} i V (p)) og (w_ {1} i V (q)). På illustrasjonen er (V (p) = {w_ {1}, w_ {2} }) og (V (q) = {w_ {1}, w_ {3} }).

For presentasjonsformål antar du at det virkelig er en høne i hagen, men ingen hund. Da ville (w_ {2}) representere modellens faktiske verden. I illustrasjoner blir den faktiske verden ofte fremhevet:

Basic Four Worlds unntatt w2 er uthevet med en dobbel linje i stedet for en enkelt linje for boksen
Basic Four Worlds unntatt w2 er uthevet med en dobbel linje i stedet for en enkelt linje for boksen

Anta nå at høna alltid klirrer, men at hunden aldri bjeffer, og at selv om Zoe har akutt hørsel, kan hun ikke se hagen. Så er det visse mulige verdener som Zoe ikke kan skille: mulige måter ting kan være som hun ikke kan skille fra hverandre. Å være i verden med bare en høne ((p, / neg q)), kan Zoe ikke si om hun er i verden med både høne og hund ((p, q)): situasjonen hennes er slik at Zoe er klar over to måter ting kan være, men informasjonen hennes tillater henne ikke å eliminere heller.

For å illustrere at en mulig verden ikke kan skilles fra en annen, trekkes det vanligvis en pil fra førstnevnte til sistnevnte:

Grunnleggende fire verdener unntatt w2 er uthevet, og en pil peker fra w2 til w1
Grunnleggende fire verdener unntatt w2 er uthevet, og en pil peker fra w2 til w1

Her representerer piler et binært forhold til mulige verdener. I modal logikk generelt blir det referert til som tilgjengelighetsrelasjonen. Under tolkbarhetens tolkning av epistemisk logikk kalles det noen ganger forholdet som kan skelnes mellom. Angi formelt forholdet (R_ {a}), med abonnementet som viser at forholdet tilhører agent a. Forholdet er en delmengde av settet med bestilte par mulige verdener, ({(w, w ') colon w, w' / in W }). En verden w “peker” til en annen (w ') hvis ((w, w') i R_ {a}). I dette tilfellet sies (w ') å være tilgjengelig (ikke skille ut) fra w. I litteraturen er dette ofte skrevet (wR_ {a} w ') eller (R_ {a} ww'). Notasjonen '(w' / i R_ {a} (w)) 'er også vanlig: settet (R_ {a} (w)) er da verdens tilgjengelige fra w, dvs.

[R_ {a} (w): = {w '\ i W: (w, w') i R_ {a} }.)

En siste merknad: settet ({(w, w ') kolon w, w' / i W }) er ofte skrevet (W / ganger W), det kartesiske produktet til W med seg selv.

For (R_ {a}) for å tro å representere en relasjon til skillebarhet, hvilke verdener skal den forholde seg til? Hvis Zoe for eksempel ble kastet i (w_ {1}), kan hun da fortelle at hun ikke er i (w_ {2})? Nei: forholdet mellom skillebarhet er symmetrisk hvis man ikke kan fortelle a fra b, og man kan heller ikke si b fra a. At en relasjon er symmetrisk tegnes vanligvis ved å utelate pilhoder helt eller ved å sette dem i begge retninger:

Grunnleggende fire verdener bortsett fra w2 er uthevet, og en dobbelthodet pil forbinder w2 og w1
Grunnleggende fire verdener bortsett fra w2 er uthevet, og en dobbelthodet pil forbinder w2 og w1

Hvilke av de gjenværende verdenene kan ikke skilles? Gitt at høna alltid klirrer, har Zoe informasjon som lar henne skille (w_ {1}) og (w_ {2}) fra (w_ {3}) og (w_ {4}) og omvendt, jfr. symmetri. Derfor er det ingen piler mellom disse. Verdenene (w_ {3}) og (w_ {4}) kan ikke skilles. Dette bringer oss til følgende representasjon:

Grunnleggende fire verdener bortsett fra w2 er uthevet og en dobbel ledet pil kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil forbinder w3 og w4
Grunnleggende fire verdener bortsett fra w2 er uthevet og en dobbel ledet pil kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil forbinder w3 og w4

Siden ingen informasjon noensinne vil tillate Zoe å skille noe fra seg selv, er en eventuell verden dermed relatert til seg selv, og det umulige forholdet er refleksivt:

Grunnleggende fire verdener bortsett fra w2 er uthevet og en dobbel ledet pil kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil som går tilbake til den samme verdenen
Grunnleggende fire verdener bortsett fra w2 er uthevet og en dobbel ledet pil kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil som går tilbake til den samme verdenen

Standardtolkningen av Zoe-eksemplet i form av en mulig verdensmodell er nå fullført. La oss se på hva Zoe vet før vi går til en generell presentasjon av tolkbarhet.

Husk den uformelle modale semantikken til kunnskapsoperatøren ovenfra:

(K_ {a} varphi) er sant i verden w hvis, og bare hvis, (varphi) er sant i hver verden (w ') kompatibel med informasjonen a har på w.

For å nærme deg en formell definisjon, ta '(w / vDash / varphi)' for å bety at (varphi) er sant i verden w. Dermed kan vi definere sannheten til (K_ {a} varphi) i w av

(w / vDash K_ {a} varphi) iff (w '\ vDash / varphi) for alle (w') slik at (wR_ {a} w ').

Denne definisjonen sier at en kjenner (varphi) i verden w hvis, og bare hvis, (varphi) er tilfelle i alle verdener (w ') som a ikke kan skille fra w.

Så hvor forlater det Zoe? For det første lar definisjonen oss vurdere hennes kunnskap i hver av verdenene, men å se som (w_ {2}) er den virkelige verdenen, det er en verden av interesse. Her er noen eksempler på hva vi kan si om Zoes kunnskap om (w_ {2}):

  1. (w_ {2} vDash K_ {a} p). Zoe vet at høna er i hagen, fordi alle verdens ukjennelige fra (w_ {2}) som ville være (w_ {1}) og (w_ {2}) gjør p sant.
  2. (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q). Zoe vet ikke at hunden er i hagen, ettersom en av de ukjennelige verdenene faktisk (w_ {2}) i seg selv gjør q usann.
  3. (w_ {2} vDash K_ {a} K_ {a} p). Zoe vet at hun kjenner p fordi (a)) (w_ {2} vDash K_ {a} p) (jf. 1.) og (b)) (w_ {1} vDash K_ {a} s).
  4. (w_ {2} vDash K_ {a} neg K_ {a} q). Zoe vet at hun ikke kjenner q fordi (a)) (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q) (jf. 2.) og (b)) (w_ {1 } vDash / neg K_ {a} q).

Vi kan si mye mer om Zoes kunnskap: hver formel for det epistemiske språket uten trooperatører kan evalueres i modellen. Det representerer således all Zoes informasjon med høyere orden om hennes egen kunnskap om hvilke punkter 3. og 4. som er de første eksemplene.

En siste ingrediens er påkrevd før vi kan angi den utskilelige tolkningen i sin fulle generalitet. I eksemplet over ble det vist at forholdene som kan skilles ikke var symmetriske og refleksive. Formelt kan disse egenskapene defineres som følger:

Definisjon: En binær relasjon (R / delmengde W / ganger W) er

  1. refleksiv iff for alle (w / i W, wRw),
  2. symmetrisk iff for alle (w, w '\ i W,) hvis (wRw'), deretter (w'Rw).

Den manglende ingrediensen er da den relasjonelle egenskapen til transitivitet. 'Kortere enn' er et eksempel på en transitive egenskap: La x være kortere enn y, og la y være kortere enn z. Da må x være kortere enn z. Så gitt (w_ {1}, w_ {2}) og (w_ {3}), hvis forholdet R har mellom (w_ {1}) og (w_ {2}) og mellom (w_ {2}) og (w_ {3}), så er pilen mellom (w_ {1}) og (w_ {3}) konsekvensen av å kreve at forholdet skal være transitive:

Et diagram av tre noder: w1, w2 og w3. En pil, merket 'antatt' går fra w1 til w2 og en annen pil med samme etikett går fra w2 til w3. En tredje pil, merket 'implisitt' går fra w1 til w3
Et diagram av tre noder: w1, w2 og w3. En pil, merket 'antatt' går fra w1 til w2 og en annen pil med samme etikett går fra w2 til w3. En tredje pil, merket 'implisitt' går fra w1 til w3

Formelt sett er transittivitet definert som følger:

Definisjon: En binær relasjon (R / delmengde W / ganger W) er transitive iff for alle (w, w ', w' '\ i W,) hvis (wRw') og (w'Rw ''), deretter (wRw '')

En relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitive kalles en ekvivalensrelasjon.

La oss nå definere Kripke-modellen med alle komponentene på plass:

Definisjon: En Kripke-modell for (mathcal {L} _ {K}) er en tuple (M = (W, R, V)) hvor

  • W er et ikke-tomt sett med mulige verdener,
  • R er et binært forhold på W, og
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) er en verdivurdering.

I definisjonen betegner '(mathcal {P} (W))' kraftsettet til W: Det består av alle undergruppene til W. Derfor er (V (p)), verdsettelsen av atom p i modellen M, noen delmengde av de mulige verdenene: De der p er sant. I denne generelle definisjonen kan R være et hvilket som helst forhold på W.

For å spesifisere hvilken verden som er faktisk, legges en siste parameter til i modellen. Når den faktiske verden er spesifisert, kalles ofte en Kripke-modell spiss:

Definisjon: En spiss Kripke-modell for (mathcal {L} _ {K}) er et par ((M, w)) hvor

  • (M = (W, R, V)) er en Kripke-modell, og
  • (w / i W).

Endelig kan vi formelt definere semantikken som ble noe løst uttrykt ovenfor. Dette gjøres ved å definere en sammenheng mellom spisse Kripke-modeller og formlene for det formelle språket. Relasjonen betegnes '(vDash)' og kalles ofte tilfredshetsrelasjonen.

Definisjonen går da som følger:

Definisjon: La (M = (W, R_ {a}, V)) være en Kripke-modell for (matematisk {L} _ {K}) og la ((M, w)) være en spiss Kripke-modell. Så for alle (p / in / textit {Atom}) og alle (varphi, / psi / in / mathcal {L} _ {K})

(begynne {align} (M, w) & / vDash p & / textrm {iff} & w / in V (p) (M, w) & / vDash / neg / varphi & / textrm {iff} & / textrm {ikke} (M, w) vDash / varphi \(M, w) & / vDash (varphi / kil / psi) & / textrm {iff} & (M, w) vDash / varphi / textrm {og} (M, w) vDash / psi \(M, w) & / vDash K_ {a} varphi & / textrm {iff} & (M, w ') vDash / varphi / textrm {for alle } w '\ i W / textrm {slik at} wR_ {a} w'. / end {align})

Formelen (varphi) er tilfreds i den spisse modellen ((M, w)) iff ((M, w) vDash / varphi).

I full generalitet er det ikke mulig å identifisere tolkningen at for (K_ {a}) for å fange kunnskap, må forholdet (R_ {a}) være en ekvivalensrelasjon. En spiss Kripke-modell som dette tilfredsstilles for, blir ofte referert til som en epistemisk tilstand. I epistemiske tilstander er forholdet betegnet med en tilde med subscript: (sim_ {a}).

Gitt spisse Kripke-modeller og den utskilelige tolkningen, har vi en semantisk spesifikasjon av ett kunnskapsbegrep. Med denne tilnærmingen kan vi bygge modeller av situasjoner som involverer kunnskap, slik vi gjorde med leketøyseksemplet med Zoe og hønene. Vi kan bruke disse modellene til å bestemme hva agenten gjør eller ikke vet. Vi har også de formelle grunnlaget for å begynne å stille spørsmål om hvordan agentens kunnskap eller usikkerhet utvikler seg når den mottar ny informasjon, et tema studert i dynamisk epistemisk logikk.

Vi kan også stille mer generelle spørsmål om kunnskapsbegrepet ved hjelp av spisse Kripke-modeller med utelukkende forhold: I stedet for å se på en bestemt modell den gang og spørre hvilke formler modellen gir sannhet, kan vi spørre hvilke generelle prinsipper alle slike modeller er enige om på.

2.5 Epistemologiske prinsipper i epistemisk logikk

Å ta stilling til riktig formell representasjon av kunnskap innebærer å reflektere nøye over de epistemologiske prinsippene man er forpliktet til. Et ukontroversielt eksempel på et slikt prinsipp som de fleste filosofer vil akseptere, er veridikalitet:

Hvis et forslag er kjent, er det sant.

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi.)

I en formell sammenheng kan dette prinsippet forstås å si at hvis (varphi) er kjent, bør det alltid tilfredsstilles i ens modeller. Hvis det viser seg at noen av ens valgte modeller forfalsker veridikalitetsprinsippet, ville de fleste filosofer ganske enkelt ansett disse modellene som uakseptable.

Når vi kommer tilbake til spisse Kripke-modeller, kan vi nå spørre hvilke prinsipper disse modellene forplikter seg til. For å begynne å svare på dette spørsmålet, må vi forstå de mest generelle trekk ved vår formalisme. Strategien i modal logikk generelt (se Blackburn, de Rijke, & Venema 2001) er å abstrahere vekk fra en gitt modells kontingente trekk. Betingede funksjoner vil for eksempel omfatte det spesifikke antall verdener som vurderes, den spesifikke verdsettelsen av atomene og valget av en faktisk verden. I dette tilfellet er de eneste funksjonene som ikke er betingede, de som kreves av den generelle definisjonen av en spiss Kripke-modell.

For å abstrahere passende, ta en spiss Kripke-modell ((M, w) = (W, R, V, w)). For å bestemme om forholdet til denne modellen er en ekvivalensrelasjon trenger vi bare å vurdere verdener og forholdet. Paret av disse elementene utgjør det grunnleggende nivået på modellen og kalles modellens ramme:

Definisjon: La ((M, w) = (W, R, V, w)) være en spiss Kripke-modell. Da kalles paret ((W, R)) rammen til ((M, w)). Enhver modell ((M ', w')) som deler rammen ((W, R)) sies å være bygd på ((W, R)).

Tenk på nytt den epistemiske tilstanden for Zoe ovenfra:

Grunnleggende fire verdener bortsett fra w2 er uthevet og en dobbel ledet pil kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil som går tilbake til den samme verdenen
Grunnleggende fire verdener bortsett fra w2 er uthevet og en dobbel ledet pil kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil som går tilbake til den samme verdenen

Flere andre modeller kan være bygget på samme ramme. Følgende er to eksempler:

Grunnleggende fire verdener bortsett fra w3 (i stedet for w2) er uthevet og en dobbelthøydepil kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil som går tilbake til den samme verdenen. I tillegg har w2 paret: p, q i stedet for p, ikke q
Grunnleggende fire verdener bortsett fra w3 (i stedet for w2) er uthevet og en dobbelthøydepil kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil som går tilbake til den samme verdenen. I tillegg har w2 paret: p, q i stedet for p, ikke q
Grunnleggende fire verdener bortsett fra w4 (i stedet for w2 eller w3) er uthevet og en dobbeltspiss kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil kobler sammen w3 og w4. Hver verden har også en pil som går tilbake til den samme verdenen. I tillegg har w1 paret: ikke p, ikke q; w2, w3 og w4 har begge paret: p, q
Grunnleggende fire verdener bortsett fra w4 (i stedet for w2 eller w3) er uthevet og en dobbeltspiss kobler sammen w2 og w1 og en annen dobbelthodet pil kobler sammen w3 og w4. Hver verden har også en pil som går tilbake til den samme verdenen. I tillegg har w1 paret: ikke p, ikke q; w2, w3 og w4 har begge paret: p, q

Med forestillingen om en ramme kan vi definere forestillingen om gyldighet av interesse. Det er det andre begrepet definert i følgende:

Definisjon: En formel (varphi) sies å være gyldig i rammen (F = (W, R)) hvis hver spisse Kripke-modell som bygger på F tilfredsstiller (varphi), dvs. iff for hver ((M, w) = (F, V, w) = (W, R, V, w)), ((M, w) vDash / varphi). En formel (varphi) er gyldig i klassen for rammer (mathsf {F}) (skrevet (mathsf {F} vDash / varphi)) iff (varphi) er gyldig i hver ramme F i (mathsf {F}).

Sammensetningen av formler som er gyldig i en klasse med rammer (mathsf {F}) kalles logikkenav (mathsf {F}). Betegn denne logikken, det vil si settet ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {F} vDash / varphi }) av (Lambda _ { mathsf {F }}). Dette er en semantisk tilnærming til å definere logikk, hver bare et sett med formler. Man kan også definere logikk bevissteoretisk ved å definere en logikk som settet med formler som kan bevises i noen system. Med logikk som bare sett med formler, kan resultater og fullstendighet da uttrykkes ved bruk av angitt inkludering. For å eksemplifisere, la (mathsf {A}) være et sett med aksiomer og skriv (mathsf {A} vdash / varphi) når (varphi) kan påvises fra (mathsf {A}) ved å bruke noen gitte sett med fradragsregler. La den resulterende logikken settet med teoremer bli betegnet (Lambda _ { mathsf {A}}). Det er settet med formler fra (mathcal {L} _ {K}) som kan bevises fra (mathsf {A}), dvs.settet ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {A} vdash / varphi }). Logikken (Lambda _ { mathsf {A}}) er lyd med hensyn til (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {A}} subseteq / Lambda _ { mathsf {F }}) og fullfør med hensyn til (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {F}} subseteq / Lambda _ { mathsf {A}}).[3]

Når vi vender tilbake til den utskilelige tolkningen av kunnskap, kan vi da søke å finne de epistemologiske prinsippene som tolkningen er forpliktet til. Det er et trivielt svar med liten direkte interesse: La (mathsf {EQ}) være klassen for rammer med ekvivalensrelasjoner. Da er logikken for den utskilelige tolkningen settet med formler for (mathcal {L} _ {K}) som er gyldige over (mathsf {EQ}), dvs. settet (Lambda _ { mathsf {EQ}}: = { varphi / i / mathcal {L} _ {k} tykktarm / mathsf {EQ} vDash / varphi }). Ikke veldig lærerikt.

Å ta en aksiomatisk tilnærming til å spesifisere logikken gir imidlertid en presentasjon når det gjelder enkle å forstå prinsipper. For å starte med det enkleste, så sier prinsippet T at kunnskap er saklig: Hvis agenten vet (varphi), må (varphi) være sann. Jo mer kronglete K uttaler at hvis midlet kjenner en implikasjon, så hvis midlet kjenner den forfølgende, vet den også konsekvensen. Dvs. hvis vi inkluderer avledningsregelen modus ponens (fra (varphi / høyre mark / psi) og (varphi), konkluderer (psi)) som regel i vår logikk av kunnskap, uttaler K at kunnskap er stengt under implikasjon. Prinsipp B sier at hvis (varphi) er sant, så vet agenten at den anser (varphi) som mulig. Til slutt uttaler 4 at hvis agenten kjenner (varphi), så vet den at den vet (varphi). T,B og 4 i tabellen nedenfor (navnene er historiske og ikke alle meningsfulle).

(start {align} textrm {K} & & (K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) & / rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi) / \ textrm {T} & & K_ {a} varphi & / rightarrow / varphi \\ / textrm {B} & & / varphi & / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi \\ / textrm { 4} & & K_ {a} varphi & / høyre mark K_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

I stedet for epistemologiske intuisjoner, kunne vi diskutere et kunnskapsbegrep ved å diskutere disse og andre prinsipper. Bør vi akseptere T som et prinsipp som kunnskap følger? Hva med de andre? Før vi fortsetter, la oss først gjøre rede for hvordan de fire ovennevnte prinsippene forholder seg til tolkbarhet som kan skelnes. For å gjøre det, trenger vi forestillingen om en normal modal logikk. I definisjonen nedenfor, som i ovennevnte prinsipper, bruker vi teknisk formelskjemaer. I (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) er for eksempel (varphi) en variabel som spenner over formler i (mathcal {L} _ {K}). Strengt tatt er (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) ikke en formel, men et skjema for å få en formel. En modal forekomst av (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) er da formelen oppnådd ved å la (varphi) være en eller annen konkret formel fra (mathcal {L} _ {K}). For eksempel er (K_ {a} p / høyre pil p) og (K_ {a} (p / kil K_ {a} q) høyre pil (p / kil K_ {a} q)) begge modale forekomster av T.

Definisjon: La (Lambda / subseteq / mathcal {L} _ {K}) være et sett med modale formler. Da er (Lambda) en normal modal logikk iff (Lambda) tilfredsstiller alt av følgende:

  1. (Lambda) inneholder alle modale forekomster av de klassiske proposisjonelle tautologiene.
  2. (Lambda) inneholder alle modale forekomster av K.
  3. (Lambda) er lukket under modus ponens: Hvis (varphi / in / Lambda) og (varphi / rightarrow / psi / in / Lambda), deretter (psi / in / Lambda).
  4. (Lambda) er stengt under generalisering (også nødvendig): Hvis (varphi / in / Lambda), så (K_ {a} varphi / in / Lambda).

Det er en unik minste normal modal logikk (gitt settet Atom) det som inneholder nøyaktig hva som kreves av definisjonen og ikke noe mer. Det kalles ofte den minimale normale modale logikken og er betegnet med fet skrift K (for ikke å forveksle med ikke-fet skrift K som angir skjemaet).

Logikken K er bare et sett med formler fra (mathcal {L} _ {K}). Dvs, K (subseteq / mathcal {L} _ {K}). Punkt 1.4. gir et perspektiv på dette settet: De gir en aksiomatisering. Som nedenfor blir skjemaet K referert til som et aksiom, selv om innsettingen av K egentlig er aksiomer.

Til K kan vi legge til flere prinsipper som aksiomer (aksiomskjemaer) for å få sterkere logikk (logikk som har flere teoremer: Logikk (Lambda) som K (subseteq / Lambda)). Av umiddelbar interesse er logikken som heter S5:

Definisjon: Logikken S5 er den minste normale modale logikken som inneholder alle modale forekomster av T, B og 4.

Her er da forholdet mellom de ovennevnte fire prinsippene og den utskilelige tolkningen:

Teorem 1: Logikken S5 er logikken i klassen av spisse Kripke-modeller som bygger på rammer med ekvivalensrelasjoner. Dvs. (textbf {S5} = / Lambda _ { mathsf {EQ}}).

Hva forteller dette teoremet oss om kunnskapens prinsipper, da? I en retning forteller det oss at hvis man aksepterer den umuliggjørbare tolkningen, så har man implisitt akseptert prinsippene K, T, B og 4 som rimelige for kunnskap. I den andre retningen forteller det oss at hvis man finner ut at S5 er den passende logikken for kunnskap og man finner at spisse Kripke-modeller er den rette måten å semantisk representere kunnskap, så må man bruke en ekvivalensrelasjon. Hvorvidt man skal tolke dette forholdet når det gjelder utskillbarhet, er imidlertid et spørsmål som logikken er taus på.

Når vi diskuterer prinsipper for kunnskap, kan det være at noen av de fire ovenfor virker akseptable, mens andre ikke gjør det: En kan være uenig i akseptabelen av B og 4, si, mens du aksepterer K og T. Ved å forstå forholdet mellom S5 og ekvivalens relasjoner, er et mer finkornet perspektiv fordelaktig: Teorem 1 kan hakkes i mindre biter som gjenspeiler bidraget fra de enkelte prinsippene K, T, 4 og B til ekvivalenskravet, f.eks. at forholdet skal være samtidig refleksiv, symmetrisk og transitive.

Teorem 2: La (F = (W, R)) være en ramme. Deretter:

  • Alle modale forekomster av K er gyldige i F.
  • Alle modale forekomster av T er gyldige i F hvis R er refleksiv.
  • Alle modale forekomster av B er gyldige i F iff R er symmetrisk.
  • Alle modale forekomster av 4 er gyldige i F iff R er transitive.

Det er en rekke innsikter å hente fra Teorem 2. For det første, hvis man ønsker å bruke en hvilken som helst type Kripke-modell for å fange kunnskap, så må man godta K. Hoppe over noen detaljer, må man faktisk akseptere hele logikken K da dette er logikken i klassen for alle Kripke-modeller (se f.eks. Blackburn, de Rijke, & Venema 2001).

For det andre viser teoremet at det er et intimt forhold mellom de individuelle epistemiske prinsippene og egenskapene på forholdet. Dette betyr igjen at man generelt kan nærme seg "logikken" i epistemisk logikk fra to sider fra intuisjoner om tilgjengelighetsforholdet eller fra intuisjoner om epistemiske prinsipper.

Flere normale modale logiske systemer som er svakere enn S5 er antydet i litteraturen. Her spesifiserer vi logikkene etter settet med deres modale aksiomer. For eksempel er logikken K gitt av ({ text {K} }), mens S5 er gitt av ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / tekst {4} }). For å etablere nomenklatur inneholder følgende tabell et utvalg av prinsipper fra litteraturen med rameegenskapene de kjennetegner, jfr. Aucher (2014) og Blackburn, de Rijke, & Venema (2001), på linjen under dem. Rammebetingelsene er ikke alle enkle.

I tabell 1 er abonnementet på (R_ {a}) utelatt for å lette lesbarheten, og det samme er domenet til kvantifisering W som verdensvariablene (x, y, z) går over.

K

(K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi))

Ingen: Ikke relevant

D

(K_ {a} varphi / rightarrow / widehat {K} _ {a} varphi)

Seriell: (forall x / eksisterer y, xRy).

T

(K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

Reflexive: (forall x, xRx).

4

(K_ {a} varphi / høyre mark K_ {a} K_ {a} varphi)

Transitive: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {og} yRz / text {, deretter} xRz).

B

(varphi / høyre mark K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Symmetrisk: (forall x, y, / text {if} xRy / text {, deretter} yRx).

5

(neg K_ {a} varphi / høyre mark K_ {a} neg K_ {a} varphi)

Euklidean: (alt x, y, z, / text {if} xR_ {a} y / text {og} xR_ {a} z / text {, deretter} yRz).

0,2

(widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Confluent: (forall x, y, / text {if } xRy / text {og} xRy ', / text {deretter} eksisterer z, yRz / text {og} y'Rz).

0,3

((widehat {K} _ {a} varphi / kile / widehat {K} _ {a} psi) rightarrow (widehat {K} _ {a} (varphi / kile / widehat {K} _ {a} psi) vee / widehat {K} _ {a} (varphi / kile / psi) vee / widehat {K} _ {a} (psi / kile / widehat {K} _ {a } varphi)))

Ingen forgrening til høyre: (alt x, y, z, / text {if} xRy / text {og} xRz, / text {deretter} yRz / text {eller} y = z / text {eller} zRy)

.3.2

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} psi) høyre mark K_ {a} (widehat {K} _ {a} varphi / vee / psi))

Semi-euklidisk: (alt x, y, z,) hvis (xRy) og (xRz), deretter (zRx) eller (yRz).

0,4

((varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi) høyre mark K_ {a} varphi)

Ukjent for forfattere: Ikke aktuelt

Tabell 1. Epistemiske prinsipper og deres rammebetingelser.

Å legge til epistemiske prinsipper som aksiomer til den grunnleggende minimale normale modale logikken K gir ny, normal modal logikk. Et utvalg er:

K ({ Tekst {K} })
T ({ Tekst {K}, / tekst {T} })
D ({ Tekst {K}, / tekst {D} })
KD4 ({ Tekst {K}, / tekst {D} tekst {4} })
KD45 ({ Tekst {K}, / tekst {D} tekst {4}, / tekst {5} })
S4 ({ Tekst {K}, / tekst {T} tekst {4} })
S4.2 ({ Tekst {K}, / tekst {T} tekst {4}, / tekst {0,2} })
S4.3 ({ Tekst {K}, / tekst {T} tekst {4}, / tekst {0,3} })
S4.4 ({ Tekst {K}, / tekst {T} tekst {4}, / tekst {0,4} })
S5 ({ Tekst {K}, / tekst {T} tekst {5} })

Tabell 2. Logiske navn og aksiomer

Ulike aksiomatiske spesifikasjoner kan gi samme logikk. Legg merke til at tabellens aksiomatiske spesifikasjon ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {5} }) til S5 ikke samsvarer med den som er gitt i definisjonen foran setning 1, ({ tekst {K}, / tekst {T} tekst {B}, / tekst {4} }). Merk også at det er mer enn en aksiomatisering av S5: aksiomene ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {5} }), ({ tekst {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }), ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {4} }) og ({ tekst {K}, / tekst {D}, / tekst {B}, / tekst {5} }) alle gir S5logikk (jf. f.eks. Chellas 1980). En ofte sett variant er ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {5} }). Imidlertid er det overflødig å legge det til, siden alle forekomster kan bevises fra K, T og 5. Men ettersom både 4 og 5 fanger viktige epistemiske prinsipper (se avsnitt 2.6), inngår ofte ofte 4 også av hensyn til filosofisk åpenhet. For mer likeverdier mellom modal logikk, se f.eks. Oppføringen på modal logikk eller Chellas (1980) eller Blackburn, de Rijke og Venema (2001).

Logikk kan være sterkere eller svakere enn hverandre, og å kjenne til rammegenskapene til deres aksiomer kan hjelpe oss å forstå deres forhold. Ettersom 4 for eksempel er avledet fra ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {5} }), er alle teoremene til S4 deriverbare i S5. S5 er dermed minst like sterk som S4. Faktisk S5 er også strengt sterkere: Det kan vise seg å være ting som S4 ikke kan.

Den S5 kan aksiomatiseres både av ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }) og ({ text {K}, / tekst {T}, / text {5} }) kan sees gjennom rammegenskapene til aksiomene: hver refleksiv og euklidisk relasjon (T og 5) er en ekvivalensrelasjon (T, B og 4). Dette viser også overflødigheten til 4: Hvis man har antatt et forhold refleksivt og euklidisk, legger det ikke noe nytt til i tillegg å anta at det er transitivt. Generelt er det å ha forståelse for samspillet mellom relasjonelle egenskaper en stor hjelp i å se sammenhenger mellom modal logikk. Hvis du for eksempel legger merke til at alle refleksive forhold også er seriell, betyr det at alle formler som er gyldige i klassen av seriemodeller, også er gyldige i klassen for refleksive modeller. Derfor er hvert teorem om D således et teorem om T. Derfor er T er minst like sterk som D (dvs. (textbf {D} subseteq / textbf {T})). At T også er strengt sterkere (ikke (textbf {T} subseteq / textbf {D})) kan vises ved å finne en seriell, ikke-refleksiv modell som ikke tilfredsstiller noen teorem om T (for eksempel (K_ {a} p / høyre pil p)).

2.6 Prinsipper for kunnskap og tro

Med den formelle bakgrunnen for epistemisk logikk på plass, er det enkelt å variere rammene litt for å imøtekomme trobegrepet. Gå tilbake til språket (mathcal {L} _ {KB}) for både kunnskap og tro:

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} psi / mid B_ {a} psi, / text {for} p / in / textit {Atom}.)

For å tolke kunnskaps- og troformler sammen i spisse Kripke-modeller er alt som trengs en ekstra sammenheng mellom mulige verdener:

Definisjon: En spiss Kripke-modell for (mathcal {L} _ {KB}) er en tuple ((M, w) = (W, R_ {K}, R_ {B}, V, w)) hvor

  • W er et ikke-tomt sett med mulige verdener,
  • (R_ {K}) og (R_ {B}) er binære relasjoner på W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) er en verdivurdering, og
  • (w / i W).

(R_ {K}) er relasjonen for kunnskapsoperatøren og (R_ {B}) relasjonen for trooperatøren. Definisjonen gjør ingen ytterligere forutsetninger om deres egenskaper. I figuren nedenfor gir vi en illustrasjon, der pilene er merket i samsvar med forholdet de tilsvarer. Den refleksive sløyfen ved (w_ {3}) er en etikett som indikerer at den hører til begge relasjoner, dvs. ((w_ {3}, w_ {3}) i R_ {K}) og (((w_ {3}, w_ {3}) i R_ {B}).

Fire bokser merket w1 (inneholder 'p'), w2 (inneholder 'ikke p'), w3 (inneholder 'p') og w4 (inneholder 'ikke p'). w1 er uthevet og en pil, merket 'K', går fra den til w2. w2 har piler, hver merket 'B', og peker til w3 og w4. w3 har en pil, merket 'K, B', som løkker tilbake til den
Fire bokser merket w1 (inneholder 'p'), w2 (inneholder 'ikke p'), w3 (inneholder 'p') og w4 (inneholder 'ikke p'). w1 er uthevet og en pil, merket 'K', går fra den til w2. w2 har piler, hver merket 'B', og peker til w3 og w4. w3 har en pil, merket 'K, B', som løkker tilbake til den

Tilfredshetsforholdet er definert som ovenfor, men med de åpenbare endringene for kunnskap og tro:

((M, w) vDash K_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) for alle (w' / i W) slik at (wR_ {K } w ').

((M, w) vDash B_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) for alle (w' / i W) slik at (wR_ {B } w ').

Utskillbarhetstolkningen stiller veldig sterke krav til tilgjengelighetsrelasjonen for kunnskap. Disse er nå blitt fjernet, og det har også forpliktelse til prinsippene T, B, D, 4 og 5. Når vi tar Kripke-modeller som grunnleggende semantikk, er vi fremdeles opptatt av K, selv om dette prinsippet ikke er uproblematisk som vi skal se nedenfor i vår diskusjon om problemet med logisk allvitenskap.

Av prinsippene fra tabell 1 har T, D, B, 4 og 5 blitt drøftet mest i litteraturen om epistemisk logikk, både som kunnskapsprinsipper og som prinsipper for tro. Prinsippet T for kunnskap

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

er bredt akseptert. Kunnskap anses ofte for å være veridisk, og bare en sann proposisjon kan være kjent. For f.eks. Hintikka (1962) og Fagin et al. (1995), er svikt av T for tro den definerende forskjellen mellom de to forestillingene.

Selv om det ofte ikke blir trodd at troen er veridisk, mener vi vanligvis å være konsistente. Det vil si at agenter blir ansett for å aldri tro motsetningen, det vil si en formel som er ekvivalent med ((p / kile / neg p)) eller (bot), kort sagt. Det som mener bør være konsekvent blir da fanget opp av prinsippet

(neg B_ {a} bot.)

Prinsippet (neg B_ {a} bot) er på Kripke-modeller ekvivalent med prinsippet D, (B_ {a} varphi / rightarrow / widehat {B} _ {a} varphi). Derfor krever gyldigheten til (neg B_ {a} bot) serierammer. Vitne, for eksempel, om det mislyktes i (w_ {1}) over: Ettersom det ikke er noen verdener tilgjengelig via (R_ {B}), tilfredsstiller alle tilgjengelige verdener (bot). Derfor (w_ {1}) tilfredsstiller (B_ {a} bot), og krenker konsistensen. Legg også merke til at (neg B_ {a} bot) kan skrives til (widehat {B} _ {a} top), som er sant i en verden bare i tilfelle noen verden er tilgjengelig gjennom (R_ {B}). Dens gyldighet sikrer dermed seriøsitet.

Legg merke til at kunnskapens sannhet sikrer dens konsistens: Enhver refleksiv ramme er automatisk seriell. Å akseptere (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) innebærer derfor å akseptere (neg K_ {a} bot).

Av prinsippene D, 4 og 5 har de to sistnevnte fått langt mest oppmerksomhet, både for kunnskap og for tro. De tolkes ofte som styring av prinsipiell tilgang til egne mentale tilstander. De 4 prinsippene

(begynne {justere} K_ {a} varphi & / høyre pil K_ {a} K_ {a} varphi \\ B_ {a} varphi & / høyre pil B_ {a} B_ {a} varphi \\ / slutt {align})

blir ofte referert til som prinsipper for positiv introspeksjon, eller for kunnskap KK-prinsippet. Begge prinsippene anses som akseptable av for eksempel Hintikka (1962) på andre grunner enn introspeksjon. Han argumenterer basert på en autoepistemisk analyse av kunnskap, ved å bruke en ikke-Kripkean mulig verdenssemantikk kalt modellsystemer. Hintikka mener at når en agent forplikter seg til å kjenne (varphi), forplikter agenten seg til å inneha samme holdning uansett hvilken ny informasjon agenten vil møte i fremtiden. Dette innebærer at i alle agentens epistemiske alternativer for Hintikka, alle modellsettene (delvise beskrivelser av mulige verdener) der agenten vet minst like mye de nå gjør at agenten fremdeles vet (varphi). Ettersom (K_ {a} varphi) dermed rommer alle agentens epistemiske alternativer, konkluderer Hintikka med at (K_ {a} K_ {a} varphi). På samme måte støtter Hintikka 4 for tro, men Lenzen reiser innvendinger (Lenzen 1978: kap. 4).

Williamson argumenterer mot prinsippets generelle akseptabilitet (Williamson 2000: kap. 5) for et kunnskapsbegrep basert på litt upåklagelige observasjoner, et såkalt feilmarginprinsipp (se f.eks. Aucher 2014 for en kort oppsummering).

De 5 prinsippene

(begynne {align} neg K_ {a} varphi & / høyre pil K_ {a} neg K_ {a} varphi \\ / neg B_ {a} varphi & / høyre pil B_ {a} neg B_ {a} varphi \\ / end {align})

blir ofte referert til som prinsipper for negativ introspeksjon. Negativ introspeksjon er ganske kontroversiell da den stiller veldig høye krav til kunnskap og tro. Skjemaet 5 kan sees på som en lukket verdensantagelse (Hendricks 2005): Agenten har full oversikt over alle mulige verdener og egen informasjon. Hvis (neg / psi) anses som mulig ((widehat {K} _ {a} neg / psi), dvs. (neg K_ {a} psi)), så er agenten vet at det anses som mulig ((K_ {a} neg K_ {a} psi)). En slik lukket verdensantagelse er naturlig når de konstruerer hyperrasjonelle agenter i for eksempel datavitenskap eller spillteori, der agentene antas å resonnere så hardt som logisk mulig om egen informasjon når de tar beslutninger.

Hintikka (1962) argumenterer mot 5 og bruker sin oppfatning av epistemiske alternativer. Etter å ha akseptert T for kunnskap, står eller faller 5 med antakelsen om en symmetrisk tilgjengelighetsrelasjon. Men, Hintikka hevder, tilgjengelighetsforholdet er ikke symmetrisk: Hvis agenten har en viss mengde informasjon på modellsettet (s_ {1}), så er modellsettet (s_ {2}) der agenten har lært noe mer vil være et epistemisk alternativ til (s_ {1}). Men (s_ {1}) vil ikke være et epistemisk alternativ til (s_ {2}), fordi i ((s_ {1}) vet agenten ved hypotese ikke så mye som det gjør i (s_ {2}). Derfor er forholdet ikke symmetrisk, så 5 er ikke et kunnskapsprinsipp, for Hintikkas regning.

Gitt Hintikkas ikke-standard semantikk, er det litt vanskelig å finne ut om han ville godta en normal modal logikk som logikk for kunnskap og tro, men i så fall ville S4 og KD4 være de nærmeste kandidatene (se Hendricks & Rendsvig 2018 for dette punktet). Derimot, for kunnskap von Kutschera argumenterte for S4.4 (1976), antydet Lenzen S4.2 (1978), van der Hoek argumenterte for S4.3 (1993), og Fagin, Halpern, Moses og Vardi (1995) og mange andre bruker S5 for kunnskap og KD45 for tro.

Utover prinsipper som styrer kunnskap og prinsipper som styrer tro, kan man også vurdere prinsipper som styrer samspillet mellom kunnskap og tro. Tre prinsipper av interesse er

(begynne {align} tag * {KB1} K_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} varphi \\ / tag * {KB2} B_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} B_ {a} varphi \\ / tag * {KB3} B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Prinsippene KB1 og KB2 ble introdusert av Hintikka, som støtter begge Hintikka (1962) og bemerker at Platon også er forpliktet til KB1 i Theatetus. Det første prinsippet, KB1, fanger intuisjonen om at kunnskap er en sterkere forestilling enn tro. Den andre som 4 og 5 fanger ideen om at man har privilegert tilgang til sin egen tro. Den tredje, stammet fra Lenzen (1978), fanger opp forestillingen om at tro holdes med en slags overbevisning: hvis noe antas, antas det å være kjent.

Selv om samhandlingsprinsippene KB1KB3 kan se uskyldige ut på egenhånd, kan de føre til motintuitive konklusjoner når de kombineres med spesifikk logikk for kunnskap og tro. For det første viser Voorbraak (1993) at å kombinere 5 for kunnskap og D for tro med KB1, innebærer det

[B_ {a} K_ {a} varphi / høyre mark K_ {a} varphi)

er et teorem for den resulterende logikken. Forutsatt at kunnskap er sannferdig, innebærer dette teoremet at agenter ikke kan tro at de vet noe som tilfeldigvis er usant.

Hvis KB3 legges i tillegg, kollapser forestillinger om kunnskap og tro. Dvs. det kan bevises at (B_ {a} varphi / høyre mark K_ {a} varphi), som i kombinasjon med KB1 innebærer at

[B_ {a} varphi / leftrightarrow K_ {a} varphi.)

Derfor har de to forestillingene kollapset til en. Dette ble uttalt i 1986 av Kraus og Lehmann.

Hvis man ikke er interessert i at kunnskap og tro kollapser, må man dermed gi noe opp: Man kan ikke ha både 5 for kunnskap, D for tro og KB1 og KB3 som styrer samspillet deres. Igjen kan resultater om korrespondanse mellom prinsipper og relasjonseiendommer hjelpe: I 1993 viste van der Hoek basert på en semantisk analyse at der de fire prinsippene i fellesskap er tilstrekkelig for kollaps, er ingen delmengde av dem også. Å gi opp ett prinsipp vil dermed eliminere kollapsen. Å svekke KB1 for å holde bare for ikke-modale formler er også tilstrekkelig for å unngå kollaps (jf. Halpern 1996).

For mer om epistemiske samhandlingsprinsipper, prinsippene.2,.3,.3.2. og.4, og forhold til såkalte betingede oppfatninger, se Aucher (2014). For en innføring i betinget tro og relasjoner til flere andre typer kunnskap fra filosofisk litteratur, se Baltag og Smets (2008). Sistnevnte inkluderer også diskusjoner om forståelsen av forskjellige forestillinger, og Halpern, Samet og Segev (2009) for kunnskap og (ikke-betinget) tro.

3. Kunnskap i grupper

Vi mennesker er opptatt av andre agenters epistemiske tilstander. I det vanlige liv resonnerer vi med ulik grad av suksess om hva andre vet. Vi er spesielt opptatt av hva andre vet om oss, og ofte spesifikt om hva de vet om det vi vet.

Vet hun at jeg vet hvor hun begravde skatten?

Vet hun at jeg vet at hun vet?

Og så videre.

Epistemisk logikk kan avsløre interessante epistemiske trekk ved systemer som involverer grupper av agenter. I noen tilfeller er for eksempel fremvoksende sosiale fenomener avhengige av at agenter på spesielle måter resonnerer om kunnskapen og troen til andre agenter. Som vi har sett, gjaldt tradisjonelle systemer for epistemisk logikk bare i tilfeller med én agent. Imidlertid kan de utvides til grupper eller multi-agent-systemer på en relativt enkel måte.

Som David Lewis bemerket i sin bok Convention (1969), er mange fremtredende trekk i det sosiale livet avhengige av agenter som antar at reglene i noen praksis er spørsmål om allmenn kunnskap. For eksempel vet sjåfører at et rødt trafikklys indikerer at de skal stoppe i et veikryss. For at trafikklysene skal være på plass i det hele tatt, er det imidlertid først nødvendig at bilistene også må vite at andre sjåfører vet at rødt betyr stopp. I tillegg må sjåførene også vite at alle vet at alle vet at…. Trafikklysens konvensjonelle rolle er avhengig av at alle sjåfører vet at alle sjåfører kjenner regelen, at regelen er et stykke allment kunnskap.

En rekke normer, sosiale og språklige praksiser, agentinteraksjoner og spill forutsetter vanlig kunnskap, først formalisert av Aumann (1976) og med de tidligste epistemiske logiske behandlingene av Lehmann (1984) og av Halpern og Moses (1984). For å se hvordan epistemisk logikk kaster lys over disse fenomenene, er det nødvendig å innføre litt mer formalisme. Etter standardbehandlingen (se f.eks. Fagin et al. 1995) kan vi syntaktisk forsterke språket for proposisjonell logikk med n kunnskapsoperatører, en for hvert middel som er involvert i gruppen av agenter som vurderes. Den primære forskjellen mellom semantikken gitt for en mono-agent og en multi-agent semantikk er omtrent at n tilgjengelighetsrelasjoner introduseres. Et modalt system for n-midler oppnås ved å sammenføye n modale logikker hvor det for enkelhets skyld kan antas at midlene er homogene i den forstand at de alle kan beskrives av det samme logiske system. En epistemisk logikk for n agenter består av n kopier av en viss modal logikk. I en så utvidet epistemisk logikk er det mulig å uttrykke at noen agent i gruppen kjenner til et visst faktum at en agent vet at en annen agent vet et faktum osv. Det er mulig å utvikle logikken ytterligere: Ikke bare kan en agent vite at en annen agent vet et faktum, men de kan alle vite dette faktum samtidig. I en så utvidet epistemisk logikk er det mulig å uttrykke at noen agent i gruppen kjenner til et visst faktum at en agent vet at en annen agent vet et faktum osv. Det er mulig å utvikle logikken ytterligere: Ikke bare kan en agent vite at en annen agent vet et faktum, men de kan alle vite dette faktum samtidig. I en så utvidet epistemisk logikk er det mulig å uttrykke at noen agent i gruppen kjenner til et visst faktum at en agent vet at en annen agent vet et faktum osv. Det er mulig å utvikle logikken ytterligere: Ikke bare kan en agent vite at en annen agent vet et faktum, men de kan alle vite dette faktum samtidig.

3.1 Språk og modeller med flere agenter

For å representere kunnskap for et sett (mathcal {A}) av n agenter, la oss først angi et språk. La (mathcal {L} _ {Kn}) gis av Backus-Naur-skjemaet

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {i} varphi \, / text {for} p / in / textit {Atom}, i / in / mathcal {A}.)

For å representere kunnskap for alle n agenter i fellesskap i spisse Kripke-modeller, er alt som trengs å legge til mange relasjoner:

Definisjon: En spiss Kripke-modell for (mathcal {L} _ {Kn}) er en tuple ((M, w) = (W, {R_ {i} } _ {i / in / mathcal { A}}, V, w)) hvor

  • W er et ikke-tomt sett med mulige verdener,
  • For hver (i / i / matematisk {A}) er (R_ {i}) et binært forhold på W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) er en verdivurdering, og
  • (w / i W).

For også å inkludere oppfatninger, bruk ganske enkelt det samme trekket som i saken med en enkelt agent: Øk språket og la det være to relasjoner for hver agent.

Definisjonen bruker en familie av relasjoner ({R_ {i} } _ {i / in / mathcal {A}}). I litteraturen er det samme betegnet ((W, R_ {i}, V, w) _ {i / in / mathcal {A}}). Alternativt anses R for å være en funksjon som sender agenter til relasjoner, dvs. (R: / mathcal {A / rightarrow} mathcal {P} (W / ganger W)). For hver (i / i / matematisk {A}), er (R (i)) en relasjon til W, ofte betegnet (R_ {i}). Dette er stilistiske valg.

Når man bare vurderer en enkelt agent, er det vanligvis ikke aktuelt å inkludere flere verdener i W enn det er mulige verdivurderinger av atomer. I tilfeller med flere agenter er dette ikke tilfelle: for å uttrykke de forskjellige former for tilgjengelig kunnskap av høyere orden, er det behov for mange eksemplarer av "den samme" verden. La oss eksemplifisere for (mathcal {A} = {a, b }), (textit {Atom} = {p }) og hver (R_ {i}, i / in / matematisk {A},) et ekvivalensforhold. La oss representere at både a og b kjenner p, men b vet ikke at a kjenner p, dvs. (K_ {a} p / kil K_ {b} p / kil / neg K_ {b} K_ {a} p). Da trenger vi tre verdener:

Tre bokser merket w1 (inneholder 'p'), w2 (inneholder 'p'), og w3 (inneholder 'ikke p'). Hver boks har en pil merket 'a, b' som går tilbake til den. w1 er uthevet og er koblet til w2 med en dobbel ledet pil merket 'b'. w2 er koblet til w3 av en dobbeltpilt merket 'a'
Tre bokser merket w1 (inneholder 'p'), w2 (inneholder 'p'), og w3 (inneholder 'ikke p'). Hver boks har en pil merket 'a, b' som går tilbake til den. w1 er uthevet og er koblet til w2 med en dobbel ledet pil merket 'b'. w2 er koblet til w3 av en dobbeltpilt merket 'a'

Hvis vi prøver å la (w_ {1}) spille rollen som (w_ {2}), ville a miste kunnskapen i p: begge p-verdener er nødvendig. Generelt, hvis W antas å ha noen fast, begrenset størrelse, vil det være en informasjonsformel med høyere orden som ikke kan tilfredsstilles i den.

3.2 Begrep om gruppekunnskap

Multi-agent systemer er interessante av andre grunner enn å representere informasjon med høyere orden. De enkelte agenters informasjon kan også samles for å fange opp hva agentene vet i fellesskap, som gruppekunnskap (se Baltag, Boddy, & Smets 2018 for en nylig diskusjon). En standard forestilling er at denne stilen er distribuert kunnskap: Kunnskapen gruppen ville hatt hvis agentene deler all sin individuelle kunnskap. For å representere det, øker du språket (mathcal {L} _ {Kn}) med operatørene

[D_ {G} text {for} G / subseteq / mathcal {A},)

for å gjøre (D_ {G} varphi) til en velformet formel. Der (G / subseteq / mathcal {A}) er en gruppe agenter, lyder formelen (D_ {G} varphi) at det er distribuert kunnskap i gruppen G som (varphi).

For å evaluere (D_ {G} varphi) definerer vi en ny relasjon fra de som allerede er til stede i modellen. Tanken bak definisjonen er at hvis en agent har eliminert en verden som et epistemisk alternativ, så vil også gruppen gjøre det. Definer forholdet som skjæringspunktet mellom de enkelte agenters forhold:

[R_ {G} ^ {D} = / bigcap_ {i / i G} R_ {i})

I tre-tilstandsmodellen inneholder (R_ {G} ^ {D}) bare de tre løkkene. For å evaluere en distribuert kunnskapsformel, bruk samme skjema som for andre modale operatører:

[(M, w) vDash D_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {for alle} w' / i W / tekst {slik at} wR_ {G } ^ {D} w'.)

Det kan være sånn at en meget kjennende agent vet alt som er distribuert kunnskap i G, men det er ikke garantert. For å fange opp at alle agentene vet (varphi), kan vi bruke sammenhengen av formlene (K_ {i} varphi) for (in / matematisk {A}), dvs. (bigwedge_ {i / i / mathcal {A}} K_ {i} varphi). Dette er en veldefinert formel hvis (mathcal {A}) er begrenset (som det vanligvis er). Hvis (mathcal {A}) ikke er begrenset, er (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) ikke en formel i (mathcal {L} _ {Kn}), da det bare har endelige konjunksjoner. Som en korthet for (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi), er det standard å introdusere alle som kjenner operatøren, (E_ {G}):

[E_ {G} varphi:. = / Bigwedge_ {i / i / mathcal {A}} K_ {i} varphi)

I den tre verdensmodellen, (K_ {a} p / kilen K_ {b} p), så (E _ { {a, b }} p).

At alle vet noe, betyr ikke at kunnskapen deles mellom medlemmene i gruppen. De tre verdensmodellene eksemplifiserer dette: Skjønt (E _ { {a, b }} p), er det også tilfelle at (neg K_ {b} E _ { {a, b }} p).

For å fange at det ikke er noen usikkerhet i gruppen om (varphi) og heller ikke noe høyere orden usikkerhet om (varphi) er kjent av alle agenter, ingen formel på språket (mathcal {L} _ { Kn}) er nok. Vurder formelen

[E_ {G} ^ {k} varphi)

der (E_ {G} ^ {k}) er forkortelse for k iterasjoner av (E_ {G}) operatøren. For ingen naturlig tall k vil formelen (E_ {G} ^ {k} varphi) være nok: det kan være tilfelle at b ikke vet det! For å rette opp i denne situasjonen, kan man prøve

(Bigwedge_ {k / in / mathbb {N}} E_ {G} ^ {k} varphi)

men dette er ikke en formel da (mathcal {L} _ {Kn}) bare inneholder endelige konjunksjoner.

Selv om (E_ {G}) operatøren kan defineres på språket (mathcal {L} _ {Kn}), er derfor ikke en passende forestilling om allmenn kunnskap. For det må vi igjen definere en ny relasjon til modellen vår. Denne gangen er vi interessert i å fange at ingen anser (varphi) epistemisk mulig overalt. For å bygge forholdet tar vi derfor først unionen relasjonene til alle agentene i G, men dette er ikke helt nok: for å bruke standard modal semantisk klausul, må vi også kunne nå alle verdens i dette forholdet i et enkelt trinn. Derfor la

[R_ {G} ^ {C}: = / venstre (bigcup_ {i / i G} R_ {i} høyre) ^ {*})

hvor ((cdotp) ^ {*}) er operasjonen for å ta den transitive lukkingen. Hvis R er en relasjon, er ((R) ^ {*}) R pluss alle parene som mangler for å gjøre R til et transitivt forhold. Tenk på den tre verdensmodellen: Med forholdet (bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) kan vi nå (w_ {3}) fra (w_ {1}) i to trinn, ved å stoppe ved (w_ {2}). Med ((bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) ^ {*}), kan (w_ {3}) nås i ett trinn: Av den nylig lagt til transitive lenken fra (w_ {1}) til (w_ {3}).

For å representere vanlig kunnskap, utvider du Backus-Naur-formen til (mathcal {L} _ {Kn}) med operatørene

[C_ {G} text {for} G / subseteq / mathcal {A},)

for å gjøre (C_ {G} varphi) til en velformet formel. Evaluer slike formler med den semantiske klausulen

[(M, w) vDash C_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {for alle} w' / i W / tekst {slik at} wR_ {G } ^ {C} w'.)

Å variere egenskapene til tilgjengelighetsrelasjonene (R_ {1}, R_ {2}, / ldots, R_ {n}), som beskrevet ovenfor, resulterer i forskjellige epistemiske logikker. For eksempel bestemmes system K med felles kunnskap av alle rammer, mens system S4 med felles kunnskap bestemmes av alle refleksive og transitive rammer. Tilsvarende resultater kan oppnås for de gjenværende epistemiske logikkene (Fagin et al. 1995). For mer, se oppføringen om vanlig kunnskap.

4. Logisk allvitenskap

Den viktigste klagen mot tilnærmingen tatt av epistemiske logikere er at den er forpliktet til et overdrevent idealisert bilde av menneskelig resonnement. Kritikere har bekymret seg for at den relasjonelle semantikken i epistemisk logikk forplikter en til en lukkingsegenskap for en agents kunnskap som er utrolig kraftig gitt faktiske menneskelige resonneringsevner. Lukkeegenskapene gir opphav til det som har blitt kalt problemet med logisk allvitenskap:

Når en agent c kjenner alle formlene i et sett (Gamma) og A følger logisk fra (Gamma), så vet c også A.

Spesielt kjenner c alle teoremer (la (Gamma = / emptyset)), og kjenner alle logiske konsekvenser av en formel som agenten kjenner (la (Gamma) bestå av en enkelt formel). Bekymringen her er at begrensede midler begrenses av begrensninger på deres kognitive kapasitet og resonneringsevne. Beretningen om kunnskap og tro på at epistemisk logikk virker forpliktet til innebærer overmenneskelige evner som å kjenne til alle tautologiene. Bekymringen er altså at epistemisk logikk rett og slett ikke er egnet til å fange opp faktisk kunnskap og tro slik disse forestillingene figurerer i det vanlige menneskelivet.

Hintikka anerkjente et avvik mellom reglene for epistemisk logikk og måten verbet "å vite" vanligvis brukes allerede på de tidlige sidene om kunnskap og tro. Han påpekte det

det er helt klart utilgjengelig å utlede “han vet at q” fra “han vet at p” utelukkende på grunnlag av at q følger logisk fra p, for personen det gjelder kan ikke se at p innebærer q, spesielt hvis p og q er relativt kompliserte utsagn. (1962: 30-31)

Hintikkas første reaksjon på det som ble kalt problemet med logisk allvitenskap var å se avviket mellom vanlig bruk av begreper som “konsistens” og formelle behandlinger av kunnskap som indikerer et problem med vår ordinære terminologi. Hvis en person kjenner til aksiomene til en matematisk teori, men ikke er i stand til å oppgi de fjerne konsekvensene av teorien, nektet Hintikka at det er riktig å kalle den personen inkonsekvent. I vanlige menneskelige anliggender, hevdet Hintikka, har anklagen om inkonsekvens når den blir rettet mot en agent, konnotasjonen av å være irrasjonell eller uærlig. Fra Hintikkas perspektiv bør vi altså velge et annet begrep for å fange opp situasjonen til en som er rasjonell og mottagelig for overtalelse eller korreksjon, men ikke logisk allvitende. Non-allvitende,rasjonelle agenter kan være i stand til å si at “Jeg vet at p, men jeg vet ikke om q” selv i tilfelle q kan p. Han antyder da at q bør betraktes som forsvarlig gitt agentens kunnskap og benektelse av q bør betraktes som uforsvarlig. Dette valget av terminologi ble kritisert for så vidt det fester det pejorative uforsvarlige til et eller annet sett med proposisjoner, selv om feilen faktisk ligger i agentens kognitive kapasiteter (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).selv om feilen faktisk ligger i agentens kognitive kapasiteter (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).selv om feilen faktisk ligger i agentens kognitive kapasiteter (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).

Hintikkas tidlige epistemiske logikk kan forstås som en måte å resonnere på hva som er implisitt i en agents kunnskap, selv i tilfeller hvor agenten selv ikke er i stand til å bestemme hva som er implisitt. En slik tilnærming risikerer å bli overdreven idealisert, og dens relevans for å forstå menneskets epistemiske omstendigheter kan utfordres på disse grunnene.

Få filosofer var fornøyde med Hintikkas forsøk på å revidere vår ordinære bruk av begrepet “konsistent” slik han presenterte det i Kunnskap og tro. Imidlertid ga han og andre snart mer populære måter å håndtere logisk allvitenskap på. På 1970-tallet introduserte svarene på problemet med logisk allvitenskap semantiske enheter som forklarer hvorfor agenten ser ut til å være, men faktisk ikke er skyld i logisk allvitenskap. Hintikka kalte disse enhetene “umulige mulige verdener” (1979; se også oppføringen om umulige verdener og Jago 2014). Den grunnleggende ideen er at en agent feilaktig kan telle blant verdens i samsvar med kunnskapen, noen verdener som inneholder logiske motsetninger. Feilen er ganske enkelt et produkt av agentens begrensede ressurser;agenten kan ikke være i en posisjon til å oppdage motsetningen og kan feilaktig regne dem som ekte muligheter. På noen måter kan denne tilnærmingen forstås som en utvidelse av det nevnte svaret på logisk allvitenskap som Hintikka allerede hadde skissert i Kunnskap og tro.

I samme ånd introduseres enheter som kalles”tilsynelatende mulige” verdener av Rantala (1975) i hans urne-modellanalyse av logisk allvitenskap. Å tillate umulige mulige verdener eller tilsynelatende mulige verdener der den semantiske verdsettelsen av formlene er vilkårlig til en viss grad gir en måte å gjøre utseendet til logisk allvitenskap mindre truende. Når alt kommer til alt, på en hvilken som helst realistisk beretning fra epistemisk byrå, vil agenten sannsynligvis vurdere (om enn utilsiktet) verdener der logikkens lover ikke holder. Siden ingen virkelige epistemiske prinsipper holder bredt nok til å omfatte umulige og tilsynelatende mulige verdener, må noen betingelser brukes på epistemiske modeller slik at de samsvarer med epistemiske prinsipper (for kritikk av denne tilnærmingen se Jago 2007: 336-337).

Alternativt til å designe logikker der kunnskapsoperatørene ikke utviser logisk allvitenskap, tilbyr bevissthetslogikk et alternativ: Endre tolkningen av (K_ {a} varphi) fra "a vet at (varphi)" til "a vet implisitt at (varphi)”og tar eksplisitt kunnskap som (varphi) for å være implisitt kunnskap som (varphi) og bevissthet om (varphi). Med bevissthet ikke lukket under logisk konsekvens, tillater et slikt trekk forestillingen om eksplisitt kunnskap som ikke er logisk allvitende. Ettersom agenter verken trenger å beregne sin implisitte kunnskap, eller de kan holdes ansvarlige for å svare på spørsmål basert på den, er logisk allvitenskap bare problematisk for eksplisitt kunnskap, og problemet med logisk allvitenskap er dermed avverget. Selv om logisk allvitenskap er en epistemologisk tilstand for implisitt kunnskap,agenten selv kan faktisk ikke unnlate å innse denne tilstanden. For mer om bevissthetslogikk, se for eksempel seminal Fagin & Halpern (1987) eller Velazquez-Quesada (2011) og Schipper (2015) for oversikter.

Debatter om de ulike typer idealisering involvert i epistemisk logikk pågår i både filosofiske og tverrfaglige sammenhenger.

Bibliografi

  • Arló-Costa, Horacio, Vincent F. Hendricks, og Johan van Benthem (red.), 2016, Readings in Formal Epistemology, Cham: Springer International Publishing. doi: 10,1007 / 978-3-319-20451-2
  • Artemov, Sergei og Elena Nogina, 2005, “Introducing Justification into Epistemic Logic”, Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059–1073. doi: 10,1093 / logcom / exi053
  • Aucher, Guillaume, 2014, “Prinsipper for kunnskap, tro og betinget tro”, i tverrfaglige arbeider innen logikk, epistemologi, psykologi og lingvistikk: dialog, rasjonalitet og formalisme, Manuel Rebuschi, Martine Batt, Gerhard Heinzmann, Franck Lihoreau, Michel Musiol, og Alain Trognon (red.), Cham: Springer International Publishing, 97–134. doi: 10,1007 / 978-3-319-03044-9_5
  • Aumann, Robert J., 1976, “Enig å ikke være enig”, The Annals of Statistics, 4 (6): 1236–1239. Reprinted in Arló-Costa, Hendricks, and van Benthem 2016: 859–862. doi: 10.1214 / aos / 1176343654, doi: 10.1007 / 978-3-319-20451-2_40
  • Baltag, A., R. Boddy, og S. Smets, 2018, “Group Knowledge in Interrogative Epistemology”, i van Ditmarsch og Sandu 2018: 131–164. doi: 10,1007 / 978-3-319-62864-6_5
  • Baltag, Alexandru og Sonja Smets, 2008, “A Qualitative Theory of Dynamic Interactive Belief Revision”, i Logic and the Foundations of Game and Decision Theory (LOFT 7), G. Bonanno, W. van der Hoek, og M. Wooldridge (red.) (Tekster i logikk og spill, bind 3), Amsterdam: Amsterdam University Press, 9. – 58.
  • Benthem, Johan van, 2006, “Epistemic Logic and Epistemology: The State of They Affairs”, Philosophical Studies, 128 (1): 49–76. doi: 10,1007 / s11098-005-4052-0
  • –––, 2011, Logical Dynamics of Information and Interaction, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511974533
  • Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke, og Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9781107050884
  • Boër, Steven E. og William G. Lycan, 1986, Knowing Who, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Boh, Ivan, 1993, Epistemic Logic in the Later middelalder, (Theme in Medieval Philosophy), London / New York: Routledge.
  • Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Chisholm, Roderick M., 1963, “The Logic of Knowing”, The Journal of Philosophy, 60 (25): 773–795. doi: 10,2307 / 2022834
  • Ditmarsch, Hans van, Joseph Y. Halpern, Wiebe van der Hoek, og Barteld Kooi (red.), 2015, Handbook of Epistemic Logic, London: College Publications.
  • Ditmarsch, Hans van, Wiebe van der Hoek, og Barteld Kooi, 2007, Dynamic Epistemic Logic, Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10,1007 / 978-1-4020-5839-4
  • Ditmarsch, Hans van og Gabriel Sandu (red.), 2018, Jaakko Hintikka om kunnskap og spillteoretisk semantikk, (Fremragende bidrag til logikk, 12), Cham: Springer International Publishing. doi: 10,1007 / 978-3-319-62864-6
  • Fagin, Ronald og Joseph Y. Halpern, 1987, “Tro, bevissthet og begrenset begrunnelse”, kunstig intelligens, 34 (1): 39–76. doi: 10.1016 / 0004-3702 (87) 90003-8
  • Fagin, Ronald, Joseph Y. Halpern, Yoram Moses og Moshe Y. Vardi, 1995, Reasoning About Knowledge, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Gochet, Paul og Pascal Gribomont, 2006, “Epistemic Logic”, i Handbook of the Logic History, 7, Amsterdam: Elsevier, 99–195. doi: 10.1016 / S1874-5857 (06) 80028-2
  • Halpern, Joseph Y., 1996, “Bør kunnskap forsterke troen?”, Journal of Philosophical Logic, 25 (5): 483–494. doi: 10,1007 / BF00257382
  • Halpern, Joseph Y., Dov Samet og Ella Segev, 2009, “Definere kunnskap i form av tro: Det modale logiske perspektiv”, gjennomgangen av symbolsk logikk, 2 (3): 469–487. doi: 10,1017 / S1755020309990141
  • Halpern, Joseph Y. og Yoram Moses, 1984, "Kunnskap og felles kunnskap i et distribuert miljø", i fortsettelser av det tredje årlige ACM-symposiet om prinsipper for distribuert databehandling (PODC '84), Vancouver, British Columbia, Canada, ACM Press, 50–61. doi: 10,1145 / 800222,806735
  • Hendricks, Vincent F., 2005, Mainstream and Formal Epistemology, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511616150
  • Hendricks, Vincent F. og Rasmus K. Rendsvig, 2018, “Hintikkas kunnskap og tro på fluks”, i van Ditmarsch og Sandu 2018: 317–337. doi: 10,1007 / 978-3-319-62864-6_13
  • Hendricks, Vincent F. og John Symons, 2006, “Where's the Bridge? Epistemology and Epistemic Logic”, Philosophical Studies, 128 (1): 137–167. doi: 10,1007 / s11098-005-4060-0
  • Hintikka, Jaakko, 1962 [2005], Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions, andre utgave, Vincent F. Hendriks og John Symons (red.), (Texts in Philosophy, 1), London: College Publications.
  • –––, 1969, “Semantics for Propositionional Attitudes”, i Philosophical Logic, JW Davis, DJ Hockney, og WK Wilson (red.), Dordrecht: Springer Netherlands, 21–45. doi: 10,1007 / 978-94-010-9614-0_2
  • ––– 1978, “Impossible Possible Worlds Vindicated”, i Game-Theoretical Semantics, Esa Saarinen (red.) (SLAP 5), Dordrecht: Springer Netherlands, 367–379. doi: 10,1007 / 978-1-4020-4108-2_13
  • –––, 2007, “Epistemology without Knowledge and without Belief”, i Socratic Epistemology: Explorations of Knowledge-Siching by Questioning, Cambridge: Cambridge University Press, 11–37. doi: 10,1017 / CBO9780511619298.002
  • Hintikka, Jaakko og John Symons, 2003, “Systems of Visual Identification in Neuroscience: Lessons from Epistemic Logic”, Philosophy of Science, 70 (1): 89–104. doi: 10,1086 / 367871
  • Hocutt, Max O., 1972, “Er epistemisk logikk mulig?”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 13 (4): 433–453. doi: 10,1305 / ndjfl / 1093890705
  • Hoek, Wiebe van der, 1993, “Systems for Knowledge and Belief”, Journal of Logic and Computation, 3 (2): 173–195. doi: 10,1093 / logcom / 3.2.173
  • Holliday, Wesley H., 2018, “Epistemic Logic and Epistemology”, i Introduksjon til formell filosofi, Sven Ove Hansson og Vincent F. Hendricks (red.), Cham: Springer International Publishing, 351–369. doi: 10,1007 / 978-3-319-77434-3_17
  • Jago, Mark, 2007, “Hintikka og Cresswell on Logical Omniscience”, Logic and Logical Philosophy, 15 (4): 325–354. doi: 10,12775 / LLP.2006.019
  • –––, 2014, The Impossible: An Essay on Hyperintensionality, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780198709008.001.0001
  • Knuuttila, Simo, 1993, Modalities in Medieval Philosophy, (Theme in Medieval Philosophy), New York: Routledge.
  • Kraus, Sarit og Daniel Lehmann, 1986, “Kunnskap, tro og tid”, i Automata, språk og programmering, Laurent Kott (red.), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 186–195.
  • Kutschera, Franz von, 1976, Einführung i Die Intensionale Semantik, (De Gruyter Studienbuch: Grundlagen Der Kommunikation), Berlin / New York: De Gruyter.
  • Lehmann, Daniel, 1984, “Kunnskap, felles kunnskap og beslektede gåter (utvidet sammendrag)”, Fortsettelser av det tredje årlige ACM-symposiet om prinsipper for distribuert databehandling (PODC '84), 62–67. doi: 10,1145 / 800222,806736
  • Lenzen, Wolfgang, 1978, Recent Work in Epistemic Logic, (Acta Philosophica Fennica, 30), Amsterdam: North Holland Publishing Company.
  • –––, 1980, Glauben, Wissen Und Wannsynlichkeit: Systeme Der Epistemischen Logik, (Library of Exact Philosophy, 12), Wien: Springer.
  • Lewis, David K., 1969, Convention: A Philosophical Study, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Meyer, John-Jules Ch, 2001, “Epistemic Logic”, i Blackwell Guide to Philosophical Logic, Lou Goble (red.), Oxford: John Wiley & Sons, 183–202.
  • Meyer, John-Jules Ch. og Wiebe van der Hoek, 1995, Epistemic Logic for AI and Computer Science, (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 41), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Rantala, Veikko, 1975, “Urn Models: A New Type of Non-Standard Model for First Order Logic”, Journal of Philosophical Logic, 4 (4): 455–474. doi: 10,1007 / BF00558760
  • Rendsvig, Rasmus K., 2012, “Modelling Semantic Competence: A Critical Review of Freges Puzzle on Identity”, i Nye retninger innen logikk, språk og beregning, Daniel Lassiter og Marija Slavkovik (red.), Berlin / Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 140–157. doi: 10,1007 / 978-3-642-31467-4_10
  • Renne, Bryan, 2008, “Dynamic Epistemic Logic with Justification”, Ph. D. Avhandling, New York: City University of New York.
  • Schipper, Burkhard C., 2015, “Awareness”, i Ditmarsch et al. 2015: 77–146.
  • Stalnaker, Robert, 2006, “On Logics of Knowledge and Belief”, Philosophical Studies, 128 (1): 169–199. doi: 10,1007 / s11098-005-4062-y
  • Velazquez-Quesada Fernando Raymundo, 2011, “Små trinn i dynamikk av informasjon”, Ph. D. Avhandling, Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam.
  • Voorbraak, Franciscus Petrus Johannes Maria, 1993, "Så vidt jeg vet: Epistemisk logikk og usikkerhet", Ph. D. Avhandling, Institutt for filosofi, Utrecht University.
  • Wang, Yanjing, 2015, “A Logic of Knowing How”, in Logic, Rationalality and Interaction, Wiebe van der Hoek, Wesley H. Holliday, and Wen-fang Wang (eds.), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 392-405. doi: 10,1007 / 978-3-662-48561-3_32
  • –––, 2018, “Beyond Knowing That: A New Generation of Epistemic Logics”, i van Ditmarsch og Sandu 2018: 499–533. doi: 10,1007 / 978-3-319-62864-6_21
  • Williamson, Timothy, 2000, Knowledge and Its Limits, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / 019925656X.001.0001
  • Wright, Georg Henrik von, 1951, An Essay in Modal Logic, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics), Amsterdam: North-Holland Publishing Company.

Akademiske verktøy

september mann ikon
september mann ikon
Hvordan sitere denne oppføringen.
september mann ikon
september mann ikon
Forhåndsvis PDF-versjonen av denne oppføringen hos Friends of the SEP Society.
inpho-ikonet
inpho-ikonet
Slå opp dette emnet på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi for denne oppføringen på PhilPapers, med lenker til databasen.

Andre internettressurser

  • Hintikka's World, et grafisk, pedagogisk verktøy for å lære om epistemisk logikk, høyere orden resonnement og kunnskapsdynamikk.
  • Modal Logic Playground, et grafisk grensesnitt for tegning og evaluering av formler for modal proposisjonell logikk.
  • Hendricks, Vincent og John Symons, “Epistemic Logic”, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2019 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = . [Dette var den forrige oppføringen om dette emnet i Stanford Encyclopedia of Philosophy - se versjonshistorien.]

Anbefalt: