Fremveksten Av Førsteordens Logikk

Innholdsfortegnelse:

Fremveksten Av Førsteordens Logikk
Fremveksten Av Førsteordens Logikk

Video: Fremveksten Av Førsteordens Logikk

Video: Fremveksten Av Førsteordens Logikk
Video: Logikk 9 - Førsteordens språk 2024, Mars
Anonim

Inngangsnavigasjon

  • Inngangsinnhold
  • Bibliografi
  • Akademiske verktøy
  • Venner PDF forhåndsvisning
  • Forfatter og sitatinfo
  • Tilbake til toppen

Fremveksten av førsteordens logikk

Først publisert lørdag 17. november 2018

For alle som er skolert i moderne logikk, kan førsteordens logikk virke som et helt naturlig gjenstand for studier, og dens funn uunngåelig. Den er semantisk komplett; det er tilstrekkelig til aksiomatiseringen av all vanlig matematikk; og Lindströms teorem viser at det er den maksimale logikken som tilfredsstiller kompaktheten og Löwenheim-Skolem-egenskapene. Så det er ikke overraskende at førsteordens logikk lenge har blitt sett på som den "rette" logikken for undersøkelser i grunnlaget for matematikk. Det inntar den sentrale plassen i moderne lærebøker av matematisk logikk, med andre systemer relatert til sidelinjen. Historien er imidlertid alt annet enn grei, og er absolutt ikke et spørsmål om en plutselig oppdagelse av en eneste forsker. Fremveksten er bundet opp av tekniske funn, med forskjellige forestillinger om hva som utgjør logikk,med forskjellige programmer for matematisk forskning, og med filosofisk og konseptuell refleksjon. Så hvis førsteordens logikk er "naturlig", er den naturlig bare i ettertid. Historien er intrikat, og på punkter som er omstridt; følgende oppføring kan bare gi en oversikt. Diskusjoner om ulike aspekter av utviklingen er gitt av Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, notatene til Hilbert [LFL], og leksikonhåndbok Gabbay & Woods 2009. Diskusjoner om ulike aspekter av utviklingen er gitt av Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, notatene til Hilbert [LFL], og leksikonhåndbok Gabbay & Woods 2009. Diskusjoner om ulike aspekter av utviklingen er gitt av Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, notatene til Hilbert [LFL], og leksikonhåndbok Gabbay & Woods 2009.

  • 1. George Boole
  • 2. Charles S. Peirce
  • 3. Gottlob Frege
  • 4. Ernst Schröder
  • 5. Giuseppe Peano
  • 6. Alfred North Whitehead og Bertrand Russell
  • 7. Leopold Löwenheim
  • 8. David Hilbert og Paul Bernays
  • 9. Thoralf Skolem
  • 10. Kurt Gödel
  • 11. Konklusjoner
  • Bibliografi
  • Akademiske verktøy
  • Andre internettressurser
  • Relaterte oppføringer

1. George Boole

Den moderne studien av logikk er ofte datert til 1847, med utseendet til Booles matematiske analyse av logikk. Dette arbeidet slo fast at Aristoteles 'syllogistiske logikk kan oversettes til en algebraisk beregning, hvis symboler Boole tolket som enten refererer til klasser eller til proposisjoner. Systemet hans omfatter det som i dag kalles sentensiell (eller boolsk) logikk, men det er også i stand til å uttrykke rudimentære kvantifiseringer. For eksempel er proposisjonen "Alle X er Ys" representert i systemet hans av ligningen (xy = x), der multiplikasjonen blir tenkt på enten som et skjæringspunkt mellom sett, eller som logisk forbindelse. “Noen X-er er Y-er” er vanskeligere, og uttrykket mer kunstig. Boole introduserer et (stilltiende: ikke-tomt) sett V som inneholder gjenstandene som er felles for X og Y;proposisjonen blir deretter skrevet (xy = V) (1847: 21). Booles system kan i moderne termer sees på som et fragment av monadisk førsteordens logikk. Det er første orden fordi dets notasjonsressurser ikke kan uttrykke en kvantifisering som spenner over predikater. Det er monadisk fordi det ikke har noen notasjon for n -ary relasjoner. Og det er et fragment fordi det ikke kan uttrykke nestede kvantifiseringer ("for hver jente, det finnes en gutt som elsker henne"). Men dette er kategoriene våre: ikke Boole's. Hans logiske system har ingen symboler som tilsvarer kvantifikatorene; så selv å kalle det et begrenset system med kvantifiseringslogikk er anakronistisk. Det er monadisk fordi det ikke har noen notasjon for n -ary relasjoner. Og det er et fragment fordi det ikke kan uttrykke nestede kvantifiseringer ("for hver jente, det finnes en gutt som elsker henne"). Men dette er kategoriene våre: ikke Boole's. Hans logiske system har ingen symboler som tilsvarer kvantifikatorene; så selv å kalle det et begrenset system med kvantifiseringslogikk er anakronistisk. Det er monadisk fordi det ikke har noen notasjon for n -ary relasjoner. Og det er et fragment fordi det ikke kan uttrykke nestede kvantifiseringer ("for hver jente, det finnes en gutt som elsker henne"). Men dette er kategoriene våre: ikke Boole's. Hans logiske system har ingen symboler som tilsvarer kvantifikatorene; så selv å kalle det et begrenset system med kvantifiseringslogikk er anakronistisk.

De to viktigste utvidelsene til Booles system som produserte en gjenkjennelig moderne logikk var (a) introduksjonen, i tillegg til ett plasserte predikater (“x er dødelig”), av mange plasserte forhold (“x er broren til y”; “X ligger mellom y og z”); og (b) innføring av en notasjon for universell og eksistensiell kvantifisering.

To logikere som arbeidet i den boolske tradisjonen, utførte disse trinnene. Det første trinnet ble delvis utført av Augustus De Morgan (i De Morgan 1864). Den andre ble utført av CS Peirce (i Peirce 1885). Arbeidende helt uavhengig, Gottlob Frege gjennomførte begge trinnene samtidig i sin Begriffsschrift fra 1879. Den påfølgende historien i flere tiår er en forgreningsstruktur, med mange forskere som arbeider i forskjellige tradisjoner og bare delvis klar over hverandres prestasjoner.

2. Charles S. Peirce

Peirce arbeidet i den algebraiske tradisjonen til Boole. Hans første logikkpapirer dukket opp i 1867; de forenkler Booles system, tolker omforening eller logisk tillegg (A + B) slik at det også gjelder når A og B ikke er usammenhengende, korrigerer flere feil og utforsker forbindelser mellom logikk, aritmetikk og algebra.

Tre år senere produserte Peirce i sin “Description of a Notation for the Logic of relative” (1870) en stor utvidelse av Booles system. De Morgan hadde påpekt (De Morgan 1864) at den aristoteliske syllogistikken ikke var i stand til å håndtere slike slutninger som: "Hvis alle mennesker er et dyr, så er hvert hode av et menneske et hode av et dyr". De Morgan hadde introdusert en logikk av forhold, definert det omvendte og det motsatte av en relasjon, og for forhold som “X er en elsker av Y” og “Z er en tjener av W”, hadde utforsket slike sammensetninger av relasjoner som “X er kjæresten til en tjener av y”. Dette arbeidet utvidet vellykket den aristoteliske syllogistiske logikken, men var også begrenset på flere måter. For det første opererte De Morgan bare med binære relasjoner. For det andre var notasjonen hans klønete. (For eksempel:Hvis (X / pdot / pdot LY) utpeker at X er en elsker av Y, så betegner (X / pdot LY) at X ikke er en elsker av Y. De Morgan har ikke noe eget tegn på negering, og heller ikke for de boolske proposisjonelle tilkoblingene.)

Peirce la merke til disse manglene, og viste i 1870 hvordan man utvider Booles logikk til å dekke

hele den formelle logikkens rike, i stedet for å være begrenset til den enkleste og minst nyttige delen av emnet, logikken med absolutte vilkår, som da [Boole] skrev, var den eneste kjente formelle logikken.

Han studerte sammensetningen av forholdet til hverandre og med klassebetingelser, og arbeidet ut de viktigste lovene for det resulterende abstrakte algebraiske systemet, og til slutt viste at de lineære assosiative algebraene som ble studert av faren hans (Benjamin Peirce, Harvard-matematikeren) alle kunne være definert i form av det han kalte “elementære slektninger”. Hans system fra 1870, selv om det er et stort fremskritt både på Boole og på De Morgan, forblir notasjonsmessig vanskelig, og i ettertid er det tydelig at det trengte kvantifiseringsteorien. Men det var det første vellykkede forsøket på å utvide Booles system til relasjonens logikk.

I 1880 beskrev Peirce prosedyren for å redusere formler for sentensiell kalkulus til konjunktiv og disjunktiv normalform, og demonstrerte også i upublisert arbeid at den sentensielle kalkulus kan fås fra den eneste forbindelsesleddet til leddnektelse (“verken p eller q”). Hans 1881, "On the Logic of Number", undersøkte grunnlaget for aritmetikk og analyserte de naturlige tallene i form av diskrete, lineært ordnede sett uten et maksimalt element. Han ga uformelle rekursive definisjoner av addisjon og multiplikasjon, og beviste at begge operasjonene var assosiative og kommutative.

I to bemerkelsesverdige artikler, den korte notisen 1883 og den lengre “On the Algebra of Logic” fra 1885, introduserte han en moderne notasjon for det han var den første som kalte “kvantifisereren”. Han så på kvantifisererne hans (som han brukte symbolene (Pi) og (Sigma)) som en generalisering av de boolske tilkoblingene, hvor den universelle kvantifisereren (Pi) ble tolket som et (muligens uendelig)) sammenheng, slik at (Pi_x P (x)) blir forstått som “a er P og b er P og c er P og…”. Tilsvarende forstås den eksistensielle kvantifisereren (Sigma) som en (muligens uendelig) sum: "a er P eller b er P eller c er P eller …". Denne fleksible noteringen (Pi) og (Sigma) la ham lett til å uttrykke nestede kvantifiseringer til ønsket dybde. I notasjonen hans, hvis (l_ {ij}) representerer "jeg er en elsker av j",(Sigma_i / Sigma_j) (l_ {ij}) forteller oss at noen elsker noen, mens (Pi_i / Sigma_j) (l_ {ij}) forteller oss at alle elsker noen. (Noteringen (Sigma) og (Pi) er selvfølgelig ment i en boolsk ånd å understreke analogien til aritmetiske summer og produkter.)

“On the Algebra of Logic” er også av andre grunner bemerkelsesverdig. Det begynner med en viktig passasje (§2) om proposisjonsberegningen, som inneholder den første eksplisitte bruken av to sannhetsverdier. Peirce beskriver deretter en beslutningsprosedyre for beregningen:

[T] o Finn ut om en formel nødvendigvis er ekte erstatning (mathbf {f}) og (mathbf {v}) for bokstavene, og se om den kan antas å være falsk ved en slik tildeling av verdier. (1885: 191)

Han gir et forsvar for materiell implikasjon, og viser hvordan man kan definere negasjon når det gjelder implikasjon og et spesielt symbol for absurditet. I det neste avsnittet (§3) behandler han det han kaller, etter skolemennene, den”første intensjonelle logikken om forhold”. Det er her han mynter begrepet “kvantifiserer”; den proposisjonelle matrisen med en kvantifisert formel han kaller dens "Boolian". I dette avsnittet varierer kvantifisererne bare over individene i universet; den "første intensjonelle logikken" er således førsteordens. Også her var han den første som diskuterte reglene for å omdanne en kvantifisert formel til normal normalform. Følgende avsnitt (§4) har overskriften "annen intensjonell logikk". Det er en klar avgrensning fra den første intensjonelle logikken i §3. Her får kvantifisererne lov til å variere over predikater;og han bruker sin nye notasjon for å oppgi den moderne andreordens definisjon av identitet: to objekter er identiske i tilfelle de tilfredsstiller de samme predikatene.

Peirces papir var på mange måter langt foran sin tid. Hans skarpe skille mellom proposisjonelle, først-intensjonelle og andre-intensjonelle logiske systemer ble ikke sammenlignet med klarhet før Hilbert i forelesningene fra 1917/18. Peirce var også presisient når han så på kvantifisererne som (muligens uendelige) summer og produkter, en notasjon som Löwenheim skulle kreditere for å muliggjøre oppdagelsen av Löwenheim-Skolem teorem, og som skulle spille en viktig rolle i formuleringen av Hilberts bevis -teoretisk program på 1920-tallet. (Peirces logiske ideer var velkjente på det kontinentale Europa, etter å ha blitt tatt opp av Ernst Schröder og gitt bred sirkulasjon i de tre bindene i hans Algebra der Logik (1890–95).)

Peirce trakk disse forskjellige distinksjonene - og spesielt skillet mellom førsteordens og andreordens logikk - med større klarhet enn noen logiker frem til Hilberts forelesninger i 1917. Og i motsetning til Hilbert, var Peirce gjennomsyret av de middelalderske logikernes skrifter. Han satte full pris på den filosofiske betydningen av argumentene om universalenes virkelighet: dette er helt klart hvorfor han trakk en så skarp differensiering mellom logikken i §2 og den i §3. Det var dermed åpent for ham å lage (eller i det minste å vurdere) et nominalistisk argument på vegne av førsteordens logikk, og mot annenordens logikk. Men bortsett fra noen få tilfeldige kommentarer, utviklet han selv ikke ytterligere observasjonene sine om annenhensiktsmessig logikk,og det virker sannsynlig at det moderne skillet mellom førsteordens og høyere ordens logikk var en gjenoppdagelse som ble gjort uavhengig i 1917/18 av Hilbert, i stedet for å bli direkte inspirert av Peirce.

3. Gottlob Frege

Freges logiske bidrag vokste ut av en annen jord, og ble laget (så langt det er bestemt) helt uavhengig av den anglo-amerikanske algebraiske tradisjonen til Boole, De Morgan og Peirce. I stedet har de sin rot i arbeidet med grunnlaget for reell analyse av så tyske matematikere som Dirichlet, Riemann, Weierstrass og Heine. Fra denne tradisjonen tok Frege først ideen om å gi et strengt grunnlag for matematikk (et prosjekt som i hans hender ble prosjektet til å vise at aritmetikk kan forankres i logikkens lover); og for det andre de sentrale matematiske begrepene funksjon og variabel, som han benyttet seg av i stedet for de aristoteliske begrepene predikat og subjekt. Dette sistnevnte trinn førte ham naturlig til en logikk i relasjoner (siden funksjonene som ble vurdert i matematikk var multivariate);og hans analyse av matematisk inferens førte også til at han introduserte en notasjon for kvantifiseringslogikk. (Matematikere som Weierstrass var i sin analyse av grensebegrepet allerede følsomme for "hekkingen" av kvantifiserere, og viktigheten av deres rekkefølge: til forskjellen, for eksempel mellom å si "for hvert (varepsilon) det eksisterer et (delta)”, og" det eksisterer en (delta) slik at for alle (varepsilon). "Det som krevdes nå, og det Frege leverte, var et formelt språk for å uttrykke og gjør eksplisitt de kvantifiserende slutninger som allerede var til stede i arbeidet til de tyske analytikerne.) Så, på et enkelt slag, i Begriffsschrift fra 1879, tok Frege de to store skritt utover tradisjonelle logiske forhold og kvantifiserere - som den algebraiske tradisjonen hadde tatt hver for seg og tiår fra hverandre.

Freges logiske system hadde flere fordeler i forhold til Peirce. Hans aksiomatiske presentasjon av en rent syntaktisk beregning var betydelig mer presis, og hans analyse av tallbegrepet gikk dypere. Systemet hans tillot både variabler og funksjoner å bli kvantifisert. Dette var en sentral komponent i programmet hans for å gi et logisk grunnlag for aritmetikk, siden i hans logiske system ble identitet, kardinalnummer og matematisk induksjon alle definert via høyere ordens kvantifiseringer. I sin Grundlagen (1884) skiller han mellom begreper med ulik orden, slik at hvis konsept A faller inn under konsept B, så er B av”annenorden” (§53). I den mer tekniske behandlingen i Grundgesetze (1893) vurderte han tredje ordens kvantifiseringer, selv om hans faktiske avledning av aritmetikk foregikk helt innenfor annenordens logikk.

Frege var dermed en av de første logikerne som anerkjente viktigheten av et hierarki av logiske nivåer. Hans oppdagelse var praktisk talt samtidig med Peirces, og nådde helt uavhengig i jakten på forskjellige mål. Freges oppdagelse skulle få større innvirkning. Det dannet grunnlaget for Russells teori om typer (og også tiår senere påvirket Carnap, som studerte logikk hos Frege).

Men selv om Frege skilte mellom logiske nivåer, isolerte han ikke den delen av sitt kvantifiseringssystem som bare strekker seg over variabler av den første ordenen som et distinkt system av logikk: det ville heller ikke vært naturlig for ham å ha gjort det. I denne forbindelse er det en betydelig kontrast med Peirce. Freges prosjekt var å vise at aritmetikk kunne forankres i logikkens lover: for ham var det bare en logikk, og logikken inkluderte nødvendigvis logikken til konsepter av høyere orden. Peirce, derimot, avviste forestillingen om en enkelt, overbogen logikk, i stedet tenkte i form av logikk som varierer i henhold til “diskursens univers”. I stor grad av denne grunn kom han nærmere i sin artikkel fra 1885 til å isolere proposisjonsberegningen, "logikken i den første intensjonen" og "den andre intensjonens logikk" som distinkte systemer,hver studie som er verdig å studere i sin egen rett: I den forbindelse var han nærmere moderne forestillinger enn Frege. Det er en ytterligere og subtilere forskjell. Peirces (Sigma) og (Pi) notasjon for kvantifisererne ble eksplisitt tenkt ut i form av (muligens uendelig) konjunksjoner og disjunksjoner av proposisjoner om individer. Dette er en meget suggererende oppfatning som det er vanskelig å representere i Freges notasjonssystem. Löwenheim skulle utnytte det i sitt tidlige arbeid innen modellteori, noe som førte til tekniske funn som til slutt skulle vekke oppmerksomhet til førsteordens logikk. Men alt dette arbeidet lå flere tiår i fremtiden, og verken Frege eller Peirce kan godskrives en moderne forståelse av forskjellen mellom førsteordens og høyere ordens logikk.han var nærmere moderne forestillinger enn Frege. Det er en ytterligere og subtilere forskjell. Peirces (Sigma) og (Pi) notasjon for kvantifisererne ble eksplisitt tenkt ut i form av (muligens uendelig) konjunksjoner og disjunksjoner av proposisjoner om individer. Dette er en meget suggererende oppfatning som det er vanskelig å representere i Freges notasjonssystem. Löwenheim skulle utnytte det i sitt tidlige arbeid innen modellteori, noe som førte til tekniske funn som til slutt skulle vekke oppmerksomhet til førsteordens logikk. Men alt dette arbeidet lå flere tiår i fremtiden, og verken Frege eller Peirce kan godskrives en moderne forståelse av forskjellen mellom førsteordens og høyere ordens logikk.han var nærmere moderne forestillinger enn Frege. Det er en ytterligere og subtilere forskjell. Peirces (Sigma) og (Pi) notasjon for kvantifisererne ble eksplisitt tenkt ut i form av (muligens uendelig) konjunksjoner og disjunksjoner av proposisjoner om individer. Dette er en meget suggererende oppfatning som det er vanskelig å representere i Freges notasjonssystem. Löwenheim skulle utnytte det i sitt tidlige arbeid innen modellteori, noe som førte til tekniske funn som til slutt skulle vekke oppmerksomhet til førsteordens logikk. Men alt dette arbeidet lå flere tiår i fremtiden, og verken Frege eller Peirce kan godskrives en moderne forståelse av forskjellen mellom førsteordens og høyere ordens logikk. Peirces (Sigma) og (Pi) notasjon for kvantifisererne ble eksplisitt tenkt ut i form av (muligens uendelig) konjunksjoner og disjunksjoner av proposisjoner om individer. Dette er en meget suggererende oppfatning som det er vanskelig å representere i Freges notasjonssystem. Löwenheim skulle utnytte det i sitt tidlige arbeid innen modellteori, noe som førte til tekniske funn som til slutt skulle vekke oppmerksomhet til førsteordens logikk. Men alt dette arbeidet lå flere tiår i fremtiden, og verken Frege eller Peirce kan godskrives en moderne forståelse av forskjellen mellom førsteordens og høyere ordens logikk. Peirces (Sigma) og (Pi) notasjon for kvantifisererne ble eksplisitt tenkt ut i form av (muligens uendelig) konjunksjoner og disjunksjoner av proposisjoner om individer. Dette er en meget suggererende oppfatning som det er vanskelig å representere i Freges notasjonssystem. Löwenheim skulle utnytte det i sitt tidlige arbeid innen modellteori, noe som førte til tekniske funn som til slutt skulle vekke oppmerksomhet til førsteordens logikk. Men alt dette arbeidet lå flere tiår i fremtiden, og verken Frege eller Peirce kan godskrives en moderne forståelse av forskjellen mellom førsteordens og høyere ordens logikk. Löwenheim skulle utnytte det i sitt tidlige arbeid innen modellteori, noe som førte til tekniske funn som til slutt skulle vekke oppmerksomhet til førsteordens logikk. Men alt dette arbeidet lå flere tiår i fremtiden, og verken Frege eller Peirce kan godskrives en moderne forståelse av forskjellen mellom førsteordens og høyere ordens logikk. Löwenheim skulle utnytte det i sitt tidlige arbeid innen modellteori, noe som førte til tekniske funn som til slutt skulle vekke oppmerksomhet til førsteordens logikk. Men alt dette arbeidet lå flere tiår i fremtiden, og verken Frege eller Peirce kan godskrives en moderne forståelse av forskjellen mellom førsteordens og høyere ordens logikk.

4. Ernst Schröder

Freges bidrag ble ikke umiddelbart forstått eller verdsatt, og i århundrets avsluttende tiår ble logikken dominert av de tre bindene i Ernst Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik (1890–95). Schröder ga en leksikonisk behandling av det logiske arbeidet til Boole og Peirce, og systematiserte og utvidet resultatene. Peirces kvantifiserere gjør seg gjeldende i bind to, men skillet mellom første- og andreordens kvantifisering trekkes ikke med sammenlignbar klarhet. Som Frege påpekte i sin anmeldelse (1895), skilte Schrøders notasjon ikke settmedlemskap fra undergruppeforholdet, og som et resultat kan det være vanskelig å se om han har til hensikt en gitt kvantifisering å strekke seg over undergruppene til et domene (dvs. å være andreordens) eller over dens elementer (dvs. å være første-orden). Schröder benytter seg av både andreordens og førsteordens kvantifiseringer; og i sitt tredje bind brukte han teknikken for å utvide en andreordens kvantifisering til et uendelig produkt av førsteordens kvantifiseringer - en teknikk som var en utvikling av Peircian-produktnotasjonen, og som var å gi utgangspunktet for undersøkelsene av Löwenheim. Men Schröder trekker ikke ut fra sitt bredere system et undersystem med førsteordens logikk, og behandler ikke skillet mellom ordener som seg selv av stor betydning, verken matematisk eller filosofisk. Sånn sett er han mindre tydelig enn Peirces papir fra 1885. (En nyttig analyse av Schröders logiske arbeid er inneholdt i Brady 2000.)og i sitt tredje bind brukte han teknikken for å utvide en andreordens kvantifisering til et uendelig produkt av førsteordens kvantifiseringer - en teknikk som var en utvikling av Peircian-produktnotasjonen, og som var å gi utgangspunktet for undersøkelsene av Löwenheim. Men Schröder trekker ikke ut fra sitt bredere system et undersystem med førsteordens logikk, og behandler ikke skillet mellom ordener som seg selv av stor betydning, verken matematisk eller filosofisk. Sånn sett er han mindre tydelig enn Peirces papir fra 1885. (En nyttig analyse av Schröders logiske arbeid er inneholdt i Brady 2000.)og i sitt tredje bind brukte han teknikken for å utvide en andreordens kvantifisering til et uendelig produkt av førsteordens kvantifiseringer - en teknikk som var en utvikling av Peircian-produktnotasjonen, og som var å gi utgangspunktet for undersøkelsene av Löwenheim. Men Schröder trekker ikke ut fra sitt bredere system et undersystem med førsteordens logikk, og behandler ikke skillet mellom ordener som seg selv av stor betydning, verken matematisk eller filosofisk. Sånn sett er han mindre tydelig enn Peirces papir fra 1885. (En nyttig analyse av Schröders logiske arbeid er inneholdt i Brady 2000.)Men Schröder trekker ikke ut fra sitt bredere system et undersystem med førsteordens logikk, og behandler ikke skillet mellom ordener som seg selv av stor betydning, verken matematisk eller filosofisk. Sånn sett er han mindre tydelig enn Peirces papir fra 1885. (En nyttig analyse av Schröders logiske arbeid er inneholdt i Brady 2000.)Men Schröder trekker ikke ut fra sitt bredere system et undersystem med førsteordens logikk, og behandler ikke skillet mellom ordener som seg selv av stor betydning, verken matematisk eller filosofisk. Sånn sett er han mindre tydelig enn Peirces papir fra 1885. (En nyttig analyse av Schröders logiske arbeid er inneholdt i Brady 2000.)

5. Giuseppe Peano

I sin 1889 introduserte Giuseppe Peano, uavhengig av Peirce og Frege, en notasjon for universell kvantifisering. Hvis a og b er proposisjoner med de gratis variablene (x, y, / ldots), symboliserte (a / mathbin { revc_ {x, y, / ldots}} b): Uansett (x, y, / ldots), kan være, fra proposisjonen en trekker ut b. Man nøler med å kalle dette en notasjon for den universelle kvantifisereren, siden kvantifiseringen ikke kan skilles fra tegnet for materiell implikasjon: notativt er dette et betydelig skritt bakover fra Peirce. Peano skiller dessuten ikke første-orden fra andre-ordens kvantifisering. Poenget med essayet hans var å presentere prinsippene for aritmetikk i logisk symbolikk, og hans formulering av prinsippet om matematisk induksjon kan av lysene våre sees som andreordens: men bare stilltiende. Dette var et skille som han (igjen i motsetning til Peirce) ikke synes å ha lagt noen betydning. Han la imidlertid til en rekke nye symboler til matematisk logikk som skulle være innflytelsesrik på arbeidet til Whitehead og Russell i Principia Mathematica; og et av symbolene var notasjonen (exist) for den eksistensielle kvantifisereren. (Merkelig nok innførte Peano ikke et parallelt symbol for den universelle kvantifisereren. Det ser ut til å ha vært Whitehead som introduserte ((x)) -notasjonen i Principia, og Hilbert som introduserte symbolet (forall).)(Merkelig nok innførte Peano ikke et parallelt symbol for den universelle kvantifisereren. Det ser ut til å ha vært Whitehead som introduserte ((x)) -notasjonen i Principia, og Hilbert som introduserte symbolet (forall).)(Merkelig nok innførte Peano ikke et parallelt symbol for den universelle kvantifisereren. Det ser ut til å ha vært Whitehead som introduserte notat ((x)) i Principia, og Hilbert som introduserte symbolet (forall).)

6. Alfred North Whitehead og Bertrand Russell

Russells oppdagelse i Russell Paradox i 1901 førte ham i løpet av noen måneder, i et brev til Frege (Frege [PMC]: 144) for å foreslå en tentativ versjon av teorien om typer. Den sentrale ideen tok han fra Freges teori om funksjoner i den første, andre og høyere orden. Russell presenterte en versjon av teorien sin i et vedlegg til prinsippene for matematikk (1903), og deretter i en moden form i sin “Matematisk logikk som basert på teorien om typer” (1908), som ga de konseptuelle underlag for Principia Mathematica. Russell ser på universet som strippet til nivåer eller typer. Den første typen omfatter individene; den andre typen består av "førsteordens" proposisjoner hvis kvantifiseringer spenner over individene av den første typen; generelt,kvantifiseringspunktene i proposisjoner av n + 1. typen varierer over proposisjoner av den n. typen. Russells system består faktisk av to distinkte hierarkier: ett for å håndtere paradokser i settteorien (spesifikt for å forby sett fra å være elementer av seg selv); den andre for å håndtere de semantiske paradokser (for eksempel løgnerens paradoks). Denne doble strukturen, forgrenet i to retninger, gir teorien navnet "forsterket teori om typer". For å kunne etablere klassisk analyse, ble han tvunget til å ta i bruk aksiomet til reduserbarhet, som gir at enhver funksjon av nivå (n + 1) er coextensive med et predikat for funksjon til lavere nivå. Systemet var enormt komplisert; i tid, i hendene til Chwistek, Ramsey, Carnap, Tarski og Church,man anerkjente at hierarkiet som omhandlet de semantiske paradokser kunne beskjæres, og etterlater den "enkle teorien om typer". (En kartlegging av denne utviklingen finner du i Church 1974, og detaljerte undersøkelser av Russells teori i Landini 1998 og Linsky 2011.)

Russell og Whitehead hadde således en notasjon for de to kvantifisererne, samt et skille mellom kvantifiseringer av den første og høyere type. Men dette er ikke det samme som å ha en oppfatning av førsteordens logikk, tenkt som et frittstående logisk system, som er verdig å studere i sin egen rett. Det var egentlig to ting som blokkerte veien. For det første (og i motsetning til Peirce), var objektet med studien ikke flere logiske systemer, men logisk tute domstol: De viser ingen interesse i å dele opp et fragment for separat studie, enn si i å hevde at det første ordens fragment har en privilegert status. Tvert imot: som med Frege, var Principias ambisjon å demonstrere at matematikk kan reduseres til logikk,og for Whitehead og Russell omfattet logikk det komplette apparatet av forsterket teori (sammen med aksiomene til uendelig, valg og reduserbarhet). For det andre, selv om Principia ga en aksiomatisering av typeteorien (og dermed kan sees på som å spesifisere en forestilling om deduktiv konsekvens), tenkte Whitehead og Russell på sitt system som et tolket system, og uttalte sannhetene om logikk, snarere enn som en formell beregning i følelsen av Hilbert. Hilbert skulle bruke deres aksiomatisering som utgangspunkt for sine egne aksiomatiseringer av forskjellige logiske systemer; men inntil skillet mellom logikk og metallogikk hadde blitt formulert, falt det ikke naturlig for noen å stille de metallogiske spørsmålene om fullstendighet, konsistens og avgjørbarhet,eller å undersøke forhold som forholdet mellom deduktiv og semantisk fullstendighet, eller svikt i kategorisitet; og det var først en gang slike forestillinger ble oppmerksomhetsfokuset at betydningen av førsteordens logikk ble tydelig.

7. Leopold Löwenheim

I 1915 publiserte Löwenheim sitt landemerke “Über Möglichkeiten im Relativkalkül”. Denne artikkelen, skrevet i henhold til tradisjonen etter Peirce-Schroeder-beregningen av pårørende, etablerte den første betydningsfulle metallogiske teorem; fra visse synspunkt markerer det begynnelsen på modellteori. Löwenheim betraktet en klasse av det han kalte “tellende uttrykk” (Zählausdrücke) hvis kvantifiserere bare spenner over domene til objekter i universet, men ikke over slektninger; Han beviste da at for ethvert slikt tellende uttrykk, hvis det er tilfredsstillende, er det tilfredsstillende i et talt antall domene. I moderne terminologi er hans”tellende uttrykk” formler for førsteordens logikk; men terminologien hans viser ingen innflytelse verken fra Peirces logikk om "første intensjon" eller fra Russells teori om typer. Löwenheim, som alle logikere fra denne epoken,hadde ikke skillet mellom et gjenstandsspråk og et metallspråk. Beviset hans er vanskelig å følge, og de nøyaktige detaljene i hans teorem - om det han trodde han hadde bevist, og hva han faktisk hadde bevist - har vært gjenstand for omfattende vitenskapelig diskusjon. (En undersøkelse av de forskjellige tolkningene er gitt av Mancosu, Zach, & Badesa 2009, og en detaljert gjenoppbygging av selve beviset av Badesa 2004.) Oppgaven ser ut til å ikke ha hatt noen innflytelse før Skolem skjerpet og utvidet resultatene i 1920. Löwenheim, i likhet med Peirce og Russell, isolerte ikke et aksiomatisk system som omfattet førsteordens logikk, og gjorde heller ikke et skille mellom syntaks og semantikk. Fortsatt mindre hevder han at klassen hans”telle uttrykk” på en eller annen måte er logisk privilegert, og gir et foretrukket grunnlag for matematikk. Löwenheim-teoremet var i tid for å bli anerkjent som å isolere en grunnleggende egenskap ved første-ordens logikk. Men de fulle implikasjonene av resultatet hans ble ikke klart før senere, etter at Hilbert hadde introdusert den metamatematiske studien av logiske systemer. (For øvrig godkjente Löwenheim den elegante (Sigma) og (Pi)) symbolikken til Peirce for å ha antydet de infinitære utvidelser som var nødvendige for hans bevis; og det er vanskelig å se hvordan han kunne ha oppnådd sin teorem med noen av de andre kvantifiserende notasjonene som da ble tilbudt. Han forsvarte fortsatt kraftig fordelene ved Peirce-Schroeder-notasjonen mot notasjonen Principia så sent som i Löwenheim 1940.)Men de fulle implikasjonene av resultatet hans ble ikke klart før senere, etter at Hilbert hadde introdusert den metamatematiske studien av logiske systemer. (For øvrig godkjente Löwenheim den elegante (Sigma) og (Pi)) symbolikken til Peirce for å ha antydet de infinitære utvidelser som var nødvendige for hans bevis; og det er vanskelig å se hvordan han kunne ha oppnådd sin teorem med noen av de andre kvantifiserende notasjonene som da ble tilbudt. Han forsvarte fortsatt kraftig fordelene ved Peirce-Schroeder-notasjonen mot notasjonen Principia så sent som i Löwenheim 1940.)Men de fulle implikasjonene av resultatet hans ble ikke klart før senere, etter at Hilbert hadde introdusert den metamatematiske studien av logiske systemer. (For øvrig godkjente Löwenheim den elegante (Sigma) og (Pi)) symbolikken til Peirce for å ha antydet de infinitære utvidelser som var nødvendige for hans bevis; og det er vanskelig å se hvordan han kunne ha oppnådd sin teorem med noen av de andre kvantifiserende notasjonene som da ble tilbudt. Han forsvarte fortsatt kraftig fordelene ved Peirce-Schroeder-notasjonen mot notasjonen Principia så sent som i Löwenheim 1940.)og det er vanskelig å se hvordan han kunne ha fått sitt teorem med noen av de andre kvantifiserende notasjonene som da ble tilbudt. Han forsvarte fortsatt kraftig fordelene ved Peirce-Schroeder-notasjonen mot noteringen om Principia så sent som Löwenheim 1940.)og det er vanskelig å se hvordan han kunne ha fått sitt teorem med noen av de andre kvantifiserende notasjonene som da ble tilbudt. Han forsvarte fortsatt kraftig fordelene med Peirce-Schroeder-notasjonen mot noteringen om Principia så sent som Löwenheim 1940.)

8. David Hilbert og Paul Bernays

La oss kort ta en oversikt over situasjonen slik den eksisterte i 1915. Peirce hadde differensiert mellom førsteordens og andreordens logikk, men hadde satt skillet uten matematisk bruk, og det falt fra syne. Både Frege og Russell hadde formulert versjoner av flernivåetypeteori, men ingen av dem hadde utpekt første-ordens fragment som et objekt verdig å studere. De amerikanske postulatteoretikerne, Edward Huntington og Oswald Veblen, hadde formulert forskjellige forestillinger om fullstendighet og kategorisering, og Veblen hadde bemerket at aksiomatisk dedusibilitet kan avvike fra semantisk implikasjon (Awodey & Reck 2002: 15–19). Men Veblen hadde ikke en nøyaktig karakterisering av formelt fradrag, og hans observasjon forble inert. Löwenheim hadde bevist en dyp teorem om hva som i ettertid kunne karakteriseres som førsteordens formler,men hadde ikke isolert et system med førsteordens logikk. Et lignende poeng gjelder for Hermann Weyl, som i 1910 foreslo (i virkeligheten) å bruke førsteordens logikk for å presisere begrepet "definitiv eiendom" i Zermelos aksiom om separasjon. Men også dette er en retrospektiv karakterisering, og Weyls interesse var i settteorien, ikke i studiet av et system med førsteordens logikk.

Det neste store trinnet ble tatt av David Hilbert i sitt forelesningskurs Prinzipien der Mathematik, levert i Göttingen i vintersemesteret 1917/18. Hilbert hadde forelest og publisert om grunnleggende emner i årene 1899–1905; i mellomtiden, mens han konsentrerte seg om andre saker, hadde publikasjonene opphørt, selv om den omfattende forelesningen i klasserommet fortsatte. Han holdt følge med den nåværende utviklingen, og ble spesielt informert om det logiske arbeidet til Whitehead og Russell, i stor grad gjennom sin student Heinrich Behmann. I september 1917 holdt han sitt programmatiske foredrag "Axiomatisches Denken" i Zürich der han ba om en aksiomatisk behandling av logikk på de linjene han tidligere hadde utforsket i sin aksiomatisering av geometri, og foreslo eksplisitt metallogiske undersøkelser:

Når vi vurderer saken nærmere, erkjenner vi snart at spørsmålet om konsistens for heltall og sett ikke er et spørsmål som står alene, men at det hører til et stort domene av vanskelige epistemologiske spørsmål som har en spesifikk matematisk fargetone: for eksempel (for å karakterisere dette domenet med spørsmål kort), problemet med løsbarheten i prinsippet for hvert matematisk spørsmål, problemet med den påfølgende kontrollerbarheten av resultatene av en matematisk undersøkelse, spørsmålet om et kriterium av enkelhet for matematiske bevis, spørsmålet om forholdet mellom innhold og formalisme i matematikk og logikk, og til slutt problemet med avgjørbarheten til et matematisk spørsmål i et endelig antall operasjoner. (Hilbert 1917: 412–413)

Det var på denne turen til Zürich han inviterte Paul Bernays til å returnere til Göttingen som sin assistent i grunnleggende forhold. Selv om Bernays hadde liten tidligere erfaring med stiftelser, viste det seg å være et skikkelig valg, og begynnelsen på et nært og fruktbart forskningssamarbeid.

Göttingen-forelesningene som kort tid fulgte Zürich-adressen (og som ble spilt inn i en offisiell protokoll av Bernays) er et bemerkelsesverdig dokument, og markerer fødselen til moderne matematisk logikk. De er i det vesentlige de samme som den publiserte monografien kjent som "Hilbert og Ackermann" (1928), og selv i dag, med beskjeden supplementering, kan tjene som en introduksjonslærebok for logikk. Hilbert skiller for første gang metallspråket fra objektspråket, og trinn for trinn presenterer en sekvens av formelle logiske beregninger med gradvis økende styrke. Hver beregning blir nøye studert i sin tur; styrkene og svakhetene blir identifisert og balansert, og analysen av svakhetene brukes til å forberede overgangen til neste beregning. Han begynner med proposisjonsberegningen,går deretter over til monadisk kvantifiseringslogikk (med en utvidet drøfting av beregningen av klasser, og av den aristoteliske syllogismen), og deretter til "funksjonsberegningen".

Funksjonsberegningen er et system med (mangesortert) førsteordens logikk, med variabler for setninger så vel som for relasjoner. Det er her, for første gang, at vi møter en presis, moderne formulering av førsteordens logikk, tydelig differensiert fra de andre beregningene, gitt et aksiomatisk grunnlag, og med metallogiske spørsmål eksplisitt formulert. Hilbert avslutter sin diskusjon om førsteordens logikk med bemerkningen:

Den grunnleggende diskusjonen om den logiske kalkulusen kunne opphøre her hvis vi ikke hadde noe annet mål for denne kalkulusen enn formaliseringen av logisk inferens. Men vi kan ikke være fornøyd med denne anvendelsen av symbolsk logikk. Ikke bare ønsker vi å være i stand til å utvikle individuelle teorier fra deres prinsipper på en rent formell måte, men vi ønsker også å undersøke grunnlaget for de matematiske teoriene selv og undersøke hvordan de er relatert til logikk og hvor langt de kan bygges opp fra rent logiske operasjoner og konseptformasjoner; og for dette formålet er den logiske beregningen å tjene oss som et verktøy. (1917/18: 188)

Dette fører ham ved siden av å introdusere høyere ordens logikk, og derfra til en vurdering av logiske paradokser og deres oppløsning gjennom Russells forsterkede teori om typer; reduseringsmomentet blir kort diskutert og vedtatt som et grunnlag for matematikk. Foredragsprotokollen avsluttes med setningen:

Dermed er det klart at innføringen av Axiom of Reducibility er et passende middel for å gjøre beregningen av nivåer til et system hvor grunnlaget for høyere matematikk kan utvikles.

Denne setningen virket i det vesentlige uendret da forelesningene i 1917 ble gjenarbeidet som monografien (Hilbert & Ackermann 1928).

I løpet av forelesningene tar Hilbert opp de metallogiske spørsmålene han hadde uttalt i “Axiomatisches Denken”, og (i det minste stilltiende) viser hvordan spørsmålene om fullstendighet, konsistens og avgjørbarhet skal besvares for den proposisjonelle saken. Fullstendighetsspørsmålet for førsteordens logikk blir ikke eksplisitt reist i Bernays referat av forelesningene, selv om en oppmerksom leser lett ville ha anerkjent det som et åpent problem. Sommeren etter produserte Bernays en Habilitasjonsoppgave der han med full strenghet utviklet en Hilbert-stil, aksiomatisk analyse av proposisjonell logikk. Han presenterer det aksiomatiske systemet som en ufortolket formell beregning; gir den en semantikk; og beviser så fullstendighetsteoremet som knytter syntaks til semantikken i formen, “Hver beviselige formel er universelt gyldig, og omvendt”. Deretter fortsetter han med å undersøke spørsmål om avgjørbarhet, konsistens og gjensidig uavhengighet av forskjellige kombinasjoner av aksiomer.

Hilbert 1917-forelesningene og Bernays Habilitation fra 1918 er en milepæl i utviklingen av førsteordens logikk. I forelesningene blir første ordens logikk presentert for seg selv som et aksiomatisk logisk system, egnet for studier ved bruk av de nye metallogiske teknikkene. Det var de metallogiske teknikkene som representerte det avgjørende fremskrittet over Peirce og Frege og Russell, og som var i tid for å bringe førstegangslogikk i fokus. Men det skjedde ikke på en gang, og fremdeles lå et stort arbeid. I forelesningene 1917/18 ble Hilberts sekvens av logiske beregninger presentert som springbrett på vei til en fullstendig forsterket teori av høyere orden, som han fortsatte å betrakte som den”rette” logiske rammen for å undersøke grunnlaget for matematikk. Det var karakteristisk for Hilbert å dele inn komplekse matematiske fenomener i deres elementer: sekvensen av beregninger kan sees på som en nedbryting av høyere ordens logikk i dens enklere komponentdeler, og avslører studentene sine nøyaktig trinnene som gikk inn i bygningen system. Selv om han diskuterer den funksjonelle beregningen, utelukker han den ikke for spesiell oppmerksomhet. Med andre ord (og som med Peirce tre tiår tidligere) blir førsteordens logikk først og fremst introdusert som et eksponeringsapparat: betydningen av den var ennå ikke klar.han utelukker det ikke for spesiell oppmerksomhet. Med andre ord (og som med Peirce tre tiår tidligere) blir førsteordens logikk først og fremst introdusert som et eksponeringsapparat: betydningen av den var ennå ikke klar.han utelukker det ikke for spesiell oppmerksomhet. Med andre ord (og som med Peirce tre tiår tidligere) blir førsteordens logikk først og fremst introdusert som et eksponeringsapparat: betydningen av den var ennå ikke klar.

Dessuten er Hilberts egen behandling av de metallogiske spørsmålene noe hissig og uformell. Han eksperimenterer med flere versjoner av begrepet "fullstendighet": den ene har en følelse av at han raskt brøt ny mark, og var ennå ikke sikker på hvilke begreper som skulle vise seg å være de mest fruktbare. Hans bevis på fullstendigheten av proposisjonsberegningen er bare en skisse og henvist til en fotnote; det parallelle problemet for førsteordens logikk blir ikke en gang tatt opp som en formodning. Enda mer påfallende, da Bernays til slutt i 1926 publiserte sin Habilitation, utelot han beviset for fullstendighetsteoremet fordi (som han senere fortrødent sa) resultatet virket på det tidspunktet rett og uviktig. (For diskusjon om dette punktet, se Hilbert [LFL]: 229. For lett tilgjengelige generelle diskusjoner, se Sieg 1999, Zach 1999,og essayene samlet i Sieg 2013; for originaldokumenter og detaljert analyse, se Hilbert [LFL.)

Med andre ord, selv i Göttingen på 1920-tallet manglet en full forståelse av betydningen av ideene Hilbert hadde introdusert i 1917. Hilbert-skolen gjennom 1920-tallet betraktet førstegangslogikk som et fragment av typeteori, og fremsatte ikke noe argument for den som et unikt foretrukket system. Det var først i monografien Hilbert & Ackermann 1928 (og den samtidige”Bologna-forelesningen”, Hilbert 1928), som Hilbert eksplisitt henvendte seg til fullstendigheten av førsteordens logikk som et åpent spørsmål. Det satte scenen for arbeidet med Gödel: men før vi kommer til det, må vi ta et kronologisk skritt bakover.

9. Thoralf Skolem

Skolem vinteren 1915–16 besøkte Göttingen, der han diskuterte settteori med Felix Bernstein; det er ingen tegn på at han møtte Hilbert. Han var allerede på dette tidspunktet kjent med Löwenheims teorem, og kjente til dets paradoksale implikasjoner for Zermelos aksiomatisering av setteorien: spesifikt at en første-ordens aksiomatisering av teorien om ikke-telleverdige sett ville ha en tallbar modell. Han publiserte ikke den gang om disse emnene fordi han, som han senere sa:

Jeg trodde at det var så tydelig at aksiomatiseringen av settteorien ikke ville være tilfredsstillende som et ultimativt grunnlag for matematikk som i det store og det hele, matematikere ikke ville plage seg veldig med det. Til min forbauselse har jeg nylig sett at mange matematikere ser på disse aksiomene for setteori som det ideelle grunnlaget for matematikk. Av den grunn syntes det for meg at tiden var inne for å publisere en kritikk. (Skolem 1922: vedlegg.)

Skolems første store artikler var hans 1920 og spesielt hans 1922. I den første beviste (eller ble han påvist) i en mer perspektiv form den nedadgående Löwenheim-Skolem teorem. I det andre ga han et nytt bevis på dette resultatet. Han kritiserte også Zermelos separasjonsaksiom, som hadde tatt formen: Gitt et sett S og et bestemt forslag (phi (x)), finnes det et sett S 'for alle elementer i S slik at (phi (e)). Her ble begrepet "definitive proposition" noe upresist. Skolems forslag var å identifisere "bestemte proposisjoner" med formlene for førsteordens logikk (med identitet). Selv om Skolem erklærte denne identifikasjonen for å være "naturlig" og "helt klar", argumenterte han ikke eksplisitt for begrensningen av kvantifiserere til det første nivået. Deretter ga han den tidligste tilfredsstillende førsteordens formulering av Zermelos setteori, og anvendte deretter Löwenheim-Skolem-resultatet for å oppnå Skolem-paradokset.

Disse tekniske resultatene var av stor betydning for den påfølgende debatten om førsteordens logikk. Men det er viktig å ikke lese inn i Skolem 1922 en senere forståelse av problemene. Skolem hadde på dette tidspunktet ikke et skille mellom gjenstandsspråket og metallspråket. Og selv om hans aksiomatisering av setteorien i ettertid kan tolkes til å være førstegangsordre, understreker han ingen steder dette faktum. (Faktisk presenterer Eklund (1996) et overbevisende argument om at Skolem ennå ikke tydelig verdsatte betydningen av skillet mellom førsteordens og annenordens logikk, og at reformuleringen av separasjonsaksiomet ikke faktisk er like entydig først- rekkefølge som det ofte blir sett på.)

Skolems merknader om førsteordens logikk krever nøye tolkninger (se f.eks. Ferreirós 2001: 470–74), men klart må sees på bakgrunn av 1920-tallets Grundlagenkrise, og debattene mellom Hilbert, Brouwer og Weyl. Det er to brede tendenser innen logikken i løpet av disse årene, og de trekker i motsatte retninger. En tendens er å beskjære logiske og matematiske systemer for å imøtekomme kritikken fra Brouwer og hans tilhengere. Målet var å unngå paradoksene, avgrense territoriet til "legitim" matematikk og å plassere det på sikre grunnmur. Settteori var i strid, og Skolem presenterte eksplisitt sine resultater fra 1922 som en kritikk av satt teoretiske grunnlag. Weyl hadde allerede i 1910 blitt ledet av sin undersøkelse av Zermelos system for å formulere et sett med logiske prinsipper som i ettertid (og til tross for den idiosynkratiske notasjonen) kan sees som en form for førsteordens logikk. Generelt tilbøyde både Weyl og Skolem seg, på metodologisk grunnlag, mot en slags konstruktivisme som et middel til å unngå paradoksene; og dette betydde at de så på kvantifisering over, for eksempel, helheten av undergrupper av et uendelig sett som noe man bør unngå: uansett hva man tar tak i forestillingen om “alle heltall”, var forestillingen om “alle egenskaper til heltall” langt mindre fast. For å si saken litt annerledes: selve poenget med å aksiomatisere settteorien var å oppgi sine filosofisk problematiske forutsetninger på en slik måte at man tydelig kunne se hva de kom til. Men dette målet ville bli kompromittert hvis man allerede i bakgrunnslogikken forutsatte den problematiske forestillingen om “alle undergrupper” som man forsøkte å belyse. En mulighet var å begrense seg til førsteordens logikk; en annen, for å ta i bruk et slags predikativt system med høyere orden.

Tilsvarende bredt konstruktivistiske tendenser var også veldig i bevis i det beviste teoretiske arbeidet til Hilbert og Bernays og deres etterfølgere på 1920-tallet. Allerede på tidspunktet for Hilberts forelesninger 1921/22 hadde Hilbert identifisert introduksjonen av (klassiske) kvantifiserere som det avgjørende trinnet der transfinitten gikk inn i logikken. Hilbert, som CS Peirce lenge før, tenkte på kvantifisererne som uendelige konjunksjoner og disjunksjoner, og fra begynnelsen av 1920-tallet og framover var det godt forstått i Göttingen at for de programmatiske målene for Hilbert-konsistensprogrammet som skulle gjennomføres, en finitær analyse av kvantifisererne var nødvendig. Epsilonsubstitusjonsmetoden var den viktigste enheten Hilbert introduserte for å forsøke å oppnå dette resultatet.(En undersøkelse av denne forskningen er gitt av Sieg 2009 og i de innledende merknadene til Hilbert [LFL].)

Men til tross for disse konstruktive tendenser, fortsatte mange logikere fra 1920-tallet (inkludert Hilbert) å betrakte teorien av høyere orden, og ikke dens første-ordens fragment, som den riktige logikken for undersøkelser i grunnlaget for matematikk. Det endelige håpet var å gi et konsistensbevis for hele klassisk matematikk (inkludert setteori). Men i mellomtiden var forskerne fremdeles noe uklare om visse grunnleggende distinksjoner. Noen ganger unnlater Hilbert å skille skillet mellom et førsteordens aksiomskjema og et andreordens aksiom; Brouwer's intuisjonisme blir noen ganger identifisert med "finitisme"; forholdene mellom fullstendighet (i flere sanser), kategorisering (også i flere sanser), og førsteordens og høyere orden logikk var ennå ikke forstått. Faktisk påpeker Gregory Moore at selv Gödel,i sitt bevis fra 1929 på fullstendigheten av førsteordens logikk, forsto han ikke fullt ut ideen om kategorisering og dens forhold til annenordens logikk (Moore 1988: 125).

10. Kurt Gödel

Så saken forble uklar hele 1920-tallet. Men de konstruktivistiske ambisjonene fra Hilbert-skolen, fokuset på analysen av kvantifisererne og den eksplisitte stillingen av metallogiske spørsmål hadde gjort fremveksten av førsteordens logikk som et system verdig å studere i seg selv, alt annet enn uunngåelig. De avgjørende tekniske gjennombruddene kom i 1929 og 1931 med publiseringen, først av Gödel, av fullstendighetsteoremet for førsteordens logikk, og deretter av ufullstendighetsteoremene. Med disse resultatene (og andre som snart fulgte) ble det endelig klart at det var viktige metallogiske forskjeller mellom førsteordens logikk og høyere ordens logikk. Kanskje den mest betydningsfulle er at førsteordens logikk er fullstendig og kan fullstendig formaliseres (i den forstand at en setning er avledelig fra aksiomene for tilfelle den holder i alle modeller). Første ordens logikk tilfredsstiller dessuten både kompakthet og den nedadgående Löwenheim-Skolem-egenskapen; så den har en traktabel modellteori. Andre ordens logikk gjør det ikke. I midten av 1930-årene begynte disse skillene å bli forstått mye, og det faktum at kategorisering generelt bare kan oppnås i systemer med høyere orden. Lindström skulle senere vise (1969) at intet logisk system som tilfredsstiller både kompakthet og Löwenheim-Skolem-egenskapen kan ha større uttrykksmakt enn førsteordens logikk: så i den forstand er førstegangslogikk virkelig en "naturlig" enhet.som det faktum at kategorisering generelt bare kan oppnås i høyere ordens systemer. Lindström skulle senere vise (1969) at intet logisk system som tilfredsstiller både kompakthet og Löwenheim-Skolem-egenskapen kan ha større uttrykksmakt enn førsteordens logikk: så i den forstand er førstegangslogikk virkelig en "naturlig" enhet.som det faktum at kategorisering generelt bare kan oppnås i høyere ordens systemer. Lindström skulle senere vise (1969) at intet logisk system som tilfredsstiller både kompakthet og Löwenheim-Skolem-egenskapen kan ha større uttrykksmakt enn førsteordens logikk: så i den forstand er førstegangslogikk virkelig en "naturlig" enhet.

Men de tekniske resultatene avgjorde ikke saken til fordel for førsteordens logikk. Som Schiemer & Reck påpekte (2013), langt inn på 1930-tallet, selv etter at de viktigste metallogiske resultatene var oppnådd, fortsatte logikere som Gödel, Carnap, Tarski, Church og Hilbert & Bernays å bruke systemer av høyere orden (generelt i noen versjon av den enkle teorien om typer). Med andre ord, selv etter de metallogiske resultatene var det et valg som skulle tas, og valget til fordel for førstegangslogikk var ikke uunngåelig. Tross alt kan de metallogiske resultatene tas for å vise en alvorlig begrensning av førsteordens logikk: at den ikke er i stand til å spesifisere en unik modell selv for de naturlige tallene. Hilbert hadde i 1917/18 behandlet førsteordens logikk som en springbrett,og de metallogiske resultatene kan tas for å bekrefte visdommen i hans tilnærming: Hvis du vil ha kategorisering, blir du tvunget til å flytte til et system med høyere orden.

På dette tidspunktet i 1930-årene ble det imidlertid flere andre tanker om logikk. Den intellektuelle situasjonen var svært sammensatt. De berømte avisene fra Carnap, von Neumann og Heyting på Königsberg-kongressen i 1931 hadde identifisert logiker, formalist og intuisjonistiske skoler: debattene deres skulle forme tankene om grunnlaget for matematikk de neste tiårene. Et søk etter sikre fundamenter, og spesielt for å unngå de setteoretiske paradokser, var noe de delte, og som bidro til å tippe balansen til fordel for førsteordens logikk. For det første (som Weyl og Skolem allerede hadde påpekt, og som i det minste var implisitt i Hilbert-programmet) var det gode konstruktivistiske og filosofiske grunner til å unngå kvantifisering av høyere orden der det var mulig,og for å begrense ens logikk til første orden. For det andre ble det nå gitt flere utvetydige formuleringer av første orden av Zermelo-Fraenkel-settteori, og også av von-Neumann-Bernays-Gödel-setteori (som tillater en begrenset aksiomatisering). Den første ordenen av disse teoriene ble understreket i en rekke publikasjoner fra 1930-tallet: av Tarski (1935), Quine (1936), Bernays (1937) og Gödel (1940). Som en praktisk sak var disse førsteordens settteorier tilstrekkelige til å formulere all eksisterende matematisk praksis; så for kodifisering av matematiske bevis, var det ingen grunn til å ty til høyere orden logikk. (Dette bekreftet en observasjon som Hilbert allerede hadde gjort allerede i 1917, selv om han ikke helt hadde utviklet poenget.) For det tredje var det en økt tendens til å skille mellom logikk og settteori,og å se settteorien som en gren av matematikken. At logikk med høyere orden kunne tolkes som (i Quines senere uttrykk) "settteori i saueklær", forsterket de andre tendensene: "ekte" logikk var første orden; høyere ordens logikk var "virkelig" settteori. Ved slutten av tiåret var det oppnådd en enighet om at matematikkteorier burde formuleres i første orden for forskningsformål i matematikkens grunnlag. Klassisk førsteordens logikk var blitt “standard”. For forskning i matematikkens grunnlag, bør matematiske teorier formuleres i første orden. Klassisk førsteordens logikk var blitt “standard”. For forskning i matematikkens grunnlag, bør matematiske teorier formuleres i første orden. Klassisk førsteordens logikk var blitt “standard”.

11. Konklusjoner

La oss nå prøve å trekke noen lærdommer, og spesielt spørre om fremveksten av førsteordens logikk var uunngåelig. Jeg begynner med en observasjon. Hvert trinn i denne komplekse historien er betinget av to slags skiftende bakgrunnshensyn. Den ene er stort sett matematisk: teoremene som var blitt etablert. Den andre er stort sett filosofisk: antagelsene som ble gjort (eksplisitt eller stilltiende) om logikk og om grunnlaget for matematikk. Disse to tingene samhandlet. Hver tenker i sekvensen starter med noen mer eller mindre intuitive ideer om logikk. Disse ideene gir matematiske spørsmål: skilles trekkes: teorier er bevist: konsekvenser blir notert, og den filosofiske forståelsen skjerpes. På hvert trinn, spørsmålet, "Hva er logikk?" (eller:“Hva er riktig logikk?”) Må vurderes mot både den matematiske og den filosofiske bakgrunnen: det er lite fornuftig å stille spørsmålet abstrakt.

La oss nå vurdere spørsmålet: Når ble førsteordens logikk oppdaget? Det spørsmålet er for generelt. Det må deles inn i tre subsidiære spørsmål:

  • ((alpha)) Når ble førstegangslogikk først eksplisitt identifisert som et distinkt logisk system? Dette spørsmålet har et relativt greit svar. Første ordens logikk ble eksplisitt identifisert av Peirce i 1885, men deretter glemt. Det ble uavhengig av oppdaget i Hilberts forelesninger i 1917/18, og gitt bred valuta i monografien Hilbert & Ackermann i 1928. Peirce var den første som identifiserte den: men det var Hilbert som satte systemet på kartet.
  • ((beta)) Når ble førsteordens logikk anerkjent for å være viktig annerledes enn systemer med høyere orden? Dette er et mer komplisert spørsmål. Selv om Hilbert isolerte førsteordens logikk, behandlet han ikke den som spesielt viktig, og selv fortsatte han å jobbe innen typeteori. En bevissthet om de grunnleggende metallogiske forskjellene mellom første-orden og høyere orden-logikk begynte først å dukke opp på begynnelsen av 1930-tallet, mest, men ikke utelukkende, hos Gödel.
  • ((gamma)) Hvordan ble førsteordens logikk betraktet som et privilegert logisk system - det vil si som (i noen forstand) den "riktige" logikken for undersøkelser i matematikkgrunnlaget? Også dette spørsmålet er svært komplisert. Selv etter at Gödel-resultatene ble forstått bredt, fortsatte logikere å jobbe innen typeteori, og det tok år før førsteordens logikk oppnådde kanonisk status. Overgangen var gradvis, og kan ikke gis en spesifikk dato.

La oss nå spørre om utstyret med disse skillene: Hvorfor ble førstegangslogikk ikke oppdaget tidligere?

Det er påfallende at Peirce allerede i 1885 tydelig hadde skilt mellom proposisjonell logikk, førsteordens logikk og annenordens logikk. Han var klar over at proposisjonell logikk er betydelig svakere enn kvantifiseringslogikk, og spesielt er den utilstrekkelig til en analyse av grunnlaget for aritmetikk. Han kunne da ha observert at annenordens logikk i visse henseender er filosofisk problematisk, og at generelt sett er grepet vårt om kvantifisering over objekter fastere enn vårt grep om kvantifisering over egenskaper. Problemet oppstår selv om diskursens univers er endelig. Vi har for eksempel et rimelig grep om hva det vil si å snakke (i første ordens ord) for alle planetene, eller å si at det eksisterer en planet med en bestemt eiendom. Men hva betyr det å snakke (i andre ordens ord) om alle planetens egenskaper? Hva er kriteriet for individualisering for slike egenskaper? Er egenskapen å være den ytterste planeten den samme som egenskapen til å være den minste planeten? Hva skal vi si om negative egenskaper? Er det en egenskap for planeten Saturn at den ikke er lik helheten 17? I så fall, selv om det bare er et begrenset antall planeter, må våre andreordens kvantifiserere strekke seg over uendelig mange egenskaper. Og så videre. De kineaniske innvendingene er kjent.

Argumenter av denne typen var blitt fremmet i de skolastiske tvistene mellom realister og nominalister: og Peirce var gjennomsyret av middelalderlitteraturen om disse temaene. Han trenger ikke ha gått så langt som å komme med poeng ((gamma)), dvs. å hevde at førsteordens logikk er spesielt privilegert. Det ville i alle fall ha strid med hans logiske pluralisme. Men han hadde verktøyene til å gjøre poeng ((beta)), og for å understreke at det er en viktig kløft som skiller andreordens logikk fra første ordre, akkurat som det er en viktig kløft som skiller førsteordens logikk fra den boolske proposisjonsberegningen. Hvorfor gjorde han ikke disse poengene allerede i 1885?

Ethvert svar kan bare være spekulativt. En faktor, en mindre faktor, er at Peirce ikke selv var nominalist. En annen er at han opererte innenfor en rekke logiske systemer: Han var temperamentvis eklektisk og ikke disponert for å søke etter den "sanne logikken". Det er også tekniske betraktninger. Peirce presenterer, i motsetning til Hilbert, ikke den første intensjonelle logikken som et aksiomatisert system, og oppfordrer heller ikke til det som et redskap for å studere grunnlaget for matematikk. Han har ikke skillet mellom en ufortolket, formell, aksiomatisk beregning og dens metallspråk. Som et resultat stiller han ikke spørsmål om avgjørbarhet, fullstendighet eller kategorisering; og uten de metamatiske resultatene var ikke en full forståelse av forskjellene i uttrykksmakten mellom første-orden og annenordens logikk. Et av de sterkeste argumentene mot annenordens logikk - at kvantifisering over alle undergrupper av en tellerbar samling innebærer kvantifisering over en ikke-tallbar totalitet - kunne ikke en gang ha blitt formulert før Cantor's Teorem var kjent. De logiske og settteoretiske paradokser var ennå ikke oppdaget, og Zermelo hadde ennå ikke aksiomatisert settteorien: så Peirce manglet den akutte følelsen av motivasjon for å oppdage et "sikkert grunnlag for matematikk". Og Peirce hadde selvfølgelig ikke noe om Löwenheim-Skolem-teoremene, eller Skolem-paradokset, eller sekvensen av metallogiske teoremer som skulle bringe førsteordens logikk i skarpt fokus. Han ga en fleksibel og suggererende notasjon som skulle vise seg å være enorm fruktbar, og han var den første til å skille tydelig mellom førsteordens og andreordens logikk:men verktøyene for å forstå den matematiske betydningen av skillet eksisterte ennå ikke. (Som Henri Pirenne en gang bemerket, oppdaget vikingene Amerika, men de glemte det, fordi de ennå ikke trengte det.)

Et beslektet poeng gjelder for Frege og Russell. De hadde forestillingen om et hierarki av logiske nivåer, og i prinsippet kunne de også ha isolert førsteordens logikk, og dermed ha oppnådd trinn ((alpha)). Men de vurderte aldri å isolere det laveste nivået i hierarkiet som et frittstående system. Det er både filosofiske og matematiske grunner til dette. Som en filosofisk sak hadde logikkprosjektet som mål å vise at “matematikk kan reduseres til logikk”: og de tenkte på hele hierarkiet av typer som utgjør logikk. Og da, som en matematisk sak, var andreordens logikk nødvendig for deres konstruksjon av heltalene. Så de hadde ingen overbevisende grunn, verken filosofisk eller matematisk, som ville ha ført dem til å fokusere på førsteordens fragment.

Det er her en lærerik kontrast med Peirce. Peirce, i ånden av de 19 th -Century algebraists, var glad for å utforske en frodig overflod av logiske strukturer: hans holdning var fundamentalt pluralistisk. Logikerne, som arbeidet i den analytiske tradisjonen, var mer opptatt av å oppdage hva heltalene faktisk er: holdningen deres var i grunnen monistisk og reduksjonsistisk. Men for å utpeke førstordens logikk slik det ble gjort på 1930-tallet, trengte man to ting: en bevissthet om at det var distinkte logiske systemer, og et argument for å foretrekke det ene mot det andre. Peirce hadde pluralismen: logikerne hadde trang til å finne et "riktig" system: men ingen av dem hadde begge deler.

La oss nå henvende oss til spørsmålet: Var fremveksten av førsteordens logikk uunngåelig? Det er umulig å unngå kontrafaktiske betraktninger, og svaret må være mer spekulativt. Og også her er det nødvendig å skille mellom uunngåeligheten av de tekniske resultatene ((beta)), og uunngåeligheten av point ((gamma)).

La oss starte med punktet ((beta)). I 1928 kan de metallogiske resultatene ganske sies å ha vært uunngåelige. Hilbert & Ackermann hadde isolert og beskrevet første ordens logikk; skillet mellom matematikk og metematematikk var da godt forstått; de hadde vist hvordan de kunne bevise fullstendigheten av proposisjonskalkylen; og de løftet eksplisitt fullstendigheten av førsteordens logikk som et viktig åpent problem. Det var sikkert at i løpet av de neste årene ville en eller annen driftige logiker gi svar: mens det skjedde kom Gödel dit først. Det ville da vært et åpenbart neste skritt å spørre om fullstendigheten til systemer av høyere orden. Så i løpet av få år etter Hilbert & Ackermann ville de grunnleggende metallogiske teoriene blitt etablert.

Hvis det er riktig, var Hilberts avgjørende trinn i forelesningene i 1917/18 ikke isolasjonen av førsteordens logikk - dvs. ikke trinn ((alpha)). Det var en relativt ubetydelig sak. Dette trinnet var allerede tatt eksplisitt av Peirce, og stilltiende av Weyl og Löwenheim. Hilbert behandlet det ikke som viktig, og ser ut til å ha sett det først og fremst som et utstillingsapparat, et middel for å forenkle presentasjonen av logikken til Principia Mathematica. Det viktige trinnet i 1917 var snarere introduksjonen av teknikker for metamatematikk, og den eksplisitte stillingen av spørsmål om fullstendighet og konsistens og avgjørbarhet. Å stille disse spørsmålene for logiske systemer var et enormt konseptuelt sprang, og Hilbert forsto det som sådan. Hans første forsøk, gjort i Heidelberg-adressen i 1905,hadde falt sammen under kritikken fra Poincaré, og han hadde kjempet for å finne en tilfredsstillende formulering. Og selv etter at han hadde introdusert sine metallogiske distinksjoner i sine papirer fra 1920-tallet, hadde logikere av Russell og Brouwer og Ramsey kaliber vanskeligheter med å forstå hva han forsøkte å gjøre. Denne utviklingen var i 1917 alt annet enn uunngåelig: og uten innføring av metallogiske teknikker ville logikkens og bevissteoriens historie på 1920- og 1930-tallet sett veldig annerledes ut. Ville Gödel-setningene noen gang blitt unnfanget? Ville arbeidet til Löwenheim eller Skolem eller Zermelo uavhengig ha ført til en undersøkelse av de metallogiske egenskapene til førsteordens logikk? Man kan i ettertid forestille seg en alternativ vei til de tekniske resultatene ((beta)),men det er ingen grunn til å anta at de hadde skjebnen til å dukke opp verken når de gjorde det, eller som de gjorde.

Et subtilt problem oppstår hvis vi nå henviser til punkt ((gamma)) og spør: Var det uunngåelig at førsteordens logikk ville bli sett på som et “privilegert” logisk system? Som vi så, bosetter de metallogiske resultatene fra 1930-tallet ikke forrangene til førsteordens logikk. "Priviligeringen" kom senere, og ser ut til å ha vært avhengig av filosofiske betraktninger: behovet for å unngå de setteoretiske paradokser, et søk etter sikre grunnlag for matematikk, et ønske om å imøtekomme innvendinger fra Brouwer og Weyl, en følelse av høyere Ordenslogikk var både metodologisk mistenkt og unngås. Alle disse tingene viser den fortsatte innflytelsen fra Grundlagenkrise på 1920-tallet, som gjorde så mye for å sette betingelsene for den påfølgende filosofiske forståelsen av grunnlaget for matematikk.

Det er derfor viktig å understreke at en alternativ historie var mulig, og at Grundlagenkrisen helt var fraværende fra Hilberts logiske skrifter i 1917/18. Navnene på Brouwer og Weyl er ingen steder nevnt. Hilbert er selvfølgelig klar over paradoksene (som han hadde visst om siden 1897), men hadde lenge trodd at Zermelos aksiomatisering hadde vist hvordan han skulle unngå dem. Vi finner heller ikke i hans forfattere noen søken etter den "sanne logikken". Tvert imot. Både i 1917/18 og i de upubliserte forelesningsnotatene fra begynnelsen av 1920-tallet er det lagt vekt på å bruke de nye metallogiske teknikkene for å utforske styrkene og svakhetene ved et mangfold av logiske systemer. Arbeidet er eksplisitt utført i ånden av hans studier av geometriens aksiomer. Han vil ta opp et system, utforske det en stund og deretter slippe det for å undersøke noe annet. I sin pluralisme og i sin pragmatiske, eksperimentelle holdning er han nærmere Peirce enn logikerne.

Grundlagenkrisen og hans offentlige, polemiske utveksling med Brouwer kom senere, og de ga et forvrengt bilde av motivasjonen bak hans logiske undersøkelser. Hva var virkningen av disse filosofiske debattene på de tekniske aspektene av programmet hans? For formuleringen av førsteordens logikk, og for stillingen av metallogiske spørsmål, er svaret enkelt: det hadde ingen innvirkning overhodet. Innholdet i Hilbert & Ackermann 1928 var allerede til stede i forelesningene 1917/18. Når det gjelder Hilberts bevisteoretiske forskning fra 1920-tallet, fremkom hovedlinjene i utviklingen ganske uavhengig av Brouwer og Weyl. Polemikken kan ha tilført en følelse av press, men det er vanskelig å oppdage noen innflytelse på den faktiske matematikken.

Så selv om vi forestiller oss den filosofiske Grundlagenkrise helt fjernet fra bildet, ville de tekniske resultatene fra Hilbert-skolen ikke blitt påvirket nevneverdig. Resultatene av fullstendighet og ufullstendighet ville etter all sannsynlighet kommet mer eller mindre etter planen. (Det er verdt å merke seg at Bernays og Hilbert hadde tenkt på muligheten for forskjellige slags ufullstendighet allerede i 1928: se diskusjonen av Wilfried Sieg i Hilbert [LFL]: 792–796.) Men disse resultatene ville ha kommet frem i en veldig forskjellige filosofiske klima. Ufullstendighetsteoremene ville sannsynligvis blitt møtt som et viktig teknisk bidrag i det bredere Hilbert-programmet, snarere enn som dets dramatiske tilbakevisning. Kanskje (som Angus Macintyre 2011 har antydet) ville de blitt sett på mer som uavhengighetsresultatene i settteori, med mindre snakk om grensene for matematisk kreativitet.

Med andre ord, langt fra å være uunngåelig, var fremveksten, mot slutten av 1930-tallet, av førsteordens logikk som et privilegert system av logikk avhengig av to ting, hver uavhengig av den andre. På den matematiske siden var det avhengig av Hilberts introduksjon av metallogiske teknikker; på filosofisk side var det avhengig av argumentene fra Grundlagenkrise. Ingen av disse tingene var uunngåelig: det var heller ikke det faktum at de skjedde omtrent samtidig. Med en annen historie, kan Hilberts fleksible holdning ha seiret, og det kan ha vært mer vekt på systemer med høyere orden, eller på utforsking av algebraisk logikk, infinitærlogikk, kategoriteoretiske systemer og lignende: kort sagt, på logisk pluralisme.

Det er verdt å merke seg at, etter hvert som de filosofiske bekymringene til Grundlagenkrise har sunket, og etter hvert som nye tilnærminger fra retningen til informatikk og homotopi-teori har kommet inn i feltet, er førstegangslogikkens åpenhet åpen for ny vurdering.

Bibliografi

  • Awodey, Steve & Erich H. Reck, 2002, “Fullstendighet og kategorisering, del I: Axiomatics fra det nittende århundre til det 20. århundre Metalogic”, History and Philosophy of Logic, 23 (1): 1–30. doi: 10,1080 / 01445340210146889
  • Badesa, Calixto, 2004, The Birth of Model Theory: Löwenheims teorem in the Frame of the Theory of relative, Princeton: Princeton University Press.
  • Bernays, Paul, 1918, “Beiträge zur axiomatischen Behandlung des Aussagen-Kalküls”, Habilitation Thesis, University of Göttingen; først publisert i Hilbert [LFL], s. 231-268.
  • –––, 1926, “Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalküls der Principia Mathematica”, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
  • –––, 1937, “A System of Axiomatic Set Theory”, Journal of Symbolic Logic, 2 (1): 65–77. doi: 10,2307 / 2268862
  • Boole, George, 1847, Den matematiske analysen av logikk: Å være et essay mot en beregning av deduktiv resonnement, Cambridge: Macmillan. Reprinted in Ewald 1996: vol. 1, s. 451–509. [Boole 1847 tilgjengelig online]
  • Brady, Geraldine, 2000, Fra Peirce til Skolem: A Neglected Chapter in the History of Logic, (Studies in the History and Philosophy of Mathematics, 4), Amsterdam: Elsevier.
  • Carnap, Rudolf, “Die logizistische Grundlegung der Mathematik”, Erkenntnis, 2 (1): 91–105. (Henvisninger til oversettelsen i Paul Benacerraf og Hilary Putnam, Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, 41–52.) Doi: 10.1007 / BF02028142 (de) doi: 10.1017 / CBO9781139171519.003 (en)
  • Church, Alonzo, 1956, Introduction to Mathematical Logic, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 1974, “Russellian Simple Type Theory”, Proceedings and Addresses of the American Philosophical Association, 47: 21–33. doi: 10,2307 / 3129899
  • De Morgan, Augustus, 1864, “Om syllogismen, nr. IV, og om logikken i forhold”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 10: 173–230. (Les 8. februar 1858.) [De Morgan 1864 tilgjengelig online]
  • Dutilh Novaes, Catarina, kommende, “Axiomatization of Arithmetic and the First-Order / Second-Order Divide”, Synthese, først online: 30. desember 2014. doi: 10.1007 / s11229-014-0636-6
  • Eklund, Matti, 1996, “On How Logic Become First Order”, Nordic Journal of Philosophical Logic, 1 (2): 147–167. [Eklund 1996 tilgjengelig online]
  • Ewald, William Bragg (red.), 1996, Fra Kant til Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 bind, Oxford: Clarendon Press.
  • Ferreirós, José, 2001, “Veien til moderne logikk - en tolkning”, Bulletin of Symbolic Logic, 7 (4): 441–484. doi: 10,2307 / 2687794
  • Fraenkel, Abraham A., 1927, “Gjennomgang av Skolem 1922”, Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 49: 138–139.
  • Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Nebert. Oversatt av Stefan Bauer-Mengelberg i van Heijenoort 1967: 1–82.
  • –––, 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematatische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: Koebner. Oversatt av JL Austin som The Foundations of Arithmetic, A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number, Oxford: Blackwell, 1950.
  • –––, 1893, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, vol. 1, Jena: Pohl.
  • –––, 1895, “Kritiske Beleuchtung einiger Punkte i E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik”, Archiv für systematische Philosophie, 1: 433–456. [Frege 1895 tilgjengelig online]
  • –––, [ PMC], Philosophical and Mathematical Correspondence, Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, Albert Veraart, Brian McGuinness, og Hans Kaal (red.), Chicago: University of Chicago Press, 1980.
  • Gabbay, Dov M. & John Woods (red.), 2009, Handbook of the History of Logic, Vol. 5: Logikk fra Russell til Church, Amsterdam: Elsevier-Nord-Holland.
  • Gödel, Kurt, 1929, Über die Vollständigkeit des Logikkalküls, doktorgradsavhandling, Wien-universitetet. Trykt med oversettelse i Sol Feferman et al. (red.), Kurt Gödel: Collected Works, Vol. 1: Publikasjoner 1929–1936, Oxford: Clarendon Press, s. 60–101.
  • –––, 1931, “Over formelle unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198; oversatt av S. Bauer-Mengelberg i van Heijenoort 1967: 596–616.
  • ––– 1940, The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalised Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton: Princeton University Press.
  • Goldfarb, Warren D., 1979, “Logic in the Twenties: The Nature of the Quantifier”, Journal of Symbolic Logic, 44 (3): 351–368. doi: 10,2307 / 2273128
  • Hilbert, David, 1905, “Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik”, i Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses i Heidelberg vom 8. til 13. august 1904, Leipzig: Teubner, s. 174–185; oversatt av S. Bauer-Mengelberg i van Heijenoort 1967: 130–138.
  • –––, 1917, “Axiomatisches Denken”, Mathematische Annalen 78 (1–4): 405–415; oversatt av W. Ewald i Ewald 1996 (bind 2), s. 1105–1115. doi: 10.1007 / BF01457115 (de)
  • –––, 1917/18, Prinzipien der Mathematik, upubliserte foredrag holdt i Göttingen, Vintersemesteret, 1917/18 (forelesningsnotater spilt inn av Paul Bernays). Reprinted in Hilbert 2013: 31–221.)
  • –––, 1928, “Probleme der Grundlegung der Mathematik”, (”Bologna-forelesningen”), gjengitt i Hilbert 2013: 954–966.
  • –––, [ LFL], David Hilbert, Forelesninger om grunnlaget for logikk, matematikk og naturvitenskap (bind III: Foundations of Logic and Arithmetic, 1917–1933), William Ewald og Wilfried Sieg (red.), Berlin: Springer Verlag, 2013. doi: 10.1007 / 978-3-540-69444-1
  • Hilbert, David & Wilhelm Ackermann, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin: Springer Verlag.
  • Hilbert, David & Paul Bernays, 1939, Prinzipien der Mathematik II, Berlin: Springer Verlag.
  • Landini, Gregory, 1998, Russells Hidden Substitutional Theory, Oxford: Oxford University Press.
  • Lindström, Per, 1969, “On Extensions of Elementary Logic”, Theoria, 35 (1): 1–11. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1969.tb00356.x
  • Linsky, Bernard, 2011, The Evolution of 'Principia Mathematica': Bertrand Russells manuskripter og notater for andre utgave, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511760181
  • Löwenheim, Leopold, 1915, “Über Möglichkeiten im Relativkalkül”, Mathematische Annalen, 76 (4): 447–470. Oversettelse i van Heijenoort 1967: 228–251. doi: 10.1007 / BF01458217 (de)
  • ––– 1940, “Einkleidung der Mathematik im Schröderschen Relativkalkül”, Journal of Symbolic Logic, 5 (1): 1–15. doi: 10,2307 / 2269177
  • Macintyre, Angus, 2011, “The Impact of Gödel's Incompleteness Theorems on Mathematics”, i Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth, Matthias Baaz, Christos H. Papadimitriou, Dana S. Scott, Hilary Putnam og Charles L. Harper (red.), Cambridge: Cambridge University Press, s. 3–26. doi: 10,1017 / CBO9780511974236.004
  • Mancosu, Paolo (red.), 1998, Fra Brouwer til Hilbert: Debatten om grunnlaget for matematikk på 1920-tallet, Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo, Richard Zach, & Calixto Badesa, 2009, “The Development of Mathematical Logic from Russell to Tarski, 1900–1935”, i L. Haaparanta (red.), The Development of Modern Logic, Oxford: Oxford University Press, s. 318–470; gjengitt i Paolo Mancosu (red.), The Adventure of Reason: Interplay Between Philosophy of Mathematics and Mathematical Logic, 1900–1940, Oxford: Oxford University Press, s. 5–120.
  • Moore, Gregory S., 1988, "The Emerging of First-Order Logic", i William Aspray og Philip Kitcher (red.), History and Philosophy of Modern Mathematics, (Minnesota Studies in the Philosophy of Science, 11), s. 95 –135, Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Peano, Giuseppe, 1889, Arithmetices Principia, nova methodo exposita, Torino: Bocca. Oversatt i van Heijenoort 1967: 20–55. [Peano 1889 (it) tilgjengelig online]
  • Peirce, Charles S., 1867, Five Papers on Logic Presentated to American Academy; gjengitt i Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition (Volume 2), Edward C. Moore (red.), Bloomington: Indiana University Press, 1984, s. 12-86.
  • –––, 1870 [1873], “Beskrivelse av en notasjon for slektningenes logikk, resultatet av en forsterkning av oppfatningene av Booles beregning av logikk”, Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences, 9 (2): 317 –378, formidlet 26. januar 1870, publisert 1873. doi: 10.2307 / 25058006
  • –––, 1881, “On the Logic of Number”, American Journal of Mathematics, 4 (1): 85–95. Reprinted in Ewald 1996: vol. 1, s. 598–608. doi: 10,2307 / 2369151
  • –––, 1883, “A Theory of Probable Inference”, i CS Peirce (red.), Studies in Logic av Members of the Johns Hopkins University, Boston: Little Brown, s. 126–181. [Peirce 1883 tilgjengelig online]
  • –––, 1885, “On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation”, American Journal of Mathematics, 7 (2): 180–202. Reprinted in Ewald 1996: vol. 1, s. 608–632. doi: 10,2307 / 2369451
  • Quine, Willard V., 1936, “Set-teoretiske grunnlag for logikk”, Journal of Symbolic Logic, 1 (2): 45–57. doi: 10,2307 / 2268548
  • Reck, Erich H., 2013, “Developments in Logic: Carnap, Gödel, and Tarski”, i Oxford Handbook of the History of Analytical Philosophy, Michael Beaney (red.), Oxford: Oxford University Press, s. 546–571.
  • Russell, Bertrand, 1903, The Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press. [Russell 1903 tilgjengelig online]
  • –––, 1908, “Mathematical Logic as Based on the Theory of Types”, American Journal of Mathematics, 30 (3): 222–262. Reprinted in van Heijenoort 1967: 150–182. doi: 10,2307 / 2369948
  • Schiemer, Georg & Erich H. Reck, 2013, “Logic in 1930s: Type Theory and Model Theory”, Bulletin of Symbolic Logic, 19 (4): 433–472. doi: 10,1017 / S1079898600010568
  • Schröder, Ernst, 1890–95, Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik), 3 bind, Leipzig: Teubner.
  • Sieg, Wilfried, 1999, “Hilberts programmer: 1917–1922”, Bulletin of Symbolic Logic, 5 (1): 1–44. doi: 10,2307 / 421139
  • ––– 2009, “Hilbert's Proof Theory”, i Gabbay & Woods 2009: 321–384. doi: 10.1016 / S1874-5857 (09) 70012-3
  • –––, 2013, Hilberts Programs and Beyond, Oxford: Oxford University Press.
  • Skolem, Thoralf, 1920, “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit matematiker Sätze nebst einem theoreme über dichte Mengen”, Kristiania. Delvis oversatt av S. Bauer Mengelberg i van Heijenoort 1967: 252–263.
  • –––, 1922, “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre”, oversatt av S. Bauer Mengelberg i van Heijenoort 1967: 217–232.
  • –––, 1923, “Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereich”, Kristiania. Oversatt av S. Bauer Mengelberg i van Heijenoort 1967: 302–333. [Skolem 1923 (de) tilgjengelig online]
  • Tarski, Alfred, 1935, “Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen”, Studia Philosophica, 1: 261–405. Oversatt i Logic, Semantics, Metamathematics: Papers fra 1923 til 1938, Oxford: Oxford University Press, 1956.
  • van Heijenoort, Jean, (red.), 1967, Fra Frege til Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • von Neumann, John, 1927, “Zur Hilbertschen Beweistheorie”, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
  • Weyl, Hermann, 1910, “Über die Definitionen der mathematatischen Grundbegriffe”, Mathematisch-Wissenschaftliche Blätter, 7: 93–95, 109–113.
  • –––, 1918, Das Kontinuum, Berlin: de Gruyter.
  • Whitehead, Alfred N. & Bertrand Russell, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 bind, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Zach, Richard, 1999, “Completeness Before Post: Bernays, Hilbert, and the Development of Propositionional Logic”, Bulletin of Symbolic Logic, 5: 331–366.
  • Zermelo, Ernst, 1908, “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I”, Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281. Oversatt av S. Bauer Mengelberg i van Heijenoort 1967: 199–215. doi: 10.1007 / BF01449999 (de)
  • –––, 1929, “Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik”, Fundamenta Mathematicae, 14: 339–344. doi: 10,4064 / fm-14-1-339-344

Akademiske verktøy

september mann ikon
september mann ikon
Hvordan sitere denne oppføringen.
september mann ikon
september mann ikon
Forhåndsvis PDF-versjonen av denne oppføringen hos Friends of the SEP Society.
inpho-ikonet
inpho-ikonet
Slå opp dette emnet på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi for denne oppføringen på PhilPapers, med lenker til databasen.

Andre internettressurser

[Ta kontakt med forfatteren med forslag.]

Anbefalt: