Type Teori

Innholdsfortegnelse:

Type Teori
Type Teori

Video: Type Teori

Video: Type Teori
Video: ЛУФФИ ПРОБУДИЛ ФИНАЛЬНЫЙ "КОРОЛЕВСКИЙ" ТИП ВОЛИ?! НАСТОЯЩАЯ СИЛА ДЖОЙ БОЯ РАСКРЫТА! | Теория 1015+ 2024, Mars
Anonim

Inngangsnavigasjon

  • Inngangsinnhold
  • Bibliografi
  • Akademiske verktøy
  • Venner PDF forhåndsvisning
  • Forfatter og sitatinfo
  • Tilbake til toppen

Type teori

Først publisert ons 8. februar 2006; substantiv revisjon tirsdag 17. juli 2018

Temaet teori er grunnleggende både innen logikk og informatikk. Vi begrenser oss her til å tegne noen aspekter som er viktige i logikken. For viktigheten av typer innen informatikk, henviser vi leseren for eksempel til Reynolds 1983 og 1985.

  • 1. Paradokser og Russells typeteorier
  • 2. Simple Type Theory and the (lambda) - Calculus
  • 3. Ramifiserte hierarki og imponerende prinsipper
  • 4. Skriv inn teori / sett teori
  • 5. Type teori / kategoriteori
  • 6. Utvidelser av typesystem, polymorfisme, paradokser
  • 7. Univalent stiftelser
  • Bibliografi
  • Akademiske verktøy
  • Andre internettressurser
  • Relaterte oppføringer

1. Paradokser og Russells typeteorier

Teorien om typer ble introdusert av Russell for å takle noen motsetninger han fant i sin beretning om settteorien og ble introdusert i "Tillegg B: The Doctrine of Types" fra Russell 1903. Denne motsetningen ble oppnådd ved å analysere et teorem fra Cantor at ingen kartlegging

[F: X / høyre mark / Pow (X))

(hvor (Pow (X)) er klassen av underklasser i en klasse (X)) kan være surektiv; det vil si at (F) ikke kan være slik at hvert medlem (b) til (Pow (X)) er lik (F (a)) for et element (a) av (X). Dette kan formuleres “intuitivt” som det faktum at det er flere undergrupper av (X) enn elementer av (X). Beviset på dette er så enkelt og grunnleggende at det lønner seg å gi det her. Tenk på følgende undergruppe av (X):

[A = {x / i X / midt x / ikke / i F (x) }.)

Dette undersettet kan ikke være i området (F). For hvis (A = F (a)), for noen (a), da

(begynne {align} a / i F (a) & / text {iff} a / i A \& / text {iff} a / not / i F (a) end {align})

som er en selvmotsigelse. Noen merknader er i orden. For det første bruker beviset ikke loven om ekskludert middel og er dermed gyldig intuisjonistisk. For det andre var metoden som brukes, kalt diagonalisering allerede til stede i arbeidet med du Bois-Reymond for å bygge reelle funksjoner som vokser raskere enn noen funksjon i en gitt sekvens av funksjoner.

Russell analyserte hva som skjer hvis vi bruker dette teoremet i saken der A er klassen for alle klasser, og innrømmer at det er en slik klasse. Han ble da ført til å vurdere den spesielle klassen som ikke tilhører seg selv

(tag {*} R = {w / mid w / not / in w }.)

Vi har da

[R / i R / tekst {iff} R / ikke / i R.)

Det ser ut til at Cantor allerede var klar over det faktum at klassen for alle sett ikke kan betraktes som et sett.

Russell formidlet dette problemet til Frege, og brevet hans, sammen med Freges svar, vises i van Heijenoort 1967. Det er viktig å innse at formuleringen (*) ikke gjelder slik den er for Freges system. Som Frege selv skrev i svaret sitt til Russell, er uttrykket "et predikat predikert av seg selv" ikke nøyaktig. Frege skilte mellom predikater (konsepter) og objekter. Et (første-ordens) predikat gjelder et objekt, men det kan ikke ha et predikat som argument. Den nøyaktige formuleringen av paradokset i Freges system bruker forestillingen om utvidelsen av et predikat (P), som vi betegner som (varepsilon P). Utvidelsen av et predikat er i seg selv et objekt. Det viktige aksiomet V er:

(tag {Axiom V} varepsilon P = / varepsilon Q / equiv / forall x [P (x) equiv Q (x)])

Dette aksiomet hevder at utvidelsen av (P) er identisk med utvidelsen av (Q) hvis og bare hvis (P) og (Q) er vesentlig likeverdige. Vi kan deretter oversette Russells paradoks (*) i Freges system ved å definere predikatet

[R (x) text {iff} eksisterer P [x = / varepsilon P / kile / neg P (x)])

Det kan så sjekkes ved å bruke Axiom V på en avgjørende måte, det

[R (varepsilon R) equiv / neg R (varepsilon R))

og vi har en selvmotsigelse også. (Legg merke til at for å definere predikatet (R), har vi brukt en impregnerende eksistensiell kvantifisering på predikater. Det kan vises at den predikative versjonen av Freges system er konsekvent (se Heck 1996 og for ytterligere forbedringer Ferreira 2002).

Det fremgår av denne beretningen at en ide om typer allerede var til stede i Freges arbeid: der finner vi et skille mellom objekter, predikater (eller konsepter), predikater til predikater osv. (Dette poenget er understreket i Quine 1940.) Dette hierarkiet kalles”ekstensjonalt hierarki” av Russell (1959), og nødvendigheten ble anerkjent av Russell som en konsekvens av hans paradoks.

2. Simple Type Theory and the (lambda) - Calculus

Som vi så ovenfor, virker skillet: objekter, predikater, predikat, predikater osv., Nok til å blokkere Russells paradoks (og dette ble anerkjent av Chwistek og Ramsey). Vi beskriver først typestrukturen slik den er i Principia, og senere i dette avsnittet presenterer vi den elegante formuleringen på grunn av Church 1940 basert på (lambda) - calculus. Typene kan defineres som

  1. (i) er typen individer
  2. ((,)) er typen forslag
  3. Hvis (A_1, / ldots, A_n) er typer, er ((A_1, / ldots, A_n)) typen (n) - ary-relasjoner over objekter av respektive typer (A_1, / ldots, a_n)

For eksempel er typen binære relasjoner over individer ((i, i)), typen binære tilkoblinger er (((,), (,))), typen kvantifiserere over individer er \(((Jeg))).

For å danne forslag bruker vi denne typen struktur: således (R (a_1, / ldots, a_n)) er et forslag hvis (R) er av typen ((A_1, / ldots, A_n)) og (a_i) er av typen (A_i) for (i = 1, / ldots, n). Denne begrensningen gjør det umulig å lage et forslag til formen (P (P)): typen (P) skal være av formen ((A)), og (P) kan bare brukes på argumenter av typen (A), og dermed ikke kan brukes på seg selv siden (A) ikke er det samme som ((A)).

Imidlertid er enkel type teori ikke predikativ: vi kan definere et objekt (Q (x, y)) av typen ((i, i)) av

(forall P [P (x) supset P (y)])

Anta at vi har to individer (a) og (b) slik at (Q (a, b)) holder. Vi kan definere (P (x)) til å være (Q (x, a)). Det er da klart at (P (a)) holder, siden det er (Q (a, a)). Derav holder (P (b)) også. Vi har bevist på imponerende måte at (Q (a, b)) innebærer (Q (b, a)).

Alternative enklere formuleringer, som bare beholder forestillingen om klasser, klasser av klasser osv., Ble formulert av Gödel og Tarski. Egentlig denne enklere versjonen ble brukt av Gödel i hans papir fra 1931 om formelt usikre forslag. Oppdagelsen av de ubestemmelige proposisjonene kan ha vært motivert av et heuristisk argument om at det er lite sannsynlig at man kan utvide fullstendighetsteoremet til førstegangslogikk til typeteori (se slutten på hans forelesning på Königsberg 1930 i Gödel Collected Work, bind III og Goldfarb 2005). Tarski hadde en versjon av definabilitetsteoremet uttrykt i typeteori (se Hodges 2008). Se Schiemer og Reck 2013.

Vi har objekter av type 0, for individer, objekter av type 1, for klasser av individer, objekter av type 2, for klasser av klasser av individer, og så videre. Funksjoner av to eller flere argumenter, som relasjoner, trenger ikke å bli inkludert blant primitive objekter siden man kan definere relasjoner til å være klasser av bestilte par, og bestilte par som klasser av klasser. For eksempel kan det bestilte paret individer a, b defineres som ({ {a }, {a, b } }) der ({x, y }) betegner klassen hvis eneste elementer er (x) og (y). (Wiener 1914 hadde antydet en lignende reduksjon av forholdet til klasser.) I dette systemet har alle proposisjoner formen ((a (b)), der (a) er et tegn på typen (n + 1) og (b) et tegn på typen (n). Dermed er dette systemet bygget på konseptet om en vilkårlig klasse eller undergruppe av objekter av et gitt domene, og på det faktum at samlingen av alle delmengder i det gitte domenet kan danne et nytt domene av neste type. Med utgangspunkt i et gitt domene av individer itereres denne prosessen. Som for eksempel understreket i Scott 1993, i setteori blir denne prosessen med å danne undergrupper itertert til transfinitten.

I disse versjonene av typeteori, som i setteori, er funksjoner ikke primitive objekter, men er representert som funksjonell relasjon. Tilleggsfunksjonen er for eksempel representert som en ternær relasjon av et objekt av typen ((i, i, i)). En elegant formulering av den enkle typeteorien som utvider den ved å introdusere funksjoner som primitive gjenstander ble gitt av Church i 1940. Den bruker notat (lambda) - calculus (Barendregt 1997). Siden en slik formulering er viktig i informatikk, for sammenhengen med kategoriteori, og for Martin-Löf type teori, beskriver vi den litt detaljert. I denne formuleringen blir predikater sett på som en spesiell type funksjoner (proposisjonsfunksjoner), en idé som går tilbake til Frege (se for eksempel Quine 1940). Dessuten,forestillingen om funksjon blir sett på som mer primitiv enn forestillingen om predikater og relasjoner, og en funksjon er ikke definert lenger som en spesiell type relasjon. (Oppenheimer og Zalta 2011 presenterer noen argumenter mot en slik primitiv representasjon av funksjoner.) Typene til dette systemet er definert induktivt som følger

  1. det er to grunntyper (i) (typen individer) og (o) (typen forslag)
  2. Hvis (A, B) er typer, er (A / høyre mark B), typen funksjoner fra (A) til (B), en type

Vi kan danne typene på denne måten:

(i / høyre høyre o) (type predikater)
((i / høyre m o) høyre m o) (type predikater av predikater)

som tilsvarer typene ((i)) og (((i))) men også de nye typene

(i / høyre mark i) (type funksjoner)
((i / høyre mark i) høyre mark i) (type funksjonalitet)

Det er praktisk å skrive

[A_1, / ldots, A_n / høyre pil B)

til

[A_1 / høyre pil (A_2 / høyre pil / ldots / høyre pil (A_n / høyre pil B)))

På denne måten

[A_1, / ldots, A_n / høyre m o)

tilsvarer typen ((A_1, / ldots, A_n)).

Første ordens logikk vurderer bare typer skjema

(i, / ldots, i / rightarrow i) (type funksjonssymboler), og
(i, / ldots, i / rightarrow o) (type predikat, relasjonssymboler)

Legg merke til det

[A / høyre pil B / høyre pil C)

står for

[A / høyre pil (B / høyre pil C))

(forening til høyre).

For vilkårene i denne logikken skal vi ikke følge Kirkens beretning, men en liten variasjon av den, på grunn av Curry (som hadde lignende ideer før Kirkens papir ble vist) og som presenteres i detalj i R. Hindleys bok om typeteori. I likhet med Church bruker vi (lambda) - kalkulus, som gir en generell notasjon for funksjoner

[M:: = x / mid MM / mid / lambda xM)

Her har vi brukt den såkalte BNF-notasjonen, veldig praktisk innen databehandling. Dette gir en syntaktisk spesifikasjon av (lambda) - termer som, når de utvides, betyr:

  • hver variabel er et funksjonssymbol;
  • hver sammenstilling av to funksjonssymboler er et funksjonssymbol;
  • hvert (lambda xM) er et funksjonssymbol;
  • det er ingen andre funksjonssymboler.

Notasjonen for funksjonsapplikasjon (MN) er litt annerledes enn den matematiske notasjonen, som vil være (M (N)). Generelt, [M_1 M_2 M_3)

står for

[(M_1 M_2) M_3)

(forening til venstre). Begrepet (lambda xM) representerer funksjonen som (N) knytter (M [x: = N)]. Denne notasjonen er så praktisk at man lurer på hvorfor den ikke er mye brukt i matematikk. Hovedligningen for (lambda) - kalkulus er da ((beta) - konvertering)

[(lambda xM) N = M [x: = N])

som uttrykker betydningen av (lambda xM) som en funksjon. Vi har brukt (M [x: = N)] som en notasjon for verdien av uttrykket som resulterer når (N) er erstattet med variabelen (x) i matrisen (M). Man ser vanligvis denne ligningen som en omskrivningsregel ((beta) - reduksjon)

[(lambda xM) N / høyre mark M [x: = N])

I ikke-skrevet lambda-kalkyle kan det være at slik omskriving ikke avsluttes. Det kanoniske eksemplet er gitt av begrepet (Delta = / lambda xx x) og applikasjonen

(Delta / Delta / høyre mark / Delta / Delta)

(Legg merke til likheten med Russells paradoks.) Ideen med Curry er da å se på typer som predikater over lambda-termer, skrive (M: A) for å uttrykke at (M) tilfredsstiller predikatet / typen (A). Meningen med

[N: A / høyre mark B)

er da

(forall M, / text {if} M: A / text {da} NM: B)

som begrunner følgende regler

(frac {N: A / rightarrow BM: A} {NM: B}) (frac {M: B [x: A]} { lambda xM: A / rightarrow B})

Generelt arbeider man med dommer av skjemaet

[x_1: A_1, …, x_n: A_n / vdash M: A)

der (x_1, …, x_n) er distinkte variabler, og (M) er et begrep som har alle frie variabler blant (x_1, …, x_n). For å kunne få Kirkens system legger man til noen konstanter for å danne proposisjoner. Typisk

ikke: (o / høyre høyre o)
antyde: (o / høyre mark o / høyre m o)
og: (o / høyre mark o / høyre m o)
for alle: ((A / høyre m o) høyre m o)

Begrepet

(lambda x. / neg (xx))

representerer predikatet til predikater som ikke gjelder seg selv. Dette begrepet har imidlertid ikke en type, det vil si at det ikke er mulig å finne (A) slik

(lambda x. / neg (xx): (A / høyre m o) høyre m o)

som er det formelle uttrykket for at Russells paradoks ikke kan uttrykkes. Leibniz likestilling

[Q: i / høyre mark i / høyre mark o)

vil bli definert som

[Q = / lambda x. / lambda y. / forall (lambda P. / antyd (P x) (P y)))

Man skriver vanligvis (forall x [M)] i stedet for (forall (lambda xM)), og definisjonen av (Q) kan deretter skrives om som

[Q = / lambda x. / Lambda y. / Forall P (antyd (P x) (P y)])

Dette eksemplet illustrerer igjen at vi kan formulere impredikative definisjoner i enkel type teori.

Bruken av (lambda) - termer og (beta) - reduksjon er mest praktisk for å representere de komplekse substitusjonsreglene som er nødvendige i enkel type teori. Hvis vi for eksempel vil erstatte predikatet (lambda xQ ax) for (P) i proposisjonen

(antyd (P a) (P b))

vi får

(antyd ((lambda xQ aks) a) ((lambda xQ ax) b))

og ved å bruke (beta) - reduksjon, (antyd (Q aa) (Q ab))

Oppsummert forbyr enkel type teori selvapplikasjon, men ikke sirkulariteten som er til stede i impredikative definisjoner.

The (lambda) - calculus formalism tillater også en tydeligere analyse av Russells paradoks. Vi kan se det som definisjonen av predikatet

[R x = / neg (xx))

Hvis vi tenker på (beta) - reduksjon som prosessen med å utfolde en definisjon, ser vi at det allerede er et problem med å forstå definisjonen av RR

[RR / høyre mark / neg (RR) høyre pil / neg (neg (RR)) høyre pil / ldots)

På en eller annen måte har vi en ikke-begrunnet definisjon, som er like problematisk som en selvmotsigelse (en proposisjon som tilsvarer dens negasjon). Et viktig teorem, normaliseringsteoremet, sier at dette ikke kan skje med enkle typer: hvis vi har (M: A) så er (M) normaliserbar på en sterk måte (enhver sekvens av reduksjoner som starter fra (M)) slutter).

For mer informasjon om dette emnet, henviser vi til oppføringen om Kirkens enkle teori.

3. Ramifiserte hierarki og imponerende prinsipper

Russell introduserte et annet hierarki, som ikke var motivert av noen formelle paradokser uttrykt i et formelt system, men snarere av frykten for "sirkularitet" og av uformelle paradokser som ligner løgnerens paradoks. Hvis en mann sier "Jeg lyver", har vi en situasjon som minner om Russells paradoks: et forslag som tilsvarer sin egen negasjon. En annen uformell slik paradoksal situasjon oppnås hvis vi definerer et heltall for å være det”minste heltal som ikke kan defineres med mindre enn 100 ord”. For å unngå slike uformelle paradokser, mente Russell det som nødvendig å innføre en annen type hierarki, det såkalte “forsterkede hierarkiet”. Behovet for et slikt hierarki antydes i vedlegg B til Russell 1903. Interessant nok henger dette sammen med spørsmålet om identiteten til likeverdige proposisjoner og det logiske produktet til en klasse av proposisjoner. En grundig diskusjon finner du i kapittel 10 i Russell 1959. Siden denne forestillingen om forsterket hierarki har vært ekstremt innflytelsesrik i logikk og spesielt bevisteori, beskriver vi den i noen detaljer.

For å motivere dette hierarkiet ytterligere, er dette ett eksempel på grunn av Russell. Hvis vi sier

Napoleon var korsikansk.

vi refererer ikke i denne setningen til noen samling av egenskaper. Eiendommen "å være korsikansk" sies å være predikativ. Hvis vi sier på den annen side

Napoleon hadde alle egenskapene til en stor general

vi viser til en helhet av kvaliteter. Egenskapen "å ha alle egenskapene til en stor general" sies å være imponerende.

Et annet eksempel, også fra Russell, viser hvordan imponerende egenskaper potensielt kan føre til problemer som minner om løgnerparadokset. Anta at vi foreslår definisjonen

En typisk engelskmann er en som besitter alle egenskapene som er besatt av et flertall av engelskmenn.

Det er tydelig at de fleste engelskmenn ikke har alle egenskapene som de fleste engelskmenn har. Derfor bør en typisk engelskmann, i henhold til denne definisjonen, være utypisk. Problemet, ifølge Russell, er at ordet “typisk” er blitt definert av en henvisning til alle egenskaper og har blitt behandlet som seg selv som en egenskap. (Det er oppsiktsvekkende at lignende problemer oppstår når vi definerer forestillingen om tilfeldige tall, jf. Martin-Löf “Notater om konstruktiv matematikk” (1970).) Russell introduserte det forsterkede hierarkiet for å håndtere den tilsynelatende sirkulariteten til slike impedikative definisjoner. Man bør gjøre et skille mellom førsteordens egenskaper, som å være korsikansk, som ikke refererer til helheten av egenskaper, og vurdere at andreordens egenskaper bare refererer til helheten av førsteordens egenskaper. Man kan deretter introdusere tredjeordens egenskaper, som kan referere til helheten av andreordens eiendommer, og så videre. Dette eliminerer helt klart alle sirkulariteter knyttet til impredikative definisjoner.

Omtrent samtidig utførte Poincaré en lignende analyse. Han understreket viktigheten av "predikative" klassifiseringer, og å ikke definere elementer i en klasse ved å bruke en kvantifisering over denne klassen (Poincaré 1909). Poincaré brukte følgende eksempel. Anta at vi har en samling med elementene 0, 1 og en operasjon + tilfredsstillende

(begynne {align} x + 0 & = 0 \\ x + (y + 1) & = (x + y) +1 / end {align})

La oss si at en egenskap er induktiv hvis den har 0 og holder for (x + 1) hvis den holder for (x).

En imponerende og potensielt "farlig" definisjon vil være å definere et element som skal være et tall hvis det tilfredsstiller alle induktive egenskaper. Det er da lett å vise at denne egenskapen "å være et tall" i seg selv er induktiv. Faktisk er 0 et tall siden det tilfredsstiller alle induktive egenskaper, og hvis (x) tilfredsstiller alle induktive egenskaper, gjør det også (x + 1). Tilsvarende er det enkelt å vise at (x + y) er et tall hvis (x, y) er tall. Egenskapen (Q (z)) som (x + z) er et tall er induktiv: (Q) (0) har siden (x + 0 = x) og hvis (x + z) er et tall, så er det (x + (z + 1) = (x + z) +1). Hele argumentet er imidlertid sirkulært siden egenskapen "å være et tall" ikke er predikativ og bør behandles med mistanke.

I stedet bør man introdusere et forsterket hierarki med egenskaper og tall. I begynnelsen har man bare førsteordens induktive egenskaper, som ikke i sine definisjoner henviser til en helhet av egenskaper, og man definerer antall rekkefølge 1 for å være elementene som tilfredsstiller alle førsteordens induktive egenskaper. Man kan deretter vurdere andreordens induktive egenskaper, som kan referere til samlingen av førsteordens egenskaper, og antall orden 2, som er elementene som tilfredsstiller de induktive egenskapene til orden 2. Man kan da på lignende måte vurdere antall ordre 3, og så videre. Poincaré understreker det faktum at et antall rekkefølge 2 er fortiori et antall rekkefølge 1, og mer generelt er et antall ordre (n + 1) fortiori et antall rekkefølge (n). Vi har dermed en sekvens med flere og mer begrensede egenskaper:induktive egenskaper i rekkefølge 1, 2, … og en sekvens av flere og mer begrensede samlinger av objekter: antall i rekkefølge 1, 2, … Også egenskapen "å være et antall ordre (n)" er i seg selv en induktiv ordensegenskap (n + 1).

Det ser ikke ut til å være mulig å bevise at (x + y) er et antall ordre (n) hvis (x, y) er ordrenummer (n). På den annen side er det mulig å vise at hvis (x) er et antall ordre (n + 1), og (y) et antall ordre (n + 1) så ((x + y) er et antall ordre (n). Egenskapen (P (z)) som "(x + z) er et antall ordre (n)" er en induktiv egenskap av ordre (n + 1: P) (0) holder siden (x + 0 = x) er et antall ordre (n + 1), og derav ordre (n), og hvis (P (z)) holder, er det hvis (x + z) er et antall ordre (n), så er det (x + (z + 1) = (x + z) +1), og så (P (z + 1)) holder. Siden (y) er et antall ordre (n + 1), og (P (z)) er en induktiv egenskap til orden (n + 1, holder P (y)) og så (x + y) er et antall ordre (n). Dette eksemplet illustrerer godt kompleksitetene introdusert av det forsterkede hierarkiet.

Kompleksitetene forsterkes ytterligere hvis man, som Russell som for Frege, definerer til og med grunnleggende objekter som naturlige tall som klasser. For eksempel er tallet 2 definert som klassen for alle klasser av individer som har nøyaktig to elementer. Vi får igjen naturlige antall forskjellige ordrer i det forsterkede hierarkiet. Foruten Russell selv, og til tross for alle disse komplikasjonene, prøvde Chwistek å utvikle aritmetikk på en forsterket måte, og interessen for en slik analyse ble understreket av Skolem. Se Burgess og Hazen 1998 for en nylig utvikling.

Et annet matematisk eksempel, ofte gitt, på en impredikativ definisjon er definisjonen av minst øvre grense av en avgrenset klasse med reelle tall. Hvis vi identifiserer en reell med settet med begrunnelser som er mindre enn dette reelle, ser vi at denne minste øvre grense kan defineres som foreningen av alle elementer i denne klassen. La oss identifisere undergrupper av begrunnelsene som predikater. For for eksempel rasjonelle tall (q, P (q)) holder iff (q) et medlem av undersettet som er identifisert som (P). Nå definerer vi predikatet (L_C) (en delmengde av begrunnelsene) for å være den minste øvre grensen av klassen (C) som:

(forall q [L_C (q) leftrightarrow / exist P [C (P) kil P (q)])

som er imponerende: vi har definert et predikat (L) ved en eksistensiell kvantifisering over alle predikater. I det forsterkede hierarkiet, hvis (C) er en klasse av førsteordens klasser av rasjonelle, vil (L) være en andreordens klasse av rasjonaler. Man oppnår da ikke en forestilling eller reelle tall, men reelle antall forskjellige ordrer 1, 2, … Den minste øvre grense av en samling realer av rekkefølge 1 vil da være minst rekkefølge 2 generelt.

Som vi så tidligere, er enda et eksempel på en impredikativ definisjon gitt av Leibniz 'definisjon av likhet. For Leibniz er predikatet “lik (a)” sant for (b) iff (b) tilfredsstiller alle predikatene som er tilfreds med (a).

Hvordan skal man takle komplikasjonene introdusert av det forsterkede hierarkiet? Russell viste i innledningen til den andre utgaven til Principia Mathematica at disse komplikasjonene i noen tilfeller kan unngås. Han trodde til og med, i vedlegg B til den andre utgaven av Principia Mathematica, at det forsterkede hierarkiet av naturlige antall i orden 1,2, … kollapser i rekkefølge 5. Imidlertid fant Gödel senere et problem i sin argumentasjon, og det var vist av Myhill 1974 at dette hierarkiet faktisk ikke kollapser på noe endelig nivå. Et lignende problem,diskutert av Russell i innledningen til den andre utgaven til Principia Mathematica oppstår i beviset på Cantors teorem om at det ikke kan være noen injiserende funksjoner fra samlingen av alle predikater til samlingen av alle objekter (versjonen av Russells paradoks i Freges system som vi presentert i innledningen). Kan dette gjøres i et forsterket hierarki? Russell tvilte på at dette kunne gjøres innenfor et forsterket hierarki av predikater, og dette ble faktisk bekreftet senere (Heck 1996).

På grunn av disse problemene introduserte Russell og Whitehead i den første utgaven av Principia Mathematica følgende reduksjonsaksiom: hierarkiet til predikater, første-orden, andre-orden, etc., kollapser på nivå 1. Dette betyr at for ethvert predikat av noen ordre, er det et predikat av førsteordens nivå som tilsvarer det. I tilfelle av likhet, for eksempel, postulerer vi et førsteordens forhold “(a = b)” som tilsvarer “(a) tilfredsstiller alle egenskaper som (b) tilfredsstiller”. Motivasjonen for dette aksiomet var rent pragmatisk. Uten det er alle grunnleggende matematiske forestillinger, som reelle eller naturlige tall, lagdelt i forskjellige rekkefølge. Til tross for tilsynelatende sirkularitet av impredicative definisjoner, ser ikke ut til at reduksjonens aksiom fører til inkonsekvenser.

Som imidlertid først ble lagt merke til av Chwistek, og senere av Ramsey, i nærvær av reduseringsmomentet, er det faktisk ikke noe poeng i å innføre det forsterkede hierarkiet i det hele tatt! Det er mye enklere å akseptere impredikative definisjoner fra starten av. Det enkle "ekstensjonelle" hierarkiet av individer, klasser, klasser, … er da nok. Vi får på denne måten de enklere systemene som ble formalisert i Gödel 1931 eller Church 1940 som ble presentert ovenfor.

Axiom av reduserbarhet vekker oppmerksomhet til den problematiske statusen til impredicative definisjoner. For å sitere Weyl 1946, er reduksjonsaksiomet et dristig, et nesten fantastisk aksiom; det er liten begrunnelse for det i den virkelige verdenen vi lever i, og overhodet ikke i bevisene som vårt sinn bygger sine konstruksjoner på”! Foreløpig er det ikke funnet noen motsetninger ved bruk av reduserbarhetsaksiomet. Som vi skal se nedenfor, bekrefter imidlertid teoretiske undersøkelser den ekstreme styrken til et slikt prinsipp.

Ideen om det forsterkede hierarkiet har vært ekstremt viktig i matematisk logikk. Russell vurderte bare den endelige iterasjonen av hierarkiet: første-orden, andre-orden, etc., men fra begynnelsen ble muligheten for å utvide forgrensningen transfinitely vurdert. Poincaré (1909) nevner arbeidet til Koenig i denne retningen. For eksemplet over med tall i forskjellig rekkefølge, definerer han også et tall som skal være induktiv av rekkefølge (omega) hvis det er induktiv av alle endelige ordrer. Han påpeker da at x + y er induktiv av rekkefølge (omega) hvis både (x) og (y) er. Dette viser at innføring av transfinite-ordre i noen tilfeller kan spille rollen som reduseringsmomentets aksiom. Slik transfinitt-utvidelse av det forsterkede hierarkiet ble analysert ytterligere av Gödel som la merke til det viktigste faktum at følgende form for reduksjonsaksiom faktisk kan bevises: når man utvider det forsterkede hierarkiet med egenskaper over de naturlige tallene til det transfinite, faller dette hierarkiet sammen på nivå (omega_1), den minst utellelige ordinære (Gödel 1995, og Prawitz 1970). Videre, mens samlingen av predikater på alle nivåer (lt / omega_1) er tellbar, er samlingen av predikater på nivå (omega_1) av kardinalitet (omega_1). Dette faktum var en sterk motivasjon bak Gödels modell av konstruerbare sett. I denne modellen er samlingen av alle delmengder av settet med naturlige tall (representert ved predikater) av kardinalitet (omega_1) og ligner på det forsterkede hierarkiet. Denne modellen tilfredsstiller på denne måten Continuum Hypothesis, og gir et relativt konsistensbevis for dette aksiomet. (Motivet til Gödel var opprinnelig bare å bygge en modell der samlingen av alle undergrupper med naturlige tall er velordnet.)

Det forsterkede hierarkiet har også vært kilden til mye arbeid innen bevisteori. Etter funnet av Gentzen at konsistensen av aritmetikk kunne bevises ved transfinitt induksjon (over avgjørbare predikater) langs ordinalen (varepsilon_0), var det naturlige spørsmålet å finne den korresponderende ordinalen for de forskjellige nivåene i det forsterkede hierarkiet. Schütte (1960) fant ut at for det første nivået i det forsterkede hierarkiet, det vil si hvis vi utvider aritmetikk ved bare å kvantifisere over førsteordens egenskaper, får vi et system med ordinal styrke (varepsilon _ { varepsilon_0}). For det andre nivået får vi ordinalstyrken (varepsilon _ { varepsilon_ { varepsilon_0}}), etc. Vi husker at (varepsilon _ { alpha}) betegner (alpha) - th (varepsilon) - ordinært nummer,an (varepsilon) - ordinært antall er et ordinært (beta) slik at (omega ^ { beta} = / beta), se Schütte (1960).

Gödel understreket det faktum at hans tilnærming til problemet med kontinuumhypotesen ikke var konstruktiv, siden den trenger den utellelige ordinalen (omega_1), og det var naturlig å studere det forsterkede hierarkiet langs konstruktive ordinaler. Etter forarbeid av Lorenzen og Wang, analyserte Schütte hva som skjer hvis vi fortsetter på den mer konstruktive måten. Siden aritmetikk har for ordinal styrke (varepsilon_0) vurderer vi først iterasjonen av det forsterkede hierarkiet opp til (varepsilon_0). Schütte beregnet ordinalstyrken til det resulterende systemet og fant en ordinær styrke (u (1) gt / varepsilon_0). Vi itererer deretter ramifiserte hierarki opp til denne ordinalen (u (1)) og får et system med ordinær styrke (u (2) gt u (1)) osv. Hver (u (k)) kan beregnes i form av det såkalte Veblen-hierarkiet:(u (k + 1)) er (phi_ {u (k)} (0)). Grensen for denne prosessen gir en ordinal kalt (Gamma_0): hvis vi itererer det forsterkede hierarkiet opp til ordinalen (Gamma_0), får vi et system med ordinær styrke (Gamma_0). En slik ordinal ble oppnådd uavhengig omtrent samme tid av S. Feferman. Det er blitt hevdet at (Gamma_0) spiller for predikative systemer en rolle som ligner på (varepsilon_0) for aritmetikk. Nyere bevisteoretiske arbeider dreier seg imidlertid om systemer som har større bevisteoretiske ordiner som kan betraktes som predikative (se for eksempel Palmgren 1995). Det er blitt hevdet at (Gamma_0) spiller for predikative systemer en rolle som ligner på (varepsilon_0) for aritmetikk. Nyere bevisteoretiske arbeider dreier seg imidlertid om systemer som har større bevisteoretiske ordiner som kan betraktes som predikative (se for eksempel Palmgren 1995). Det er blitt hevdet at (Gamma_0) spiller for predikative systemer en rolle som ligner på (varepsilon_0) for aritmetikk. Nyere bevisteoretiske arbeider dreier seg imidlertid om systemer som har større bevisteoretiske ordiner som kan betraktes som predikative (se for eksempel Palmgren 1995).

Foruten disse bevisteoretiske undersøkelsene relatert til det forsterkede hierarkiet, har det blitt lagt ned mye arbeid i bevisteorien for å analysere konsistensen til reduksjonsaksiomet, eller tilsvarende konsistensen av impredikative definisjoner. Etter Gentzens analyse av egenskapen til kutteliminering i den sekvensielle beregningen fant Takeuti en elegant sekvensformulering av enkel type teori (uten forgrenning) og la den dristige formodningen som kutteliminering skulle inneholde for dette systemet. Denne antagelsen virket til å begynne med ekstremt tvilsom med tanke på sirkulariteten til impregnerende kvantifisering, noe som reflekteres godt i denne formalismen. Regelen for kvantifiseringer er faktisk

(frac { Gamma / vdash / forall X [A (X)]} { Gamma / vdash A [X: = T]})

hvor (T) er et hvilket som helst begrep predikat, som i seg selv kan innebære en kvantifisering over alle predikater. Dermed kan formelen (A [X: = T]) i seg selv være mye mer sammensatt enn formelen (A (X)).

Et tidlig resultat er at eliminering av Takeutis impredicative system på en finitisk måte innebærer konsistensen av annenordens aritmetikk. (Den ene viser at dette innebærer konsistensen av en passende form for uendelig aksiom, se Andrews 2002.) Etter arbeid fra Schütte, ble det senere vist av W. Tait og D. Prawitz at faktisk den kuttede eliminasjonsegenskapen har (beviset på Dette må bruke et sterkere bevisteoretisk prinsipp, som det skal være i henhold til ufullstendighetsteoremet.)

Det som er viktig her er at disse studiene har avslørt den ekstreme kraften til impregnerende kvantifisering eller, tilsvarende, den ekstreme kraften til reduksjonsaksen. Dette bekrefter på noen måte intuisjonene til Poincaré og Russell. Den bevisteoretiske styrken til andreordens aritmetikk er langt over alle forsterkede utvidelser av aritmetikk vurdert av Schütte. På den annen side, til tross for sirkulariteten til impredikative definisjoner, som er gjort så eksplisitte i Takeutis kalkyle, er det ennå ikke funnet noen paradokser i annenrangs aritmetikk.

En annen forskningsretning i bevisteori har vært å forstå hvor mye av impregnerende kvantifisering som kan forklares ut fra prinsipper som er tilgjengelige i intuisjonistisk matematikk. De sterkeste slike prinsipper er sterke former for induktive definisjoner. Med slike prinsipper kan man forklare en begrenset form for en impregnerende kvantifisering, kalt (Pi_ {1} ^ 1) - forståelse, der man bare bruker ett nivå av impedikativ kvantifisering over predikater. Interessant nok kan nesten alle kjente bruksområder for imponerende kvantifiseringer: likestilling av Leibniz, minst øvre grense osv. Gjøres med (Pi_ {1} ^ 1) - forståelse. Denne reduksjonen av (Pi_ {1} ^ 1) - forståelse ble først oppnådd av Takeuti på en ganske indirekte måte, og ble senere forenklet av Buchholz og Schütte ved å bruke den såkalte (Omega) - regelen. Det kan sees på som en konstruktiv forklaring av noen begrensede, men ikke-trivielle, bruksområder av impredikative definisjoner.

4. Skriv inn teori / sett teori

Type teori kan brukes som et fundament for matematikk, og faktisk ble den presentert som sådan av Russell i hans 1908-papir, som dukket opp samme år som Zermelos papir, og presenterte setteori som et grunnlag for matematikk.

Det er intuitivt klart hvordan vi kan forklare typeteori i settteori: en type blir ganske enkelt tolket som et sett, og funksjonstyper (A / høyre mark B) kan forklares ved å bruke settteoretisk forestilling om funksjon (som en funksjonell relasjon, dvs. et sett med par elementer). Typen (A / høyre mark o) tilsvarer kraftsettoperasjonen.

Den andre retningen er mer interessant. Hvordan kan vi forklare forestillingen om sett i form av typer? Det er en elegant løsning, på grunn av A. Miquel, som utfyller tidligere verk av P. Aczel (1978) og som også har fordelen med å forklare ikke nødvendigvis velbegrunnede sett a la Finsler. Man tolker ganske enkelt et sett som en spiss graf (der pilen i grafen representerer medlemsforholdet). Dette er veldig praktisk representert i typeteori, hvor en spiss graf ganske enkelt er gitt av en type A og et par elementer

[a: A, R: A / høyre mark A / høyre pil o)

Vi kan da definere i typeteori når to slike sett (A, a, R) og (B, b, S) er like: Dette er tilfellet hvis det er en bisimulering (T) mellom (A) og (B) slik at (Tab) holder. En bisimulering er en relasjon

[T: A / høyre høyre B / høyre m o)

slik at når (Txy) og (Rxu) holder, eksisterer det (v) slik at (Tuv) og (Syv) holder, og når (Txy) og (Ryv) hold, det finnes (u) slik at (Tuv) og (Rxu) holder. Vi kan da definere medlemsforholdet: settet representert (B, b, S) er et medlem av settet representert med (A, a, R) hvis det finnes (a_1) slik at (Ra_1a) og (A, a_1, R) og (B, b, S) er bisimilar.

Det kan så sjekkes at alle de vanlige aksiomene for utvidelsesset teori, maktsett, forening, forståelse over begrensede formler (og til og med antifundering, slik at medlemsforholdet ikke trenger å være velbegrunnet) holder i denne enkle modellen. (En avgrenset formel er en formel der alle kvantifiseringer er av formen (alt x / i a / ldots) eller (eksisterer x / i a / ldots)). På denne måten kan det vises at kirkens enkle teori er likeverdig med den begrensede versjonen av Zermelos setteori.

5. Type teori / kategoriteori

Det er dype sammenhenger mellom typeteori og kategoriteori. Vi begrenser oss til å presentere to bruksområder av typeteori til kategoriteori: konstruksjonene av den gratis kartesiske lukkede kategorien og de gratis toposene (se oppføringen om kategoriteori for en forklaring av “kartesisk lukket” og “topos”).

For å bygge den gratis kartesiske lukkede kategorien, utvider vi enkel typeteori med typen 1 (enhetstype) og produkttypen (A / ganger B), for (A, B) typer. Begrepene utvides ved å legge til sammenkoblingsoperasjoner og projeksjoner og et spesielt element av type 1. Som i Lambek og Scott 1986, kan man da definere en forestilling om maskinskrevne konverteringer mellom begrep, og vise at denne relasjonen er avgjørbar. Man kan da vise (Lambek og Scott 1986) at kategorien med typer som objekter og som morfismer fra (A) til (B) settet med lukkede vilkår av typen (A / høyre høyre B) (med konvertering som likhet) er den gratis kartesiske lukkede kategorien. Dette kan brukes til å vise at likhet mellom pilene i denne kategorien kan avgjøres.

Teorien om kirkens typer kan også brukes til å bygge de gratis topoene. For dette tar vi som objekter par (A, E) med (A) type og (E) en delvis ekvivalensrelasjon, det vil si et lukket begrep (E: A / høyre høyre A / høyre høyre o) som er symmetrisk og transitive. Vi tar som morfismer mellom (A, E) og (B, F) relasjonene (R: A / høyre mark B / høyre pil o) som er funksjonelle som er slik at for alle (a: A) tilfredsstillende (Ea) det finnes ett, og bare ett (modulo (F)) element (b) av (B) slik at (F bb) og (R ab). For delobjektklassifiseringen tar vi paret (o, E) med (E: o / høyre høyre o / høyre pil o) definert som

[EMN = / tekst {og} (anty \, MN) (anty \, NM))

Man kan da vise at denne kategorien danner en topos, faktisk gratis topos.

Det skal bemerkes at typeteorien i Lambek og Scott 1986 bruker en variant av typeteori, introdusert av Henkin og raffinert av P. Andrews (2002) som skal ha en ekstensjonell likhet som det eneste logiske bindemiddel, dvs. en polymorf konstant

(text {ekv}: A / høyre mark A / høyre høyre o)

og å definere alle logiske tilkoblinger fra dette bindemiddel og konstanter (T, F: o). For eksempel definerer man

(forall P = _ {df} text {ekv} (lambda xT) P)

Likheten ved type (o) er logisk ekvivalens.

En fordel med intensjonsformuleringen er at den gir mulighet for en direkte notering av bevis basert på (lambda) - kalkulus (Martin-Löf 1971 og Coquand 1986).

6. Utvidelser av typesystem, polymorfisme, paradokser

Vi har sett analogien mellom operasjonen A (høyre mark) A (høyre pil) o på typer og kraftsettoperasjonen på sett. I settteorien kan kraftsettoperasjonen itereres transfinitt langs det kumulative hierarkiet. Det er da naturlig å se etter analoge transfinite versjoner av typeteori.

En slik utvidelse av Kirkens enkle type teori oppnås ved å legge til universer (Martin-Löf 1970). Å legge til et univers er en refleksjonsprosess: vi legger til en type (U) hvis objekter er de typene som er vurdert så langt. For Kirkens enkle type teori vil vi ha

[o: U, i: U / text {og} A / høyre mark B: U / text {if} A: U, B: U)

og dessuten (A) er en type hvis (A: U). Vi kan da vurdere typer som f.eks

[(A: U) høyre mark A / høyre pil A)

og funksjoner som

(text {id} = / lambda A. / lambda xx: (A: U) høyre pil A / høyre pil A)

Funksjons-IDen tar som argument en "liten" type (A: U) og et element (x) av typen (A), og sender ut et element av typen (A). Mer generelt hvis (T (A)) er en type under antagelsen (A: U), kan man danne den avhengige typen

[(A: U) høyre høyre T (A))

At (M) er av denne typen betyr at (MA: T (A)) når (A: U). Vi får på denne måten utvidelser av typeteori hvis styrke er lik den av Zermelos setteori (Miquel 2001). Mer kraftfull form for universer blir vurdert i (Palmgren 1998). Miquel (2003) presenterer en versjon av typeteori om styrke som tilsvarer den av Zermelo-Fraenkel.

En veldig sterk form for universet oppnås ved å legge til aksiom (U: U). Dette ble foreslått av P. Martin-Löf i 1970. JY Girard viste at den resulterende typeteorien er inkonsekvent som et logisk system (Girard 1972). Selv om det først ser ut til at man direkte kunne reprodusere Russells paradoks ved å bruke et sett med alle sett, er et slikt direkte paradoks faktisk ikke mulig på grunn av forskjellen mellom sett og typer. Faktisk er avledningen av en selvmotsigelse i et slikt system subtil og har vært ganske indirekte (selv om den, som lagt merke til i Miquel 2001, nå kan reduseres til Russells paradoks ved å representere sett som spisse grafer). JY Girard fikk først sitt paradoks for et svakere system. Dette paradokset ble foredlet senere (Coquand 1994 og Hurkens 1995). (Forestillingen om rent type system, introdusert i Barendregt 1992,er praktisk for å få en skarp formulering av disse paradoksene.) I stedet for aksiomet (U: U) antar man bare

[(A: U) høyre mark T (A): U)

if (T (A): U [A: U]). Legg merke til sirkulariteten, faktisk av samme art som den som blir avvist av det forsterkede hierarkiet: vi definerer et element av typen (U) ved å kvantifisere over alle elementene i (U). For eksempel typen

[(A: U) høyre mark A / høyre pil A: U)

vil være typen polymorf identitetsfunksjon. Til tross for denne sirkulariteten, var JY Girard i stand til å vise normalisering for typesystemer med denne formen for polymorfisme. Imidlertid er utvidelsen av Kirkens enkle typeteori med polymorfisme inkonsekvent som et logisk system, dvs. at alle proposisjoner (termer av type o) er påviselige.

JY Girards motivasjon for å vurdere et typesystem med polymorfisme var å utvide Gödel's Dialectica (Gödel 1958) -tolkning til annenordens aritmetikk. Han beviste normalisering ved bruk av reduserbarhetsmetoden, som hadde blitt introdusert av Tait (1967) mens han analyserte Gödel 1958. Det er ganske bemerkelsesverdig at sirkulariteten som ligger i impredikativitet ikke resulterer i ikke-normaliserbare vilkår. (Girards argument ble deretter brukt for å vise at avskåret eliminering avsluttes i Takeutis sekvensberegning presentert ovenfor.) Et lignende system ble introdusert uavhengig av J. Reynolds (1974) mens han analyserte forestillingen om polymorfisme i informatikk.

Martin-Löfs introduksjon av en type av alle typer kommer fra identifiseringen av begrepet proposisjoner og typer, foreslått av arbeidet til Curry og Howard. Det er verdt å huske her hans tre motiverende punkter:

  1. Russells definisjon av typer som betydningsområder for proposisjonsfunksjoner
  2. det faktum at man må kvantifisere over alle proposisjoner (impredicativity of simple type theory)
  3. identifisering av proposisjoner og typer

Gitt (1) og (2) skal vi ha en type proposisjoner (som i enkel type teori), og gitt (3) bør dette også være typen av alle typer. Girards paradoks viser at man ikke kan ha (1), (2) og (3) samtidig. Martin-Löfs valg var å ta bort (2) og begrense typeteorien til å være predikativ (og begrepet univers dukket faktisk opp først i typeteorien som en predikativ versjon av typen alle typer). Det alternative valget om å ta bort (3) er diskutert i Coquand 1986.

7. Univalent stiftelser

Forbindelsene mellom typeteori, setteori og kategoriteori får et nytt lys gjennom arbeidet med Univalent Foundations (Voevodsky 2015) og Axiom of Univalence. Dette innebærer på en essensiell måte utvidelsen av typeteorien beskrevet i forrige seksjon, spesielt avhengige typer, synet på proposisjoner som typer og forestillingen om univers av typer. Denne utviklingen er også relevant for å diskutere forestillingen om struktur, hvor viktigheten for eksempel ble understreket i Russell 1959.

Martin-Löf 1975 [1973] introduserte en ny grunnleggende type (mathbf {Id} _A (a, b)), hvis (a) og (b) er i typen (A), som kan tenkes som typen likhetsbevis for elementet (a) og (b). Et viktig trekk ved denne nye typen er at den kan iteres, slik at vi kan vurdere typen (mathbf {Id} _ { mathbf {Id} _A (a, b)} (p, q)) hvis (p) og (q) er av typen (mathbf {Id} _A (a, b)). Hvis vi tenker på en type som en spesiell type sett, er det naturlig å anta at en slik type likhetssikkerhet alltid er bebodd for to likestillingsbevis (p) og (q). Intuitivt ser det ut til å være et likestillingstegn mellom to elementer (a) og (b). Overraskende designet Hofmann og Streicher 1996 en modell for avhengig type teori der denne ikke er gyldig,det er en modell der de kan være forskjellige bevis på at to elementer er like. I denne modellen blir en type tolket av en gruppoid og typen (mathbf {Id} _A (a, b)) av settet med isomorfismer mellom (a) og (b), sett som kan har mer enn ett element. Eksistensen av denne modellen får den konsekvens at det generelt ikke kan bevises i typeteori at en likhetstype har høyst ett element. Denne gruppoidetolkningen er blitt generalisert på følgende måte, noe som gir en intuitiv tolkning av identitetstypen. En type tolkes av et topologisk rom, opp til homotopi, og en type (mathbf {Id} _A (a, b)) tolkes av typen stier som forbinder (a) og (b). (Se Awodey et al. 2013 og [HoTT 2013, andre internettressurser].)en type blir tolket av en gruppoid og typen (mathbf {Id} _A (a, b)) av settet med isomorfismer mellom (a) og (b), sett som kan ha mer enn en element. Eksistensen av denne modellen får den konsekvens at det generelt ikke kan bevises i typeteori at en likhetstype har høyst ett element. Denne gruppoidetolkningen er blitt generalisert på følgende måte, noe som gir en intuitiv tolkning av identitetstypen. En type tolkes av et topologisk rom, opp til homotopi, og en type (mathbf {Id} _A (a, b)) tolkes av typen stier som forbinder (a) og (b). (Se Awodey et al. 2013 og [HoTT 2013, andre internettressurser].)en type blir tolket av en gruppoid og typen (mathbf {Id} _A (a, b)) av settet med isomorfismer mellom (a) og (b), sett som kan ha mer enn en element. Eksistensen av denne modellen får den konsekvens at det generelt ikke kan bevises i typeteori at en likhetstype har høyst ett element. Denne gruppoidetolkningen er blitt generalisert på følgende måte, noe som gir en intuitiv tolkning av identitetstypen. En type tolkes av et topologisk rom, opp til homotopi, og en type (mathbf {Id} _A (a, b)) tolkes av typen stier som forbinder (a) og (b). (Se Awodey et al. 2013 og [HoTT 2013, andre internettressurser].)Eksistensen av denne modellen får den konsekvens at det generelt ikke kan bevises i typeteori at en likhetstype har høyst ett element. Denne gruppoidetolkningen er blitt generalisert på følgende måte, noe som gir en intuitiv tolkning av identitetstypen. En type tolkes av et topologisk rom, opp til homotopi, og en type (mathbf {Id} _A (a, b)) tolkes av typen stier som forbinder (a) og (b). (Se Awodey et al. 2013 og [HoTT 2013, andre internettressurser].)Eksistensen av denne modellen får den konsekvens at det generelt ikke kan bevises i typeteori at en likhetstype har høyst ett element. Denne gruppoidetolkningen er blitt generalisert på følgende måte, noe som gir en intuitiv tolkning av identitetstypen. En type tolkes av et topologisk rom, opp til homotopi, og en type (mathbf {Id} _A (a, b)) tolkes av typen stier som forbinder (a) og (b). (Se Awodey et al. 2013 og [HoTT 2013, andre internettressurser].)b)) tolkes av typen stier som forbinder (a) og (b). (Se Awodey et al. 2013 og [HoTT 2013, andre internettressurser].)b)) tolkes av typen stier som forbinder (a) og (b). (Se Awodey et al. 2013 og [HoTT 2013, andre internettressurser].)

Voevodsky 2015 introduserte følgende stratifisering av typer. (Denne stratifiseringen ble delvis motivert av denne tolkningen av en type som et topologisk rom, men kan forstås direkte uten henvisning til denne tolkningen.) Vi sier at en type (A) er et forslag hvis vi har (mathbf {Id} _A (a, b)) for ethvert element (a) og (b) til (A) (dette betyr at typen (A) har høyst ett element). Vi sier at en type (A) er et sett hvis typen (mathbf {Id} _A (a, b)) er et forslag for ethvert element (a) og (b) til (EN). Vi sier at en type (A) er en gruppeoid hvis typen (mathbf {Id} _A (a, b)) er et sett for ethvert element (a) og (b) til (EN). Begrunnelsen for denne terminologien er at det bare kan vises ved bruk av typeteoriens regler at en slik type faktisk kan sees på som en gruppoid i vanlig kategorisk forstand,der objektene er elementene av denne typen, blir settet med morfismer mellom (a) og (b) representert med settet (mathbf {Id} _A (a, b)). Sammensetningen er beviset på likhetens transitivitet, og identitetsmorfismen er beviset på likeverdighetens refleksivitet. At hver morfisme har en omvendt tilsvarer det faktum at identitet er en symmetrisk relasjon. Denne stratifiseringen kan deretter utvides, og vi kan definere når en type er en 2-gruppoid, 3-gruppoid og så videre. I dette synet fremstår typeteori som en omfattende generalisering av settteorien, siden et sett er en spesiell type type.og identitetsmorfismen er beviset på likeverdighetens refleksivitet. At hver morfisme har en omvendt tilsvarer det faktum at identitet er en symmetrisk relasjon. Denne stratifiseringen kan deretter utvides, og vi kan definere når en type er en 2-gruppoid, 3-gruppoid og så videre. I dette synet fremstår typeteori som en omfattende generalisering av settteorien, siden et sett er en spesiell type type.og identitetsmorfismen er beviset på likeverdighetens refleksivitet. At hver morfisme har en omvendt tilsvarer det faktum at identitet er en symmetrisk relasjon. Denne stratifiseringen kan deretter utvides, og vi kan definere når en type er en 2-gruppoid, 3-gruppoid og så videre. I dette synet fremstår typeteori som en omfattende generalisering av settteorien, siden et sett er en spesiell type type.

Voevodsky 2015 introduserer også en forestilling om ekvivalens mellom typer, en forestilling som generaliserer forestillingene om logisk ekvivalens mellom proposisjoner, kombinasjon av sett, kategorisk ekvivalens mellom gruppoider, og så videre. Vi sier at et kart (f: A / høyre mark B) er en ekvivalens hvis for et element (b) i (B) typen par (a, p) der (p)) er av typen (mathbf {Id} _B (fa, b)), er en proposisjon og er bebodd. Dette uttrykker på en sterk måte at et element i (B) er bildet av nøyaktig ett element i (A), og hvis (A) og (B) er sett, gjenoppretter vi den vanlige oppfatningen av blanding mellom sett. (Generelt hvis (f: A / høyre mark B) er en ekvivalens, har vi et kart (B / høyre høyre A)), som kan tenkes å være det inverse av (f).) Det kan for eksempel vises at identitetskartet alltid er en ekvivalens. La (text {Equiv} (A, B)) være typen par (f, p) der (f: A / høyre mark B) og (p) er et bevis på at (f) er en ekvivalens. Ved å bruke det faktum at identitetskartet er en ekvivalens, har vi et element av (text {Equiv} (A, A)) for enhver type (A). Dette innebærer at vi har et kart

(mathbf {Id} _U (A, B) høyre høyre / text {Equiv} (A, B))

og Axiom of Univalence uttaler at dette kartet er en ekvivalens. Spesielt har vi implikasjonen

(text {Equiv} (A, B) høyre høyre / mathbf {Id} _U (A, B))

og hvis det er en ekvivalens mellom to små typer, så er disse typene like.

Dette aksiomet kan sees på som en sterk form for utvidelsesprinsippet. Det generaliserer faktisk Axiom av proposisjonell ekstensjonalitet nevnt av Church 1940, som sier at to logisk likeverdige proposisjoner er like. Overraskende innebærer det også Axiom of function extensions, Axiom 10 i Church 1940, som sier at to poengvise like funksjoner er like (Voevodsky 2015). Det innebærer også direkte at to isomorfe sett er like, at to kategorisk ekvivalente gruppoider er like, og så ett.

Dette kan brukes til å gi en formulering av forestillingen om transport av strukturer (Bourbaki 1957) langs ekvivalenser. La (MA) for eksempel være typen monoidstrukturer på settet (A): dette er typen tuples (m, e, p) der (m) er en binær operasjon på (A) og (e) et element i (A) og (p) et bevis på at disse elementene tilfredsstiller de vanlige monoidelovene. Regelen om substitusjon av like med like er i form

(mathbf {Id} _U (A, B) høyre høyre MA / høyre pil MB)

Hvis det er en blanding mellom (A) og (B), er de like med Axiom of Univalence, og vi kan bruke denne implikasjonen til å transportere enhver monoidstruktur av (A) i en monoidestruktur av (B).

Vi kan også bruke denne rammen for å avgrense diskusjonen om Russell 1959 om forestillingen om struktur. La for eksempel Monoid være typen par (A, p) der (p) er et element av (MA). To slike par (A, p) og (B, q) er isomorfe hvis det finnes en bijeksjon (f) fra (A) til (B) slik at (q) er lik transporten av strukturen til (p) langs (f). En konsekvens av Axiom of Univalence er at to isomorfe elementer av typen Monoider like, og deler derfor de samme egenskapene. Legg merke til at en slik generell transport av egenskaper ikke er mulig når strukturer formuleres i et sett teoretisk rammeverk. I et settteoretisk rammeverk er det faktisk mulig å formulere egenskaper ved å bruke medlemsforholdene, for eksempel egenskapen som bærersettet til strukturen inneholder det naturlige tallet (0), egenskap som ikke er bevart generelt av isomorfismer. Intuitivt er den teoretiske beskrivelsen av en struktur ikke abstrakt nok siden vi kan snakke om hvordan denne strukturen er bygget opp. Denne forskjellen mellom setteori og typeteori er nok en illustrasjon av karakteriseringen av J. Reynolds 1983 av en typestruktur som en "syntaktisk disiplin for å håndheve abstraksjonsnivå".

Bibliografi

  • Aczel, P., 1978, “Type teoretisk tolkning av konstruktiv settteori”, Logic Colloquium '77, Amsterdam: Nord-Holland, 55–66.
  • Andrews, P., 2002, En introduksjon til matematisk logikk og typeteori: til sannhet gjennom bevis (Applied Logic Series: Volume 27), Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, andre utgave.
  • Awodey, S., Pelayo, A., Warren, M. 2013, “The Axiom of Univalence in Homotopy Type Theory”, Notices of the American Mathematical Society, 60 (9): 1157–1164.
  • Barendregt, H., 1997, “The impact of the lambda calculus in logic and computer science”, Bulletin of Symbolic Logic, 3 (2): 181–215.
  • –––, 1992, Lambda calculi med typer. Handbook of logic in computer science, bind 2, Oxford, New York: Oxford University Press, 117–309.
  • Bell, JL, 2012, “Typer, sett og kategorier”, i Akihiro Kanamory Handbook of the Logic History. Volum 6: Sett og utvidelser i det tjuende århundre, Amsterdam: Nord-Holland.
  • Bourbaki, N., 1958, Théorie des Ensembles, 3. utgave, Paris: Hermann.
  • de Bruijn, NG, 1980, “En undersøkelse av prosjektet AUTOMATH”, i To HB Curry: essays on combinatory logic, lambda calculus and formalism, London-New York: Academic Press, 579–606.
  • Burgess JP og Hazen AP, 1998, “Predicative Logic and Formal Arithmetic Source,” Notre Dame J. Formal Logic, 39 (1): 1–17.
  • Buchholz, W. og K. Schütte, 1988, Proof theory of impredicative undersystem of analysis (Studies in Proof Theory: Monograph 2), Napoli: Bibliopolis.
  • Church, A., 1940, "En formulering av den enkle teorien om typer," Journal of Symbolic Logic, 5: 56–68
  • ––– 1984, “Russells teori om proposisjoners identitet,” Philosophia Naturalis, 21: 513–522
  • Chwistek, L., 1948, The Limits of Science: Outline of Logic and of the Methodology of the Exact Sciences, London: Routledge og Kegan Paul.
  • Coquand, T., 1986, "En analyse av Girards paradoks," Proceedings of IEEE Symposium on Logic in Computer Science, 227–236.
  • –––, 1994, "Et nytt paradoks i typeteori," Stud. Logikk funnet. Matte. (Volum 134), Amsterdam: Nord-Holland, 555–570.
  • du Bois-Reymond, P., 1875, “Ueber asymptotische Werthe, infintaere Appproximationen und infitaere Aufloesung von Gleichungen,” Mathematische Annalen, 8: 363–414.
  • Feferman, S., 1964, “Systems of predicative analysis,” Journal of Symbolic Logic, 29: 1–30.
  • Ferreira, F. og Wehmeier, K., 2002, "Om konsistensen av Delta-1-1-CA-fragmentet av Freges Grundgesetze," Journal of Philosophic Logic, 31: 301–311.
  • Girard, JY, 1972, Interpretation fonctionelle et eleimination des coupures dans l'arithmetique d'ordre superieure, These d'Etat, Université Paris 7.
  • Goldfarb, Warren, 2005. "På Gudels vei: Rudolf Carnaps innflytelse." Bulletin of Symbolic Logic 11 (2): 185–193.
  • Gödel, K., 1995, Samlet verk bind III, upubliserte essays og forelesninger, Oxford: Oxford University Press, 1995.
  • –––, 1931, “Overformell untentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte fü Mathematik und Physik, 38: 173–198.
  • ––– 1944, “Russells matematiske logikk,” i The Philosophy of Bertrand Russell, PA Schilpp (red.), Evanston: Northwestern University Press, 123–153.
  • –––, 1958, “Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes,”, Dialectica, 12: 280–287.
  • Heck, R., Jr., 1996, “Konsistensen av predikative fragmenter av Freges Grundgesetze der Arithmetik,” History and Philosophy of Logic, 17 (4): 209–220.
  • van Heijenoort, 1967, Fra Frege til Gödel. En kildebok i matematisk logikk 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Hindley, R., 1997, Basic Simple Type Theory, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hodges, W., 2008, “Tarski på Padoas metode: en prøvesak for å forstå logikere av andre tradisjoner”, i Logic, Navya-Nyāya og Applications: Homage to Bimal Krishna Matilal, Mihir K. Chakraborti et al. (red.), London: College Publications, s. 155–169
  • Hofmann, M. og Streicher, Th. 1996, “The Groupoid interpreting of Type Theory,” i 25 år med konstruktiv type teori (Oxford Logic Guides: Volume 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 83–111.
  • Howard, WA, 1980, “Formelen-som-typene forestillingen om konstruksjon,” i To HB Curry: essays on combinatory logic, lambda calculus and formalism, London, New York: Academic Press, 480–490.
  • Hurkens, AJC, 1995, “En forenkling av Girards paradoks. Typet lambda-beregning og applikasjoner,”i Lecture Notes in Computer Science (Volum 902), Berlin: Springer: 266–278.
  • Lambek, J., 1980. “Fra (lambda) - kalkulus til kartesiske lukkede kategorier” i Til HB Curry: Essays on Combinatory Logic, (lambda) - calculus and Formalism, J. Seldin og J. Hindley (red.), London, New York: Academic Press. s. 375–402.
  • Lambek, J. og Scott, PJ, 1986, Introduction to høyere orden kategorisk logikk (Cambridge Studies in Advanced Mathematics: Volume 7), Cambridge: Cambridge University Press; reprinted 1988.
  • Lawvere, FW og Rosebrugh, R., 2003, Sets for mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Martin-Löf, P., 1970, Notater om konstruktiv matematikk, Stockholm: Almqvist & Wiksell.
  • –––, 1971, A Theory of Types, Technical Report 71–3, Stockholm: Stockholm University.
  • –––, 1998, “En intuisjonistisk teori om typer,” i 25 år med konstruktiv type teori (Oxford Logic Guides: bind 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 127–172.
  • –––, 1975 [1973], “En intuisjonistisk teori om typer: Predikativ del,” i Logic Colloquium '73 (Proceedings of the Logic Colloquium, Bristol 1973) (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics: Volume 80), HE Rose og JC Shepherdson (red.), Amsterdam: Nord-Holland, 73–118.
  • Myhill, J., 1974, “Ubestemmeligheten av settet med naturlige tall i det forsterkede prinsippet”, i Bertrand Russells filosofi, G. Nakhnikian (red.), London: Duckworth, 19–27.
  • Miquel, A., 2001, Le Calcul des Constructions implicite: syntaxe et sémantique, Thèse de doctorat, Université Paris 7.
  • –––, 2003, “En sterkt normaliserende Curry-Howard-korrespondanse for IZF-settteori,” i datavitenskapens logikk (Lecture Notes in Computer Science, 2803), Berlin: Springer: 441–454.
  • Oppenheimer, P. og E. Zalta, 2011, “Relasjoner versus funksjoner ved grunnlaget for logikk: Type-teoretiske betraktninger”, Journal of Logic and Computation, 21: 351–374.
  • Palmgren, Erik, 1998, “On universes in type theory”, i 25 år med konstruktiv type teori (Oxford Logic Guides: Volume 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 191–204.
  • Poincaré, 1909, “H. La logique de l'infini”Revue de metaphysique et de morale, 17: 461–482.
  • Prawitz, D., 1967, "Completeness and Hauptsatz for second order logic", Theoria, 33: 246–258.
  • –––, 1970, "Om bevisteorien om matematisk analyse," i logikk og verdi (Essays dedikert til Thorild Dahlquist på sin femtiårsdag), Filosofiska Studier (Filosof. Föreningen og Filosof. Inst.), Nr. 9, Uppsala: Uppsala universitet, 169–180.
  • Quine, W., 1940, "Gjennomgang av kirken 'En formulering av den enkle teorien om typer'," Journal of Symbolic Logic, 5: 114.
  • Ramsey, FP, 1926, “Grunnlaget for matematikk,” Proceedings of the London Mathematical Society, s2–25 (1), 338–384.
  • Russell, B., 1903, The Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 1908, “Matematisk logikk basert på teorien om typer,” American Journal of Mathematics, 30: 222–262.
  • –––, 1959, Min filosofiske utvikling, London, New York: Routledge.
  • Russell, B. og Whitehead, A., 1910, 1912, 1913, Principia Mathematica (3 bind), Cambridge: Cambidge University Press.
  • Reynolds, J., 1974, “Mot en teori om typestruktur,” i Programming Symposium (Lecture Notes in Computer Science: Volume 19), Berlin: Springer, 408–425.
  • ––– 1983, “Typer, abstraksjon og parametrisk polymorfisme,” Fortsettelse av IFIP 9. verdensdatakongress, Paris, 513–523.
  • ––– 1984, “Polymorphism is not set-theoretic. Semantikk av datatyper,”Forelesningsnotater i informatikk (bind 173), Berlin: Springer, 145–156.
  • –––, 1985, “Tre tilnærminger til typestruktur. Matematiske grunnlag for programvareutvikling,”i Lecture Notes in Computer Science (bind 185), Berlin: Springer, 97–138.
  • Schiemer, G. og Reck, EH, 2013, “Logic in 1930s: Type Theory and Model Theory,” Bulletin of Symbolic Logic, 19 (4): 433–472.
  • Schütte, K., 1960, Beweistheorie, Berlin: Springer-Verlag.
  • Scott, D., 1993 "Et typeteoretisk alternativ til ISWIM, CUCH, OWHY," Theoretical Computer Science, 121: 411–440.
  • Skolem, T., 1970, Utvalgte verk i logikk, Jens Erik Fenstad (red.), Oslo: Universitetsforlaget.
  • Tait, WW, 1967, "Intensjonelle tolkninger av funksjonelle av endelig type," Journal of Symbolic Logic, 32 (2): 198–212.
  • Takeuti, G., 1955 “On the basic conjecture of GLC: I”, Journal of the Mathematical Society of Japan, 7: 249–275.
  • –––, 1967, “Konsistensbevis for delsystemer i klassisk analyse,” The Annals of Mathematics (Second Series), 86 (2): 299–348.
  • Tarski, A., 1931, “Sur les ensembles definisables de nombres reels I,” Fundamenta Mathematicae, 17: 210–239.
  • Urquhart, A., 2003, "The Theory of Types", i The Cambridge Companion til Bertrand Russell, Nicholas Griffin (red.), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Voevodsky, V., 2015, “Et eksperimentelt bibliotek med formalisert matematikk basert på ensartede fundamenter,” Mathematical Structures in Computer Science, 25: 1278–1294, tilgjengelig online.
  • Wiener, N., 1914, "En forenkling av logikken i forholdene," Proceedings of Cambridge Philosophical Society, 17: 387–390.
  • Weyl, H., 1946, “Matematikk og logikk,” American Mathematical Monthly, 53: 2–13.
  • Zermelo, E., 1908, “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I,” Mathematische Annalen, 65: 261–281.

Akademiske verktøy

september mann ikon
september mann ikon
Hvordan sitere denne oppføringen.
september mann ikon
september mann ikon
Forhåndsvis PDF-versjonen av denne oppføringen hos Friends of the SEP Society.
inpho-ikonet
inpho-ikonet
Slå opp dette emnet på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi for denne oppføringen på PhilPapers, med lenker til databasen.

Andre internettressurser

  • Kubota, K., 2018, “Foundations of Mathematics. Slektsforskning og oversikt,”manuskript, utkast til 27. mars 2018.
  • [HoTT 2013], Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics, Institute for Advanced Study.

Anbefalt: