Revisjonsteorien Om Sannhet

Innholdsfortegnelse:

Revisjonsteorien Om Sannhet
Revisjonsteorien Om Sannhet

Video: Revisjonsteorien Om Sannhet

Video: Revisjonsteorien Om Sannhet
Video: Månedens mening #1 - Revisjon av internkontroll 2024, Mars
Anonim

Dette er en fil i arkivene til Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Revisjonsteorien om sannhet

Først publisert fre 15. desember 1995; substansiell revisjon fredag 28. juli 2006

Tenk på følgende setning:

(1) er ikke sant. (1)

Det har lenge vært kjent at setningen, (1), gir et paradoks, den såkalte løgnerens paradoks: det virker umulig konsekvent å opprettholde at (1) er sant, og umulig konsekvent å opprettholde at (1) ikke er sant. (For detaljer, se avsnitt 1 nedenfor.) Gitt et slikt paradoks, kan man være skeptisk til forestillingen om sannhet, eller i det minste om utsiktene til å gi en vitenskapelig respektabel redegjørelse for sannheten. Alfred Tarskis store prestasjon var å vise hvordan man kunne gi - i strid med denne skepsisen - en formell definisjon av sannhet for en bred klasse av formaliserte språk. Tarski viste imidlertid ikke hvordan man kan gi en definisjon av sannhet for språk (som engelsk) som inneholder deres egne sannhetspredikater. Han mente at dette ikke kunne gjøres, nettopp på grunn av løgnerens paradoks. Han regnet med at ethvert språk med sin egen sannhetspredikat ville være inkonsekvent, så lenge det overholdt reglene for standard klassisk logikk, og hadde evnen til å referere til sine egne setninger.

Gitt den nære sammenhengen mellom mening og sannhet, holdes det bredt at enhver semantikk for et språk L, dvs. enhver meningsteori for L, vil være nært beslektet med en sannhetsteori for L: faktisk er det ofte å anse at noe som en Tarskian sannhetsteori for L vil være en sentral del av en semantikk for L. Dermed truer umuligheten av å gi en Tarskian-teori om sannhet for språk med egen sannhet predikater prosjektet med å gi en semantikk for språk med sine egne sannhetspredikater.

Vi måtte vente til arbeidet med Kripke 1975 og Martin & Woodruff 1975 for et systematisk formelt forslag til en semantikk for språk med sine egne sannhetspredikater. Den grunnleggende tanken er enkel: ta de fornærmende setningene, som (1), for å verken være sanne eller usanne. Spesielt Kripke viser hvordan man kan implementere denne tanken på et bredt spekter av språk, og faktisk anvender en semantikk med tre verdier, sanne, falske og heller ikke. [1] Det er trygt å si at Kripkean-tilnærminger har erstattet den Tarskiske pessimismen som den nye ortodoksen om språk med sine egne sannhetspredikater.

En av hovedrivalene til den treverdige semantikken er Revision Theory of Truth, eller RTT, uavhengig unnfanget av Hans Herzberger og Anil Gupta, og først presentert i publikasjon i Herzberger 1982a og 1982b, Gupta 1982 og Belnap 1982 - de første monografiene om emnet er Yaqūb 1993 og locus classicus, Gupta & Belnap 1993. RTT er designet for å modellere den typen resonnement som løgneretten fører til, i en to-verdsatt kontekst. Den sentrale ideen er ideen om en revisjonsprosess: en prosess der vi reviderer hypoteser om sannhetsverdien av en eller flere setninger. Formålet med denne artikkelen er å skissere Revisjonsteorien om sannhet. Vi fortsetter som følger:

  • 1. Semiformal introduksjon
  • 2. Innramming av problemet

    • 2.1 Sannhetsspråk
    • 2.2 Jordmodeller
    • 2.3 Løgnerens paradoks (igjen)
  • 3. Grunnleggende forestillinger om RTT

    • 3.1 Revisjonsregler
    • 3.2 Revisjonssekvenser
  • 4. Tolkning av formalismen

    • 4.1 Betegnelsen på T
    • 4.2 'Iff' i T-biconditionals
    • 4.3 Det paradoksale resonnementet
    • 4.4 Signifikasjonsoppgaven
    • 4.5 Semantikkens veiledning
    • 4.6 Yaqūbs tolkning av formalismen
  • 5. Ytterligere problemer

    • 5.1 Tre-verdsatt semantikk
    • 5.2 Endringer i RTT
    • 5.3 Revisjonsteori for sirkulært definerte konsepter
    • 5.5 Søknader
    • 5.5 Et åpent spørsmål
  • Bibliografi
  • Andre internettressurser
  • Relaterte oppføringer

1. Semiformal introduksjon

La oss se nærmere på setningen (1) gitt ovenfor:

(1) er ikke sant. (1)

Det vil være nyttig å gjøre det paradoksale resonnementet eksplisitt. Anta først det

(1) er ikke sant. (2)

Det virker som et intuitivt prinsipp om sannhet at vi, for enhver setning p, har den såkalte T-biconditional

'p' er sant iff s. (3)

(Her bruker vi 'iff' som forkortelse for 'hvis og bare hvis'.) Spesielt bør vi ha det

'(1) is not true' is true iff (1) is not true. (4)

Dermed får vi fra (2) og (4)

'(1) is not true' er sant. (5)

Da kan vi bruke identiteten,

(1) = '(1) er ikke sant.' (6)

å konkludere med at (1) er sant. Alt dette viser at hvis (1) ikke er sant, så er (1) sant. Tilsvarende kan vi også hevde at hvis (1) er sant, så er (1) ikke sant. Så (1) ser ut til å være både sant og ikke sant: derav paradokset. Som nevnt ovenfor, tar den treverdige tilnærmingen til paradokset den løgne setningen, (1), verken sann eller usann. Nøyaktig hvordan, eller til og med om dette trekket blokkerer resonnementene ovenfor, er et spørsmål til debatt. RTT er ikke designet for å blokkere resonnement av ovennevnte slag, men for å modellere det - eller det meste av det. [2] Som nevnt over, er den sentrale ideen ideen om en revisjonsprosess: en prosess der vi reviderer hypoteser om sannhetsverdien av en eller flere setninger.

Vurder resonnementet angående løgneret (1) ovenfor. Anta at vi antar at (1) ikke er sant. Deretter, med en anvendelse av relevant T-biconditional, kan vi revidere hypotesen vår som følger:

Hypotese: (1) er ikke sant.
T-Biconditional: '(1) is not true' is true iff (1) is not true.
Derfor: '(1) is not true' er sant.
Kjent identitet: (1) = '(1) er ikke sant'.
Konklusjon: (1) er sant.
Ny revidert hypotese: (1) er sant.

Vi kan fortsette revisjonsprosessen ved å revidere hypotesen vår igjen, som følger:

Ny hypotese: (1) er sant.
T-Biconditional: '(1) is not true' is true iff (1) is not true.
Derfor: '(1) is not true' er ikke sant.
Kjent identitet: (1) = '(1) er ikke sant'.
Konklusjon: (1) er ikke sant.
Ny ny revidert hypotese: (1) er ikke sant.

Når revisjonsprosessen fortsetter, vipper vi frem og tilbake mellom å ta den løgne setningen for å være sann og ikke sann.

Eksempel 1.1

Det er verdt å se hvordan denne typen revisjons resonnement fungerer i en sak med flere setninger. La oss bruke revisjonsideen i de følgende tre setningene:

(8) er sant eller (9) er sant. (7)
(7) er sant. (8)
(7) er ikke sant. (9)

Uformelt kan vi resonnere som følger. Enten (7) er sant eller (7) er ikke sant. Dermed er enten (8) sant eller (9) sant. Dermed er (7) sant. Dermed (8) er sant og (9) er ikke sant, og (7) er fremdeles sant. Iterating prosessen nok en gang, får vi nok en gang (8) er sant, (9) er ikke sant, og (7) er sant. Mer formelt bør du vurdere enhver innledende hypotese, h 0, om sannhetsverdiene til (7), (8) og (9). Enten sier h 0 at (7) er sant eller h 0 sier at (7) ikke er sant. I begge tilfeller kan vi bruke T-biconditional for å generere vår reviderte hypotese h 1: hvis h 0 sier at (7) er sant, så sier h 1 at '(7) er sant' er sant, dvs. at (8) er sant; og hvis h 0sier at (7) er sant, da sier h 1 at '(7) ikke er sant' er sant, dvs. at (9) er sant. Så h 1 sier at enten (8) er sant eller (9) er sant. Så h 2 sier at '(8) er sant eller (9) er sant' er sant. Med andre ord, h 2 sier at (7) er sant. Så uansett hvilken hypotese h 0 vi starter med, fører to iterasjoner av revisjonsprosessen til en hypotese om at (7) er sant. På samme måte fører tre eller flere iterasjoner av revisjonsprosessen til hypotesen om at (7) er sann, (8) er sann og (9) er usann - uavhengig av vår første hypotese. I avsnitt 3 vil vi vurdere dette eksemplet på nytt i en mer formell sammenheng.

En ting å merke seg er at i eksempel 1.1 gir revisjonsprosessen stabile sannhetsverdier for alle tre setningene. Forestillingen om en setning som er stabil i alle revisjonssekvenser vil være en sentral forestilling for RTT. Revisjonsteoretisk behandling står i kontrast til den treverdige tilnærmingen: på de fleste måter å implementere den treverdige ideen, viser alle tre setningene, (7), (8) og (9) ingen av dem sant eller usant. [3] I dette tilfellet fanger RTT sannsynligvis bedre den korrekte uformelle resonnementet enn den treverdige tilnærmingen: RTT tildeler setningene (7), (8) og (9) sannhetsverdiene som ble tildelt dem ved den uformelle begrunnelsen som ble gitt i begynnelsen av eksemplet.

2. Innramming av problemet

2.1 Sannhetsspråk

Målet med RTT er å redegjøre for vår ofte ustabile og ofte paradoksale resonnement om sannhet - en to-verdsatt beretning som tilordner setninger stabile klassiske sannhetsverdier når intuitiv resonnement ville tildele stabile klassiske sannhetsverdier. Vi vil presentere en formell semantikk for et formelt språk: vi ønsker at språket skal ha både en sannhetspredikat og ressursene til å referere til egne setninger.

La oss vurdere et førsteordens språk L, med binde-, ∨- og ¬-, kvantifiserere ∀ og equ, likhetstegn =, variabler, og noe lager av navn, funksjonssymboler og relasjonssymboler. Vi vil si at L er et sannhetsspråk, hvis det har et utpreget predikat T og anførselstegn 'og', som vil bli brukt til å danne sitatnavn: Hvis A er en setning av L, så er 'A' et navn. La sent L = {A: A er en setning av L}.

2.2 Jordmodeller

Annet enn sannhetspredikatet, vil vi anta at språket vårt blir tolket helt klassisk. Så vi vil representere T- fri fragmentet av et sannhetsspråk L etter en grunnmodell, dvs. en klassisk tolkning av T- fri fragmentet til L. Ved T -gratis fragment av L, mener vi det første ordens språk L - som har samme navn, funksjonssymboler og relasjonssymboler som L, unntatt enhetlig predikat T. Siden L - har de samme navnene som L, inkludert de samme sitatenavn, vil L - ha et sitatsnavn 'A' for hver setning A i L. Dermed er ∀ x T x ikke en setning av L -, men '∀ x T x 'er et navn på L - og ∀ x (x =' ∀ x T x ') er en setning av L -. Fikk en første modell, vil vi vurdere utsiktene til å gi en tilfredsstillende tolkning av T. Det mest åpenbare desideratum er at bakkemodellen, utvidet til å omfatte en tolkning av T, tilfredsstiller Tarskis T-biconditionals, dvs. formenes biconditionals

T  'A' iff A

for hver A ∈ sendt L. For å gjøre ting presise, la en bakkemodell for L være en klassisk modell M = <D, I> for T- fri fragment av L, tilfredsstille følgende:

  1. D er et ikke-unntaksdiskursdomen;
  2. Jeg er en funksjon som tilordner

    1. til hvert navn på L et medlem av D;
    2. til hver n -ary funksjon symbol L en funksjon fra D n i D; og
    3. til hvert n-relasjonssymbol, annet enn T, for L en funksjon fra Dn til en av de to sannhetsverdiene i settet { t, f }; [4]
  3. Sendt L ∈ D; og
  4. I ('A') = A for alle A ∈ Sendte L.

Bestemmelsene (1) og (2) spesifiserer ganske enkelt hva det er for M å være en klassisk modell av T- fri fragmentet av L. Bestemmelsene (3) og (4) sikrer at L når de tolkes, kan snakke om sine egne setninger. Gitt en grunnmodell M for L og et navn, funksjonssymbol eller relasjonssymbol X, kan vi tenke på I (X) som tolkningen eller, for å låne et begrep fra Gupta og Belnap, betegnelsen på X. Gupta og Belnap karakteriserer et uttrykk eller konseptets betegnelse i en verden w som "et abstrakt noe som bærer all informasjon om alle uttrykkets [eller konseptets] ekstensjonelle relasjoner i w." Hvis vi ønsker å tolke T x som 'x er sann', da, fikk et første modell M, vi ønsker å finne en passende betydning, eller et passende utvalg av betydninger, for T.

2.3 Løgnerens paradoks (igjen)

Vi kan prøve å tildele T klassisk betydning, ved å utvide M til en klassisk modell M '= <D', jeg '> for alle L, inkludert T. Husk at vi vil at M 'skal tilfredsstille T-biconditionals: den mest åpenbare tanken her er å forstå' iff 'som den standard sannhetsbetingede bikondisjonelle. Dessverre kan ikke alle bakkemodeller M = <D, I> utvides til en slik M '. Tenk på et sannhetsspråk L med et navn λ, og en grunnmodell M = <D, I> slik at jeg (λ) = ¬ T λ. Og antar at M 'er en klassisk utvidelse av M til hele L. Siden M 'er en utvidelse av M, er jeg og jeg enige om alle navnene på L. Så

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Så setningene T λ og T  '¬ T λ' har den samme sannhetsverdien i M '. Så T-biconditional

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

er falsk i M '. Dette er en formalisering av løgnerens paradoks, med setningen ¬ T λ som den fornærmende løgnerens dom.

I en semantikk for språk som er i stand til å uttrykke sine egne sannhetsbegreper, vil T generelt sett ikke ha en klassisk betegnelse; og 'iff' i T-biconditionals vil ikke bli lest som den klassiske biconditional. Vi tar opp disse forslagene i avsnitt 4 nedenfor.

3. Grunnleggende forestillinger om RTT

3.1 Revisjonsregler

I seksjon 1 skisserte vi uformelt den sentrale tanken til RTT, nemlig at vi kan bruke T-biconditionalsene til å generere en revisjonsregel - en regel for å revidere en hypotese om utvidelsen av sannhetspredikatet. Her vil vi formalisere denne oppfatningen, og arbeide gjennom et eksempel fra seksjon 1.

Generelt, la L være et sannhetsspråk og M være en grunnmodell for L. En hypotese er en funksjon h: D → { t, f }. En hypotese vil i realiteten være en hypotetisk klassisk tolkning for T. La oss jobbe med et eksempel som fanger opp både løgnerens paradoks og eksempel 1.1 fra seksjon 1. Vi vil anføre eksemplet formelt, men resonnere på en semiformal måte, til overgang fra en hypotese utvidelse av T til en annen.

Eksempel 3.1

Anta at L inneholder fire ikke-sitat navn, α, β, γ og λ og ingen andre enn predikater T. Anta også at M = <D, I> er som følger:

D = Sendt L
I (α) = T β ∨ T γ
I (β) = T α
Jeg (γ) = ¬ T α
I (λ) = ¬ T λ

Det vil være praktisk å la

EN være setningen T β ∨ T γ
B være setningen T α
C være setningen ¬ T α
X være setningen ¬ T λ

Og dermed:

D = Sendt L
I (α) = EN
I (β) = B
Jeg (γ) = C
I (λ) = X

Anta at hypotesen h 0 antar at A er usant, B er sant, C er usant og X er sant. Og dermed

h 0 (A) = f
h 0 (B) = t
h 0 (C) = f
h 0 (X) = f

Nå vil vi delta i noen semiformal resonnement, på bakgrunn av hypotese h 0. Blant de fire setninger, A, B, C og X, h 0 setter bare B i forlengelsen av T. Med begrunnelse fra h 0 konkluderer vi derfor med det

¬ T α siden referansen til α ikke er i forlengelsen av T
T β siden referansen til β er i forlengelsen av T
¬ T γ siden referenten til γ ikke er i forlengelsen av T
¬ T λ siden referent av λ er ikke i forlengelsen av T.

T-biconditional for de fire setningene A, B, C og X er som følger:

(T A) A er sant iff T β ∨ T γ
(T B) B er sant iff T α
(T C) C er sant hvis ¬ T α
(T X) X er sant iff ¬ T λ

Med begrunnelse fra h 0 konkluderer vi derfor med det

A er sant
B er ikke sant
C er sant
X er sant

Dette produserer vår nye hypotese h 1:

h 1 (A) = t
h 1 (B) = f
h 1 (C) = t
h 1 (X) = t

La oss revidere hypotesen vår en gang til. Så nå vil vi delta i noen semiformal resonnement, på bakgrunn av hypotese h 1. Hypotese h 1 setter A, C og X, men ikke B, i forlengelsen av t. Med begrunnelse fra h 1 konkluderer vi derfor med det

T α siden referenten til a er i forlengelsen av T
¬ T β siden referansen til β er i forlengelsen av T
T y siden referenten til γ ikke er i forlengelsen av T
T λ siden referenten til λ ikke er i forlengelsen av T

Husk T-biconditional for de fire setningene A, B, C og X, gitt ovenfor. Med begrunnelse fra h 1 og disse T-biconditionalsene, konkluderer vi det

A er sant
B er sant
C er ikke sant
X er ikke sant

Dette produserer vår nye nye hypotese h 2:

h 2 (A) = t
h 2 (B) = t
h 2 (C) = f
h 2 (X) = f

La oss formalisere semiformal resonnement utført i eksempel 3.1. Først en hypotese vi at enkelte setninger var eller ikke var, i forlengelsen av T. Tenk på vanlig klassisk modellteori. Anta at språket vårt har et predikat G og et navn a, og at vi har en modell M = <D, I> som plasserer referenten til en inne i forlengelsen av G:

I (G) (I (α)) = t

Så konkluderer vi klassisk med at setningen Ga er sann i M. Det vil være nyttig å ha en viss notasjon for den klassiske sannhetsverdien til en setning S i en klassisk modell M. Vi skal skrive Val M (S). I dette tilfellet er Val M (Ga) = t. I eksempel 3.1 startet vi ikke med en klassisk modell av hele språket L, men bare en klassisk modell av T- fri fragmentet av L. Men så la vi til en hypotese, for å få en klassisk modell av hele L. La oss bruke notasjonen M + h for den klassiske modellen til hele L som du får når du utvider M ved å tildele T en utvidelse via hypotesen h. Når du har tildelt en utvidelse til predikatet T, kan du beregne sannhetsverdiene for de forskjellige setningene i L. Det vil si at for hver setning S i L kan vi beregne

Val M + h (S)

I eksempel 3.1 startet vi med hypotese h 0 som følger:

h 0 (A) = f
h 0 (B) = t
h 0 (C) = f
h 0 (X) = f

Så beregnet vi som følger:

Val M + h 0 (T α) = f
Val M + h 0 (T β) = t
Val M + h 0 (T y) = f
Val M + h 0 (T λ) = f

Og så konkluderte vi som følger:

Val M + h 0 (A) = Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B) = Val M + h 0T α) = f
Val M + h 0 (C) = Val M + h 0 (T α) = t
Val M + h 0 (X) = Val M + h 0T λ) = t

Disse konklusjonene genererte vår nye hypotese, h 1:

h 1 (A) = t
h 1 (B) = f
h 1 (C) = t
h 1 (X) = t

Legg merke til at generelt

h 1 (S) = Val M + h 0 (S).

Vi er nå forberedt på å definere revisjonsregelen gitt av en grunnmodell M = <D, I>. Generelt, gitt en hypotese h, la M + h = <D, I '> være modellen til L som stemmer overens med M på T- fritt fragment av L, og som er slik at jeg' (T) = h. Så M + h er bare en klassisk modell for hele L. For hvilken som helst modell M + h av hele L og enhver setning A hvis L, la Val M + h (A) være den vanlige klassiske sannhetsverdien til A i M + h.

Definisjon 3.2

Anta at L er et sannhetsspråk og at M = <D, I> er en grunnmodell for L. Revisjonsregelen, τ M, er funksjonen som kartlegger hypoteser til hypoteser, som følger:

τ M (h) (d) = {

t, hvis d ∈ D er en setning av L og Val M + h (d) = t

f, ellers

"Ellers" -bestemmelsen forteller oss at hvis d ikke er en setning av L, så holder vi oss etter hypotesen om at d ikke er sant etter en revisjon. [5] Legg merke til at i eksempel 3.1 er h 1 = τ M (h 0) og h 2 = τ M (h 1). Vi vil ofte slippe det abonnementet 'M' når konteksten gjør det klart hvilken bakkemodell det er snakk om.

3.2 Revisjonssekvenser

La oss plukke opp eksempel 3.1 og se hva som skjer når vi itererer bruken av revisjonsregelen.

Eksempel 3.3 (Eksempel 3.2 fortsettelse)

Husk at L inneholder fire ikke-sitat navn, α, β, γ og λ og ingen andre enn predikater T. Husk også at M = <D, I> er som følger:

D = Sendt L
I (α) = EN = T β ∨ T γ
I (β) = B = T α
Jeg (γ) = C = ¬ T α
I (λ) = X = ¬ T λ

Tabellen nedenfor viser hva som skjer med gjentatte anvendelser av revisjonsregelen τ M til hypotesen h 0 fra eksempel 3.1. I denne tabellen vil vi skrive τ i stedet for τ M:

S h 0 (S) τ (h 0) (S) τ 2 (h 0) (S) τ 3 (h 0) (S) τ 4 (h 0) (S)
EN f t t t t
B t f t t t
C f t f f f
X f t f t f

Så h 0 genererer en revisjonssekvens (se definisjon 3.7 nedenfor). Og A og B er stabilt sanne i den revisjonssekvensen (se definisjon 3.6 nedenfor), mens C er stabilt usant. Løygedommen X er, overraskende, verken stabilt sann eller stabilt usann: løgneretten er ustabil. En lignende beregning vil vise at A er stabilt sant, uavhengig av den innledende hypotesen: dermed er A kategorisk sant (se definisjon 3.8).

Før vi gir en presis definisjon av en revisjonssekvens, gir vi et eksempel der vi ønsker å føre revisjonsprosessen utover de endelige stadiene, h, τ 1 (h), τ 2 (h), τ 3 (h), og så på.

Eksempel 3.4

Anta at L inneholder nonquote navn a 0, α 1, α 2, α 3, …, og enhetlige predikater G og T. Nå vil vi spesifisere en grunnmodell M = <D, I> der navnet α 0 refererer til noe tautologi, og hvor

navnet α 1 refererer til setningen T α 0

navnet α 2 refererer til setningen T α 1

navnet a 3 refererer til setningen T a 2

Mer formelt, la A 0 være setningen T α 0 ∨ ¬ T α 0, og for hver n ≥ 0, la A n +1 være setningen T α n. Således er A 1 setningen T α 0, og A 2 er setningen T α 1, og A 3 er setningen T α 2, og så videre. Jordmodellen vår M = <D, I> er som følger:

D = Sendt L
I (α n) = A n
I (G) (A) = t iFF A = A n for noen n

Dermed er utvidelsen av G følgende sett med setninger: {A 0, A 1, A 2, A 3, …} = {(T α 0 ∨ ¬ T α 0), T α 0, T a 1, T a 2, T a 3,…}. La B til slutt være setningen ∀ x (Gx ⊃ T x). La h være enhver hypotese som vi har, for hvert naturlig tall n,

h (A n) = h (B) = f.

Tabellen nedenfor viser hva som skjer med gjentatte anvendelser av revisjonsregelen τ M til hypotesen h. I denne tabellen vil vi skrive τ i stedet for τ M:

S h (S) t (h) (S) τ 2 (h) (S) τ 3 (h) (S) τ 4 (h) (S)
A 0 f t t t t
A 1 f f t t t
A 2 f f f t t
A 3 f f f f t
A 4 f f f f f
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
B f f f f f

Ved 0 th trinnet, hver A n er utenfor hypotetisk utvidelse av T. Men fra det n- te trinnet og utover, A n er i den hypotetisk utvidelse av T. Så for hver n blir setningen A n til slutt stabilt antatt å være sann. Til tross for dette er det ikke noe endelig stadium hvor alle A n'ene antas å være sanne: som et resultat forblir setningen B = ∀ x (Gx ⊃ T x) falsk i hvert endelig stadium. Dette antyder å utvide prosessen som følger:

S h (S) τ (h) (S) τ 2 (h) (S) τ 3 (h) (S) ω ω + 1 ω + 2
A 0 f t t t t t t
A 1 f f t t t t t
A 2 f f f t t t t
A 3 f f f f t t t
A 4 f f f f t t t
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
vertikale-prikker
B f f f f f t t

Dermed, hvis vi lar revisjonsprosessen for å fortsette utover endelig etapper, deretter setningen B = ∀ x Gx ⊃ T x) er stabilt sant fra ω + 1 st scenen utover. □

I eksempel 3.4 er den intuitive dommen at ikke bare skal hver A n motta en stabil sannhetsverdi på t, men også setningen B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Den eneste måten å sikre dette på er å føre revisjonsprosessen utover de endelige stadiene. Så vi vil vurdere revisjon sekvenser som er veldig lang: ikke bare vil en revisjon sekvens har en th scenen for hver endelig antall n, men en η th scene for hver ordenstall η. (Neste avsnitt er å hjelpe leseren ukjent med ordinære tall.)

En måte å tenke på ordinærtall på er som følger. Begynn med de endelige naturlige tallene:

0, 1, 2, 3, …

Legg til et nummer, greater, større enn alle disse, men ikke den umiddelbare etterfølgeren til noen av dem:

0, 1, 2, 3, …, ω

Og ta deretter etterfølgeren til ω, dens etterfølger, og så videre:

0, 1, 2, 3, …, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3 …

Legg deretter til et tall ω + ω, eller ω × 2, større enn alle disse (og igjen, ikke den umiddelbare etterfølgeren til noen), og begynn på nytt, gjenta denne prosessen om og om igjen:

0, 1, 2, 3, …, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, …, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

vertikale prikker
vertikale prikker

På slutten av dette legger vi til et ordinært nummer ω × ω eller ω 2:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, ω 2, ω 2 +1, …

Ordinaltallene har følgende struktur: hvert ordinærtall har en umiddelbar etterfølger kjent som en etterfølgerordinær; og for enhver uendelig stigende sekvens av ordinære antall, er det en grenseordinal som er større enn alle medlemmene i sekvensen, og som ikke er den umiddelbare etterfølgeren til noe medlem av sekvensen. Følgende er således etterfølgerordinaler: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω 2 +8; og følgende er grenseordinaler: ω, ω × 2, ω 2, (ω 2 + ω), etc. Gitt en grenseordinale η, er en sekvens S av objekter en η-lang sekvens hvis det er et objekt S δ for hver ordinær δ <η. Vi vil betegne klassen av ordinaler som På. Enhver sekvens S av objekter er en On-lang sekvens hvis det er et objekt S δ for hver ordinære δ.

Når RTT vurderer om en setning får en stabil sannhetsverdi, vurderer RTT sekvenser av hypoteser om lengde På. Så antar at S er en lang rekke hypoteser, og la ζ og η strekke seg over ordinaler. Klart, for S for å representere revisjonsarbeidet, trenger vi ζ + 1 m hypotese som skal genereres fra den ζ th hypotese ved revisjon regelen. Så vi insisterer på at S ζ + 1 = τ M (S ζ). Men hva skal vi gjøre på et begrensningsstadium? Det vil si, hvordan skal vi sette S η (δ) når η er en grenseordinær? Det er klart at ethvert objekt som er stabilt sant [usant] frem til det stadiet, skal være sant [usant] på det stadiet. Tenk derfor på eksempel 3.2. Setningen A 2, for eksempel, er det sant frem til stage th stadium; så vi satte A 2 til å være sant på det første stadiet. For objekter som ikke stabiliserer seg frem til det stadiet, vedtar Gupta og Belnap 1993 en liberal politikk: når du konstruerer en revisjonssekvens S, hvis verdien til objektet d ∈ D ikke har stabilisert seg når du kommer til grensetrinnet η, så kan du stille inn S η (δ) til å være den av t eller f du vil. Før vi gir den nøyaktige definisjonen av en revisjonssekvens, fortsetter vi med eksempel 3.3 for å se en anvendelse av denne ideen.

Eksempel 3.5 (Eksempel 3.3 fortsettelse)

Husk at L inneholder fire ikke-sitat navn, α, β, γ og λ og ingen andre enn predikater T. Husk også at M = <D, I> er som følger:

D = Sendt L
I (α) = EN = T β ∨ T γ
I (β) = B = T α
Jeg (γ) = C = ¬ T α
I (λ) = X = ¬ T λ

Tabellen nedenfor viser hva som skjer med gjentatte anvendelser av revisjonsregelen τ M til hypotesen h 0 fra eksempel 3.1. For hver ordens η, vil vi indikere η th hypotesen ved S η (undertrykke indeksen M på τ). Således S 0 = h 0, S 1 = τ (h 0) S 2 = τ 2 (h 0) S 3 = τ 3 (h 0), og S ω, den ω th hypotese, bestemmes på en eller annen måte fra hypotesene som fører frem til det. Så, starter med h 0 fra eksempel 3.3 begynner revisjonssekvensen vår som følger:

S S 0 (S) S 1 (S) S 2 (S) S 3 (S) S 4 (S)
EN f t t t t
B t f t t t
C f t f f f
X f t f t f

Hva skjer på første trinn? A og B er stabilt sanne frem til stage th stadium, og C er stabilt usant frem til ω th stadium. Så på det første stadiet må vi ha følgende:

S S 0 (S) S 1 (S) S 2 (S) S 3 (S) S 4 (S) S ω (S)
EN f t t t t t
B t f t t t t
C f t f f f f
X f t f t f ?

Men oppføringen for S ω (X) kan være enten t eller f. Med andre ord genererer den innledende hypotesen h 0 minst to revisjonssekvenser. Hver revisjonssekvens S som har h 0 som sin første hypotese, må ha S ω (A) = t, S ω (B) = t og S ω (C) = f. Men det er noen revisjonssekvens S, med h 0 som den første hypotesen, og med S ω (X) = t; og det er noen revisjonssekvens S ', med h 0 som den første hypotesen, og med S ω'(X) = f. □

Vi er nå klare til å definere forestillingen om en revisjonssekvens:

Definisjon 3.6

Anta at L er et sannhetsspråk, og at M = <D, I> er en grunnmodell. Anta at S er en lang rekke hypoteser. Da sier vi at d ∈ D er stabilt t [ f] i S iff for noen ordinære θ vi har

S ζ (d) = t [ f], for hver ordinær ζ ≥ θ.

Anta at S er en η-lang sekvens av hypotese for noen begrensende ordinære η. Så sier vi at d ∈ D er stabilt t [ f] i S iff for noen ordinære θ <η vi har

S ζ (d) = t [ f], for hver ordinær ζ slik at ζ ≥ θ og ζ <η.

Hvis S er en langvarig sekvens av hypoteser og η er en ordinær grense, er S | η er det opprinnelige segmentet av S opp til men ikke inkludert η. Merk at S | η er en η-lang sekvens av hypoteser.

Definisjon 3.7

Anta at L er et sannhetsspråk, og at M = <D, I> er en grunnmodell. Anta at S er en lang rekke hypoteser. S er en revisjonssekvens for M iff

  • S ζ + 1 = τ M (S ζ), for hver ζ ∈ På, og
  • for hver grenseordinal η og hver d ∈ D, hvis d er stabilt t [ f] i S | η, deretter S η (d) = t [ f].

Definisjon 3.8

Anta at L er et sannhetsspråk, og at M = <D, I> er en grunnmodell. Vi sier at setningen A er kategorisk sant [usann] i M hvisf A er stabilt t [ f] i hver revisjonssekvens for M. Vi sier at A er kategorisk i M hvisf A enten er kategorisk sant eller kategorisk usant i M.

Vi illustrerer nå disse konseptene med et eksempel. Eksemplet vil også illustrere et nytt konsept som skal defineres i etterkant.

Eksempel 3.9

Anta at L er en sannhet språk som inneholder nonquote navn P, α 0, α 1, α 2, α 3, …, og enhetlige predikater G og T. La B være setningen

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

La A 0 være setningen ∃ x (Gx & ¬ T x). Og for hver n ≥ 0, la A n +1 være setningen T α n. Tenk på følgende bakkemodell M = <D, I>

D = Sendt L
I (β) = B
I (α n) = A n
I (G) (A) = t iFF A = A n for noen n

Dermed er forlengelsen av G følgende sett med setninger: {A 0, A 1, A 2, A 3, …} = { T α 0, T α 1, T α 2, T α 3, …}. La h være enhver hypotese som vi har, h (B) = f og for hvert naturlig tall n,

h (A n) = f.

Og la S være en revisjonssekvens hvis innledende hypotese er h, dvs. S 0 = h. Følgende tabell viser noen av verdiene til S γ (C), for setningene C ∈ {B, A 0, A 1, A 2, A 3, …}. I den øverste raden angir vi bare det ordinære nummeret som representerer scenen i revisjonsprosessen.

0 1 2 3 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω x 2 (Ω x 2) 1 (Ω x 2) 2
B f f f f f t t t t t t
A 0 f t t t t f t t t f t
A 1 f f t t t t f t t t f
A 2 f f f t t t t f t t t
A 3 f f f f t t t t t t t
A 4 f f f f t t t t t t t
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker
vertikale prikker

Det er verdt å kontrastere oppførselen til setningen B og setningen A 0. Fra ω + 1 st scenen på, er B Stabiliserer som sant. Faktisk er B stabilt sant i hver revisjonssekvens for M. Dermed er B kategorisk sant i M. Setningen A 0 stabiliserer seg imidlertid aldri helt: den er vanligvis sant, men i løpet av noen få endelige stadier av en grenseordinal kan setningen A 0 være falsk. Under disse omstendighetene sier vi at A 0 er nesten stabilt sant (se definisjon 3.10, nedenfor.) Faktisk er A 0 nesten stabilt sant i hver revisjonssekvens for M. □

Eksempel 3.9 illustrerer ikke bare forestillingen om stabilitet i en revisjonssekvens, men også nær stabilitet, som vi definerer nå:

Definisjon 3.10.

Anta at L er et sannhetsspråk, og at M = <D, I> er en grunnmodell. Anta at S er en lang rekke hypoteser. Så sier vi at d ∈ D er nesten stabilt t [ f] i S iff for noen ordinære θ vi har

for hver ζ ≥ θ er det et naturlig tall n slik at for hver m ≥ n, S ζ + m (d) = t [ f].

Gupta og Belnap 1993 karakteriserer forskjellen mellom stabilitet og nær stabilitet som følger: “Stabilitetsforenkler krever et element [i vårt tilfelle en setning] for å slå seg ned til en verdi x [i vårt tilfelle en sannhetsverdi] etter noen innledende svingninger sier opp til [en ordinær η] … I kontrast tillater nær stabilitet svingninger etter η også, men disse svingningene må begrenses til begrensede regioner like etter grenseordinaler”(s. 169). Gupta og Belnap 1993 introduserer to teorier om sannhet, T * og T #, basert på stabilitet og nær stabilitet. Teoremene 3.12 og 3.13 nedenfor illustrerer en fordel med systemet T #, dvs. systemet basert på nær stabilitet.

Definisjon 3.11

Anta at L er et sannhetsspråk, og at M = <D, I> er en grunnmodell. Vi sier at en setning A er gyldig i M av T * iff A er stabilt sant i hver revisjonssekvens. Og vi sier at en setning A er gyldig i M av T # iff A er nesten stabilt sann i hver revisjonssekvens.

Teorem 3.12

Anta at L er et sannhetsspråk, og at M = <D, I> er en grunnmodell. Så, for hver setning A i L, er følgende gyldig i M av T #:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Teorem 3.13

Det er et sannhetsspråk L og en grunnmodell M = <D, I> og en setning A av L slik at følgende ikke er gyldig i M av T *:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Gupta og Belnap 1993, seksjon 6C, bemerker lignende fordeler med T # fremfor T *. For eksempel validerer T #, men T * ikke følgende semantiske prinsipper:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta og Belnap er fortsatt uforpliktende om hvilken av T # og T * (og et ytterligere alternativ som de definerer, T c) er å foretrekke.

4. Tolkning av formalismen

De viktigste formelle forestillingene om RTT er forestillingen om en revisjonsregel (definisjon 3.2), dvs. en regel for å revidere hypoteser; og en revisjonssekvens (definisjon 3.7), en sekvens av hypoteser generert i samsvar med den aktuelle revisjonsregelen. Ved å bruke disse forestillingene kan vi, gitt en grunnmodell, spesifisere når en setning er stabilt, eller nesten stabilt, sant eller usant i en bestemt revisjonssekvens. Dermed kunne vi definere to teorier om sannhet, T * og T #, basert på stabilitet og nær stabilitet. Den siste ideen er at hver av disse teoriene gir en dom om hvilke setninger av språket som er kategorisk påståelige, gitt en grunnmodell.

Legg merke til at vi kunne bruke revisjonsteoretiske forestillinger for å gjøre ganske finkornige distinksjoner mellom setninger: Noen setninger er ustabile i hver revisjonssekvens; andre er stabile i hver revisjonssekvens, selv om de er stabile sanne i noen og stabilt usanne i andre; og så videre. Dermed kan vi bruke revisjonsteoretiske ideer for å gi en finkornet analyse av statusen til ulike setninger, og av forholdene mellom ulike setninger til hverandre.

Husk forslaget som ble gitt på slutten av avsnitt 2:

I en semantikk for språk som er i stand til å uttrykke sine egne sannhetsbegreper, vil T generelt sett ikke ha en klassisk betegnelse; og 'iff' i T-biconditionals vil ikke bli lest som den klassiske biconditional.

Gupta og Belnap fyller ut disse forslagene på følgende måte.

4.1 Betegnelsen på T

For det første antyder de at betegnelsen av T, gitt en grunnmodell M, er revisjonsregelen τ M i seg selv. Som nevnt i foregående ledd, kan vi gi en finkornet analyse av setninger statuser og sammenhengene på grunnlag av begreper som genereres direkte og naturlig fra revisjonen regelen τ M. Dermed er τ M en god kandidat for betegnelsen av T, siden det ser ut til å være "et abstrakt noe som bærer all informasjon om alle [av T 's] ekstensjonelle forhold" i M. (Se Gupta og Belnaps karakterisering av uttrykkets betegnelse, gitt i avsnitt 2 ovenfor).

4.2 'Iff' i T-biconditionals

Gupta og Belnaps relaterte forslag angående 'iff' i T-biconditionals er at i stedet for å være den klassiske bikondisjonelle, er denne 'iff' den særegne biconditional som brukes til å definere et tidligere udefinert konsept. I 1993 presenterte Gupta og Belnap revisjonsteorien om sannhet som et spesielt tilfelle av en revisjonsteori for sirkulært definerte begreper. Anta at L er et språk med et unikt predikat F og et binært predikat R. Tenk på et nytt konsept uttrykt av et predikat G, introdusert gjennom en definisjon som denne:

Gx = df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Anta at vi starter med et domene med diskurs, D og en tolkning av predikatet F og relasjonssymbolet R. Gupta og Belnaps revisjonsteoretiske behandling av begreper som således er innført sirkulært gjør at man kan gi kategoriske dommer, for visse d ∈ D om hvorvidt d tilfredsstiller G. Andre objekter vil være ustabile i forhold til G: vi vil kategorisk kunne påstå at verken at d tilfredsstiller G eller at d ikke tilfredsstiller G. I tilfelle av sannhet, Gupta og Belnap tar sett med T-biconditionals av formen

T  'A' = df A (10)

sammen for å gi definisjonen av sannhetsbegrepet. Det er deres behandling av '= df ' (i 'iff' av definisjonsmessige konsept innledning), sammen med de T-biconditionals av formen (10), som bestemmer den revisjonen regelen τ M.

4.3 Det paradoksale resonnementet

Husk løgneretten (1) fra begynnelsen av denne artikkelen:

(1) er ikke sant (1)

I avsnitt 1 hevdet vi at RTT er designet for å modellere, snarere enn å blokkere, den slags paradoksale resonnement angående (1). Men vi la merke til i fotnote 2 at RTT unngår motsetninger i disse situasjonene. Det er to måter å se dette på. For det første, mens RTT støtter det tvilbetingede

(1) er sant iff (1) ikke er sant,

den relevante 'iff' er ikke det materielle bikondisjonelle, som forklart ovenfor. Dermed følger det ikke at begge (1) er sanne og (1) ikke er sanne. For det andre, legg merke til at vi på ingen hypotese kan konkludere med at både (1) er sant og (1) ikke er sant. Hvis vi holder det fast i bakhodet at revisjonsteoretisk resonnement er hypotetisk snarere enn kategorisk, vil vi ikke utlede noen motsetninger fra eksistensen av en setning som (1) ovenfor.

4.4 Signifikasjonsoppgaven

Gupta og Belnaps forslag, angående betegnelsen av T og tolkningen av 'iff' i T-biconditionals, stemmer godt overens med to nært beslektede intuisjoner formulert i Gupta & Belnap 1993. Den første intuisjonen, løst uttrykt, er "at T -vilkår er analytiske og fikser betydningen av 'sant'”(s. 6). Mer tett uttrykt blir det "Signifikasjonsoppgaven" (s. 31): "T-biconditionalsene fikserer betydningen av sannhet i hver verden [hvor en verden er representert av en grunnmodell]." [6] Gitt at revidering-teoretiske behandling av definisjonen 'iff', og fikk et første modell M, T-biconditionals (10) har, som nevnt, festes slått betydningen av T, dvs. endringen regel τ M.

4.5 Semantikkens veiledning

Den andre intuisjonen er tilsynet med betydningen av sannheten. Dette er en etterkommer av M. Kremers foreslåtte tilsyn med semantikk i 1988. Ideen er enkel: hvilke setninger som faller inn under begrepet sannhet skal fikses ved (1) tolkning av det nonsemantiske vokabularet, og (2) de empiriske fakta. I ikke-sirkulære tilfeller er denne intuisjonen spesielt sterk: standardtolkningen av "snø" og "hvit" og det empiriske faktum at snø er hvitt, er nok til å bestemme at setningen "snø er hvit" faller inn under begrepet sannhet. Kontrollen av sannhetsbetegnelsen er avhandlingen om at betydningen av sannheten, uansett hva den er, er fastgjort av grunnmodellen M. RTT tilfredsstiller dette prinsippet.

Det er verdt å se hvordan en sannhetsteori kan bryte med dette prinsippet. Tenk på setningen som sier sannheten, dvs. setningen som sier om seg selv at den er sann:

(11) er sant (11)

Som nevnt ovenfor, tillater Kripkes treverdige semantikk tre sannhetsverdier, sant (t), falsk (f) og ingen av (n). Gitt en grunnmodell M = <D, I> for et sannhetsspråk L, er kandidatens tolkninger av T treverdige tolkninger, dvs. funksjoner h: D → {  t, f, n  }. Gitt en tervurdert tolkning av T, og et skjema for å evaluere sannhetsverdien av sammensatte setninger i forhold til deres deler, kan vi spesifisere en sannhetsverdi Val M + h (A) = t, f eller n, for hver setning A i L. Den sentrale teoremet for den treverdige semantikken er at gitt en hvilken som helst bakkemodell M, er det en treverdig tolkning h av T, slik at vi for hver setning A har Val M + h (T  'A') = Val M + h (A). [7] Vi vil kalle en slik tolkning av T en akseptabel tolkning. Poenget vårt her er dette: hvis det er en sannhetsforteller, som i (11), er det ikke bare en akseptabel tolkning av T; det er tre: en ifølge hvilken (11) er sann, en ifølge hvilken (11) er falsk, og en ifølge hvilken (11) ikke er verken. Dermed er det ingen eneste "riktige" tolkning av Tgitt en grunnmodell M. Dermed ser det ut til at den treverdige semantikken krenker semantikkens tilsyn. [8]

RTT tildeler ikke en sannhetsverdi til sannhetens teller, (11). Snarere gir det en analyse av hva slags resonnement man kan gjøre seg gjeldende med hensyn til sannhetsfortelleren: Hvis vi starter med en hypotese h hvorefter (11) er sann, forblir ved revisjon (11) sann. Og hvis vi starter med en hypotese om at (11) ikke er sant, forblir ved revisjon (11) ikke sant. Og det er alt som sannhetsbegrepet etterlater oss med. Gitt denne oppførselen til (11), forteller RTT oss at (11) verken er kategorisk sant eller kategorisk usant, men dette er ganske forskjellig fra en dom om at (11) verken er sant eller usant.

4.6 Yaqūbs tolkning av formalismen

Vi noterer oss en alternativ tolkning av revisjonsteoretisk formalisme. Yaqūb 1993 er enig med Gupta og Belnap i at T-biconditionals er definisjonelle enn materielle biconditionals, og at sannhetsbegrepet derfor er sirkulært. Men Yaqūb tolker denne sirkulariteten på en særegen måte. Han argumenterer for at,

siden sannhetsforholdene i noen setninger innebærer referanse til sannhet på en essensiell, irredusibel måte, kan disse forholdene bare oppnå eller mislykkes i en verden som allerede inkluderer en utvidelse av sannhetspredikatet. For at revisjonsprosessen skal bestemme en utvidelse av sannhetspredikatet, må derfor en første utvidelse av predikatet plasseres. Dette følger mye av sirkularitet og bivalens. (1993, 40)

Som Gupta og Belnap, tar for gitt Yaqub ingen privilegert utvidelse for T. Og i likhet med Gupta og Belnap, ser han revisjonssekvensene for utvidelser av T, hver sekvens generert av en innledende hypotese utvidelse, som "i stand til å imøtekomme (og diagnostisere) de forskjellige typer problematiske og uproblematiske setninger av språkene som blir vurdert" (1993, 41). Men i motsetning til Gupta og Belnap, konkluderer han ut fra disse betraktningene at "sannhet på et bivalent språk ikke er tilsynsmessig" (1993, 39). Han forklarer i en fotnote: For at sannheten skal være tilsynsmessig, må sannhetsstatusen til hver setning være "helt bestemt av nonsemantiske fakta". Yaqūb bruker ikke eksplisitt begrepet begrepsbetegnelse. Men Yaqūb virker forpliktet til påstanden som betydningen av T - dvs. det som bestemmer sannhetsstatusen til hver setning - gis av en bestemt revisjonssekvens. Og ingen revisjonssekvens bestemmes av de nonsemantiske fakta, dvs. av grunnmodellen, alene: en revisjonssekvens bestemmes i beste fall av en grunnmodell og en innledende hypotese. [9]

5. Ytterligere problemer

5.1 Tre-verdsatt semantikk

Vi har bare gitt den korteste forklaring av den treverdige semantikken, i vår diskusjon om tilsynet med betydningen av sannhet, ovenfor. Gitt et sannhetsspråk L og en grunnmodell M, definerte vi en akseptabel treverdig tolkning av T som en tolkning h: D → {  t, f, n  } slik at Val M + h (T 'A') = Val M + h (A) for hver setning A i L. Vanligvis fikk en første modell M, er det mange akseptable tolkninger av T. Anta at hver av disse virkelig er en virkelig akseptabel tolkning. Da krenker den treverdige semantikken overvåkningen av betydningen av T.

Anta på den annen side, at det i hvert første modell M, kan vi isolere en privilegert akseptabelt fortolkning som riktig tolkning av T. Gupta og Belnap presenterer en rekke hensyn mot den treverdige semantikken, så tenkt. (Se Gupta & Belnap 1993, kapittel 3.) Et hovedargument er at det sentrale teoremet, dvs. at for hver bakkemodell er det en akseptabel tolkning, bare holder når det underliggende språket ekspressivt blir fattig på visse måter: for eksempel tre-verdsatt tilnærming mislykkes hvis språket har en forbindelse ~ med følgende sannhetstabell:

EN ~ A
t f
f t
n t

Den eneste negasjonsoperatøren som den treverdige tilnærmingen kan håndtere har følgende sannhetstabell:

EN ¬ A
t f
f t
n t

Men vurder løgneren som sier om seg selv at den er 'ikke' sann, i denne sistnevnte betydningen av 'ikke'. Gupta og Belnap oppfordrer til påstanden om at denne setningen “slutter å være intuitivt paradoksal” (1993, 100). Den påståtte fordelen med RTT er dens evne til å beskrive oppførselen til genuint paradoksale setninger: den ekte løgneren er ustabil under semantisk evaluering: "Uansett hva vi antar at dens verdi er, tilbakeviser semantisk evaluering vår hypotese." Den treverdige semantikken kan bare håndtere den "svake løgneren", det vil si en setning som bare svakt negerer seg selv, men som ikke garantert er paradoksal: "Det er utseende av løgneren her, men de bedrar."

5.2 Endringer i RTT

Vi gjør oppmerksom på tre måter å endre RTT på. For det første kan vi sette begrensninger for hvilke hypoteser som er akseptable. For eksempel, Gupta og Belnap 1993 innføre en teori, t c, sannhets basert på konsistente hypoteser: en hypotese h er konsistent iff mengden {A: t (A) = t } er et fullstendig konsistent sett av setninger. Den relative verdien av T *, T # og T c er omtalt i Gupta & Belnap 1993, kapittel 6.

For det andre kan vi ta i bruk en mer restriktiv grensepolitikk enn Gupta og Belnap vedtar. Husk spørsmålet som ble stilt i avsnitt 3: Hvordan skal vi stille S η (d) når η er en grenseordinær? Vi ga et delvis svar: ethvert objekt som er stabilt sant [usant] frem til det stadiet, skal være sant [usant] på det stadiet. Vi bemerket også at for et objekt d ∈ D som ikke stabiliserer seg opp til scenen η, lar Gupta og Belnap 1993 oss sette S η (d) som enten t eller f. I en lignende sammenheng tildeler Herzberger 1982a og 1982b verdien f til de ustabile objektene. Og Gupta antydet opprinnelig, i Gupta 1982, at ustabile elementer får uansett hvilken verdi de fikk ved den første hypotesen S 0.

Disse to første måtene å endre RTT på, begrenser i virkeligheten forestillingen om en revisjonssekvens ved å sette begrensninger for hvilke av revisjonssekvensene våre som virkelig teller som akseptable revisjonssekvenser. Begrensningene er på noen måte lokale: den første begrensningen oppnås ved å sette begrensninger for hvilke hypoteser som kan brukes, og den andre begrensningen oppnås ved å sette begrensninger for hva som skjer ved grenseordinaler. Et tredje alternativ ville være å sette flere globale begrensninger for hvilke antatte revisjonssekvenser som teller som akseptable. Yaqūb 1993 antyder, faktisk, en grenseregel der akseptable dommer om ustabile dommer i et begrenset stadium η avhenger av dom avsagt i andre grensetrinn. Yaqūb hevder at disse begrensningene gjør at vi kan unngå visse "gjenstander". Anta for eksempel at en grunnmodell M = <D, I>har to uavhengige løgnere, ved å ha to navn α og β, der I (α) = ¬ T α og I (β) = ¬ T β. Yaqūb hevder at det bare er en "artefakt" av revisjonssemantikken, naivt presentert, at det er revisjonssekvenser der setningen ¬ T α ≡ ¬ T β er stabilt sant, siden de to løgnerne er uavhengige. Hans globale begrensninger er utviklet for å utelukke slike sekvenser. (Se Chapuis 1996 for videre diskusjon.)

5.3 Revisjonsteori for sirkulært definerte konsepter

Som antydet i vår diskusjon, i seksjon 4, av 'iff' i T-biconditionals, presenterer Gupta og Belnap RTT som et spesielt tilfelle av en revisjonsteori for sirkulært definerte konsepter. For å revurdere eksemplet fra seksjon 4. Anta at L er et språk med et unikt predikat F og et binært predikat R. Tenk på et nytt konsept uttrykt av et predikat G, introdusert gjennom en definisjon, D, som dette:

Gx = df A (x, G)

hvor A (x, G) er formelen

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

I denne sammenheng er en bakkemodell en klassisk modell M = <D, I> av språket L: vi starter med et domene av diskurs, D og en tolkning av predikatet F og relasjonssymbolet R. Vi vil utvide M til en tolkning av språket L + G. Så i denne sammenheng vil en hypotese bli tenkt som en hypotetisk forlengelse for det nylig introduserte konseptet G. Formelt sett er en hypotese ganske enkelt en funksjon h: D → { t, f }. Gitt en hypotese h, tar vi M + h for å være den klassiske modellen M + h = <D, I '>, der jeg' tolker F og R på samme måte som jeg, og hvor jeg '(G) = h. Gitt en antydet tolkning h av G, genererer vi en ny tolkning av G som følger: og objekt d ∈ D er i den nye utvidelsen av G for tilfelle den definerende formelen A (x, G) er sant for d i modellen M + h. Formelt bruker vi grunnmodellen M og definisjonen D for å definere en revisjonsregel, δ D, M, kartlegge hypoteser til hypoteser, dvs. hypotetiske tolkninger av G til hypotetiske tolkninger av G. Spesielt for enhver formel B med en fri variabel x, og d ∈ D, kan vi definere sannhetsverdien Val M + h, d (B) på standard måte. Deretter,

5 D, M (h) (d) = Val M + h, d (A)

Gitt en revisjon regel δ D, M, kan vi generalisere tanken om en revisjon sekvens, som nå er en sekvens av hypotetiske utvidelser av G i stedet for T. Vi kan generalisere forestillingen om at setning B er stabilt sant, nesten stabilt sant, etc., relativt til en revisjonssekvens. Gupta og Belnap introduserer systemene S * og S #, analogt med T * og T #, som følger: [10]

Definisjon 5.1.

  • En setning B er gyldig på definisjonen D i den første modellen M i systemet S * (M-notasjon ⊨ *, D- B) iff B er stabilt i forhold til sann hver revisjon sekvens for revisjon regel δ D, M.
  • En setning B er gyldig på definisjonen D i den første modellen M i systemet S # (notasjon M ⊨ #, D- B) iff B er nesten sann stabilt i forhold til hver revisjon sekvens for revisjon regel δ D, M.
  • En setning B er gyldig på definisjonen D i systemet S * (notasjon ⊨ *, D B) iff for alle klassiske bakkemodeller M, har vi M ⊨ *, D B.
  • En setning B er gyldig på definisjonen D i systemet S # (notasjon ⊨ #, D B) iff for alle klassiske bakkemodeller M, har vi M ⊨ #, D B.

Et av Gupta og Belnaps prinsipielle åpne spørsmål er om det er en fullstendig beregning for disse systemene: det vil si om for hver definisjon D, ett av de følgende to settsetninger er rekursivt aksiomatiserbart: {B: ⊨ *, D B} og {B: ⊨ #, D B}. Kremer 1993 beviser at svaret er nei: han viser at det er en definisjon D slik at hvert av disse settsettene er av kompleksitet minst Π 1 2, og setter dermed en nedre grense for kompleksiteten til S * og S #. (Antonelli 1994b og 2002 viser at dette også er en øvre grense.)

Kremers bevis utnytter et intimt forhold mellom sirkulære definisjoner forstått revisjon - teoretisk og sirkulære definisjoner forstått som induktive definisjoner: teorien om induktive definisjoner har vært ganske godt forstått i noen tid. Spesielt beviser Kremer at hvert induktivt definert konsept kan defineres teoretisk. Den uttrykksfulle kraften og andre aspekter ved revisjonsteoretisk behandling av sirkulære definisjoner er temaet for mye interessant arbeid: se Welch 2001, Löwe 2001, Löwe og Welch 2001, og Kühnberger et al. 2005.

5.5 Søknader

Gupta og Belnaps generelle revisjonsteoretiske behandling av sirkulære definisjoner - hvor deres behandling av sannhet er et spesielt tilfelle - ville man forvente at revisjonsteoretiske ideer vil bli anvendt på andre begreper. Antonelli 1994a bruker disse ideene på ikke-velbegrunnede sett: Et ikke-velbegrunnet sett X kan tenkes som sirkulært, siden vi for noen X 0,…, X n har X ∈ X 0 ∈… ∈ X n ∈ X. Og Chapuis 2003 bruker revisjonsteoretiske ideer for rasjonelle beslutninger.

5.5 Et åpent spørsmål

Vi avslutter med et åpent spørsmål om T * og T #. Husk definisjon 3.11 ovenfor, som definerer når en setning A i et sannhetsspråk L er gyldig i grunnmodellen M av T * eller av T #. Vi vil si at A er gyldig av T * [alternativt av T #] hvis A er gyldig i grunnmodellen M av T * [alternativt av T #] for hver bakkemodell M. Vårt åpne spørsmål er dette: Hva er kompleksiteten i setningen som er gyldig av T * [ T #]?

Bibliografi

  • Antonelli, GA, 1994, “The complexity of revision”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
  • Antonelli, GA, 1994, “Ikke-velbegrunnede sett via revisjonsregler”, Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
  • Antonelli, GA, 2002, “The complexity of revision, revised”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
  • Belnap, N., 1982, “Gupta's rule of revision theory of sannhet”, Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
  • Chapuis, A., 1996, “Alternate revision theories of theories”, Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
  • Chapuis, A., 2003, "En anvendelse av sirkulære definisjoner: rasjonell beslutning", i Löwe, Malzkorn og Räsch (red.), Foundations of the Formal Sciences II: Applications of Mathematical Logic in Philosophy and Linguistics, Dordrecht: Kluwer, 47-54.
  • Gupta, A., 1982, “Sannhet og paradoks”, Journal of Philosophical Logic, 11: 1–60.
  • Gupta, A., og Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Hammer, E., 2003, “The Revision Theory of Truth”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2003 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = .
  • Herzberger, HG, 1982, “Notater om naiv semantikk”, Journal of Philosophical Logic, 11: 61–102.
  • Herzberger, HG, 1982, “Naiv semantikk og løgnerparadokset”, Journal of Philosophy, 79: 479–497.
  • Kremer, M., 1988, "Kripke og sannhetens logikk", Journal of Philosophical Logic, 17: 225–78.
  • Kremer, P., 1993, “The Gupta-Belnap systems S # and S * are not axiomatisable”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
  • Kripke, S., 1975, "Oversikt over en sannhetsteori", Journal of Philosophy, 72: 690–716.
  • Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M., og Welch, P., 2005, “Comparing induktive and circular definitions: parameters, complexity and games”, Studia Logica, 81: 79–98.
  • Löwe, B., 2001 “Revisjonssekvenser og datamaskiner med uendelig mye tid”, Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
  • Löwe, B., og Welch, P., 2001, “Set-teoretisk absolutthet og revisjonsteorien om sannhet”, Studia Logica, 68/1: 21–41.
  • Martin, R. og Woodruff, P., 1975, “På å representere 'True-in-L' i L", Philosophia, 5: 217–221.
  • Welch, P., 2001, “På Gupta-Belnap revisjonsteorier om sannhet, Kripkean faste punkter og det neste stabile settet”, Bulletin for Symbolic Logic, 7: 345–360.
  • Yaqūb, A., 1993, The Liar Speaks the Truth: A Defense of the Revision Theory of Truth, Oxford: Oxford University Press.

Andre internettressurser

Anbefalt: